Bài 1. Cho tam giác ABC tất cả ba góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn (O). Các con đường cao AD, BE, CF cắt nhau trên H với cắt con đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P..

Bạn đang xem: Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9

Chứng minch rằng:

1. Tứ đọng giác CEHD, nội tiếp .

2. Bốn điểm B,C,E,F thuộc nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

Xem thêm: Cách Tính Nguyên Hàm Bằng Máy Tính Fx 570Es Plus, Cách Bấm Máy Tính Nguyên Hàm

5. Xác định trọng điểm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

 


*
34 trang
*
trường đạt
*
*
3718
*
12Download
Bạn sẽ xem đôi mươi trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 80 bài bác toán Hình học tập lớp 9", nhằm cài tài liệu cội về thứ bạn click vào nút DOWNLOAD sinh sống trên

Bài 1. Cho tam giác ABC tất cả bố góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn (O). Các con đường cao AD, BE, CF giảm nhau trên H và giảm mặt đường tròn (O) theo thứ tự tại M,N,P.Chứng minc rằng:Tứ đọng giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F thuộc vị trí một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H với M đối xứng nhau qua BC.Xác định trọng điểm mặt đường tròn nội tiếp tam giác DEF.Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có:é CEH = 900 ( Vì BE là mặt đường cao)é CDH = 900 ( Vì AD là con đường cao)=> é CEH + é CDH = 1800Mà é CEH với é CDH là nhị góc đối của tứ giác CEHD , Do kia CEHD là tđọng giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là mặt đường cao => BE ^ AC => éBEC = 900.CF là con đường cao => CF ^ AB => éBFC = 900.do đó E với F thuộc chú ý BC bên dưới một góc 900 => E cùng F cùng nằm trê tuyến phố tròn đường kính BC.Vậy tư điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: é AEH = é ADC = 900 ; Â là góc thông thường => D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.* Xét nhị tam giác BEC cùng ADC ta có: é BEC = é ADC = 900 ; éC là góc thông thường => D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.4. Ta có éC1 = éA1 ( bởi thuộc prúc cùng với góc ABC)éC2 = éA1 ( bởi vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)=> éC1 = é C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân nặng trên C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H cùng M đối xứng nhau qua BC.5. Theo minh chứng bên trên tứ điểm B,C,E,F cùng nằm trong một đường tròn => éC1 = éE1 ( vì là nhị góc nội tiếp thuộc chắn cung BF)Cũng theo minh chứng trên CEHD là tđọng giác nội tiếp éC1 = éE2 ( vị là nhì góc nội tiếp cùng chắn cung HD)éE1 = éE2 => EB là tia phân giác của góc FED.Chứng minh tựa như ta cũng có thể có FC là tia phân giác của góc DFE nhưng BE và CF giảm nhau trên H cho nên vì thế H là chổ chính giữa mặt đường tròn nội tiếp tam giác DEF.Bài 2. Cho tam giác cân nặng ABC (AB = AC), những mặt đường cao AD, BE, giảm nhau trên H. gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.Chứng minh tđọng giác CEHD nội tiếp .Bốn điểm A, E, D, B thuộc vị trí một đường tròn.Chứng minh ED = BC.Chứng minc DE là tiếp tuyến đường của đường tròn (O).Tính độ lâu năm DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.Lời giải: Xét tứ đọng giác CEHD ta có:é CEH = 900 ( Vì BE là mặt đường cao) é CDH = 900 ( Vì AD là con đường cao) => é CEH + é CDH = 1800 Mà é CEH cùng é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do kia CEHD là tđọng giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là mặt đường cao => BE ^ AC => éBEA = 900.AD là đường cao => AD ^ BC => éBDA = 900.do vậy E với D cùng nhìn AB bên dưới một góc 900 => E cùng D cùng nằm trên phố tròn 2 lần bán kính AB.Vậy tư điểm A, E, D, B thuộc nằm tại một đường tròn.3. Theo trả thiết tam giác ABC cân trên A bao gồm AD là mặt đường cao yêu cầu cũng là mặt đường trung đường => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có éBEC = 900 .Vậy tam giác BEC vuông tại E tất cả ED là trung đường => DE = BC.Vì O là trung khu đường tròn nước ngoài tiếp tam giác AHE yêu cầu O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => éE1 = éA1 (1).Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => éE3 = éB1 (2)Mà éB1 = éA1 ( vì cùng phú cùng với góc ACB) => éE1 = éE3 => éE1 + éE2 = éE2 + éE3 Mà éE1 + éE2 = éBEA = 900 => éE2 + éE3 = 900 = éOED => DE ^ OE trên E.Vậy DE là tiếp tuyến của mặt đường tròn (O) tại E.5. Theo mang thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 centimet. vận dụng định lí Pitago đến tam giác OED vuông trên E ta bao gồm ED2 = OD2 – OE2 ú ED2 = 52 – 32 ú ED = 4cmBài 3 Cho nửa mặt đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp đường Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp con đường máy bố cắt những tiếp con đường Ax , By thứu tự sinh sống C và D. Các mặt đường thẳng AD cùng BC giảm nhau tại N.Chứng minch AC + BD = CD.Chứng minh éCOD = 900.3.Chứng minc AC. BD = .4.Chứng minc OC // BM5.Chứng minh AB là tiếp con đường của mặt đường tròn 2 lần bán kính CD.5.Chứng minh MN ^ AB.6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ đọng giác ACDB đạt quý giá nhỏ độc nhất vô nhị.Lời giải: Theo đặc thù nhì tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CDTheo tính chất nhì tiếp con đường cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, nhưng éAOM cùng éBOM là nhì góc kề bù => éCOD = 900.Theo trên éCOD = 900 cần tam giác COD vuông tại O gồm OM ^ CD ( OM là tiếp đường ).áp dụng hệ thức thân cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta gồm OM2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .Theo bên trên éCOD = 900 phải OC ^ OD .(1)Theo đặc thù nhị tiếp tuyến đường giảm nhau ta có: DB = DM; lại sở hữu OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì thuộc vuông góc cùng với OD).call I là trung điểm của CD ta có I là vai trung phong con đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.Theo đặc thù tiếp tuyến đường ta tất cả AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tđọng giác ACDB là hình thang. Lại gồm I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường mức độ vừa phải của hình thang ACDB IO // AC , cơ mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến đường trên O của đường tròn 2 lần bán kính CD 6. Theo trên AC // BD => , mà lại CA = CM; DB = DM bắt buộc suy ra => MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.7. ( HD): Ta có chu vi tđọng giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà lại AC + BD = CD đề xuất suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà lại AB ko thay đổi buộc phải chu vi tđọng giác ACDB bé dại nhất khi CD bé dại độc nhất , mà CD bé dại nhất lúc CD là khoảng cách giữ lại Ax cùng By có nghĩa là CD vuông góc với Ax với By. lúc kia CD // AB => M nên là trung điểm của cung AB.Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là vai trung phong đường tròn nội tiếp, K là trung ương con đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.Chứng minc B, C, I, K cùng nằm trong một con đường tròn.Chứng minc AC là tiếp tuyến của mặt đường tròn (O).Tính nửa đường kính đường tròn (O) Biết AB = AC = trăng tròn Cm, BC = 24 Cm.Lời giải: (HD)1. Vì I là trung khu mặt đường tròn nội tiếp, K là trọng tâm mặt đường tròn bàng tiếp góc A yêu cầu BI với BK là nhị tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI ^ BK hayéIBK = 900 . Tương từ bỏ ta cũng có thể có éICK = 900 như vậy B cùng C thuộc ở trên phố tròn 2 lần bán kính IK vì vậy B, C, I, K cùng nằm tại một con đường tròn.Ta có éC1 = éC2 (1) ( vị CI là phân giác của góc ACH.éC2 + éI1 = 900 (2) ( vì chưng éIHC = 900 ).éI1 = é ICO (3) ( vì tam giác OIC cân nặng tại O) Từ (1), (2) , (3) => éC1 + éICO = 900 xuất xắc AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của mặt đường tròn (O).Từ mang thiết AB = AC = đôi mươi Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 centimet.AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)OC = = 15 (cm)Bài 4 Cho đường tròn (O; R), xuất phát điểm từ 1 điểm A bên trên (O) kẻ tiếp con đường d với (O). Trên mặt đường thẳng d rước điểm M bất kể ( M không giống A) kẻ cát tuyến MNPhường và gọi K là trung điểm của NPhường, kẻ tiếp đường MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, Điện thoại tư vấn H là giao điểm của AC cùng BD, I là giao điểm của OM và AB.Chứng minc tứ đọng giác AMBO nội tiếp.Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm trong một con đường tròn .Chứng minch OI.OM = R2; OI. IM = IA2.Chứng minc OAHB là hình thoi.Chứng minch cha điểm O, H, M trực tiếp hàng.Tìm quỹ tích của điểm H lúc M dịch rời trên tuyến đường trực tiếp dLời giải:(HS trường đoản cú làm).Vì K là trung điểm NP đề xuất OK ^ NPhường. ( quan hệ 2 lần bán kính Và dây cung) => éOKM = 900. Theo đặc điểm tiếp tuyến đường ta bao gồm éOAM = 900; éOBM = 900. những điều đó K, A, B cùng chú ý OM bên dưới một góc 900 phải thuộc ở trê tuyến phố tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng vị trí một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c nhị tiếp con đường cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .Theo đặc điểm tiếp con đường ta có éOAM = 900 buộc phải tam giác OAM vuông tại A gồm AI là đường cao.áp dụng hệ thức giữa cạnh cùng đường cao => OI.OM = OA2 giỏi OI.OM = R2; với OI. IM = IA2.4. Ta gồm OB ^ MB (đặc điểm tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC xuất xắc OB // AH.OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.=> Tứ đọng giác OAHB là hình bình hành; lại sở hữu OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.5. Theo bên trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ bao gồm một mặt đường trực tiếp vuông góc với AB).6. (HD) Theo bên trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy Lúc M di động bên trên d thì H cũng cầm tay nhưng luôn bí quyết A cố định và thắt chặt một khoảng bởi R. Do đó quỹ tích của điểm H lúc M dịch chuyển trên đường trực tiếp d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = RBài 6 Cho tam giác ABC vuông sinh sống A, con đường cao AH. Vẽ con đường tròn trung ương A bán kính AH. Call HD là đường kính của con đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của mặt đường tròn tại D cắt CA làm việc E.Chứng minch tam giác BEC cân.Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.Chứng minch rằng BE là tiếp tuyến của con đường tròn (A; AH).Chứng minh BE = BH + DE.Lời giải: (HD)D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).Vì AB ^CE (gt), vì vậy AB vừa là mặt đường cao vừa là con đường trung đường của DBEC => BEC là tam giác cân nặng. => éB1 = éB2 2. Hai tam giác vuông ABI với ABH bao gồm cạnh huyền AB phổ biến, éB1 = éB2 => D AHB = DAIB => AI = AH.3. AI = AH và BE ^ AI trên I => BE là tiếp đường của (A; AH) tại I.4. DE = IE với BI = BH => BE = BI+IE = BH + EDBài 5 Cho đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB. Kẻ tiếp con đường Ax với đem bên trên tiếp con đường kia một điểm Phường làm sao để cho APhường > R, từ bỏ Phường kẻ tiếp con đường tiếp xúc cùng với (O) tại M. Chứng minch rằng tứ giác APMO nội tiếp được một mặt đường tròn.2. Chứng minc BM // OP.3. Đường thẳng vuông góc cùng với AB sinh sống O cắt tia BM tại N. Chứng minc tđọng giác OBNPhường là hình bình hành.4. Biết AN giảm OP tại K, PM cắt ON trên I; PN và OM kéo dãn cắt nhau trên J. Chứng minch I, J, K thẳng hàng.Lời giải: (HS trường đoản cú làm).2.Ta tất cả é ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâmchắn cung AM => é ABM = (1) OP. là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp đường giảm nhau ) => é AOPhường = (2) Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP. (3) Mà é ABM với é AOP. là nhì góc đồng vị đề nghị suy ra BM // OP. (4)3.Xét nhì tam giác AOP và OBN ta có : éPAO=900 (do PA là tiếp con đường ); éNOB = 900 (gt NO^AB).=> éPAO = éNOB = 900; OA = OB = R; éAOP = éOBN (theo (3)) => DAOPhường = DOBN => OP = BN (5)Từ (4) với (5) => OBNPhường là hình bình hành ( bởi có nhị cạnh đối song tuy vậy cùng bằng nhau).4. Tứ giác OBNP.. là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà lại ON ^ AB => ON ^ PJ Ta cũng đều có PM ^ OJ ( PM là tiếp đường ), mà lại ON và PM cắt nhau trên I phải I là trực tâm tam giác POJ. (6)Dễ thấy tứ giác AONPhường. là hình chữ nhật vị bao gồm éPAO = éAON = éONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo cánh hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP.. ( so le) (7) Theo t/c nhì tiếp đường cắt nhau Ta tất cả PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8).Từ (7) với (8) => DIPO cân nặng tại I tất cả IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)Từ (6) với (9) => I, J, K trực tiếp hàng.Bài 6 Cho nửa con đường tròn trung tâm O đường kính AB với điểm M bất kỳ bên trên nửa mặt đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa khía cạnh phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp con đường Ax. Tia BM cắt Ax t ... và ED // MB.Cc). Suy ra CE là đường trung trực của BM với M di chuyển trờn mặt đường trũn nhưng ta buộc phải xỏc định tõm với bỏn kớnh theo R.MHD: a) AB CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) //E ACBD là hỡnh vuụng.= b) = = 450 ; = = 450OBA = ED là tia phõn giỏc của . = 450 ; = 450 (∆ EMB vuụng cõn tại E) = (2 gúc đồng vị) ED // MB.Dc) ∆ EMB vuụng cõn tại E và CE DE ; ED // BM CE BM CE là mặt đường trung trực BM.d) Vỡ CE là mặt đường trung trực BM nờn CM = CB = R Vậy M chạy trờn mặt đường trũn (C ; R’ = R)Bài 58: Cho ∆ABC những, con đường cao AH. Qua A vẽ một mặt đường trực tiếp về phớa bên cạnh của tam giỏc, tạo ra cùng với cạnh AC một gúc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kộo nhiều năm sinh sống D. Đường trũn tõm O mặt đường kớnh CD giảm AD ngơi nghỉ E. Đường trực tiếp vuụng gúc cùng với CD tại O giảm AD sinh sống M. a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xỏc định tõm I của đường trũn đú. b. Chứng minh: CA = CM. c. Đường trực tiếp HE giảm con đường trũn tõm O ở K, con đường thẳng HI cắt con đường trũn tõm I sinh hoạt N và cắt mặt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giỏc NPKE nội tiếp.Bài 59: BC là 1 dõy cung của con đường trũn (O; R) (BC2R). Điểm A cầm tay trờn cung Khủng BC làm sao để cho O luụn nằm trong ∆ABC. Cỏc con đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. b. Hotline A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. c. gọi Amột là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trớ điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN.Bài 60: Cho mặt đường trũn tõm (O; R) cú AB là con đường kớnh thắt chặt và cố định cũn CD là mặt đường kớnh biến đổi. gọi (∆) là tiếp con đường cùng với mặt đường trũn trên B cùng AD, AC lần lượt cắt (∆) trên Q với Phường. a. Chứng minh: Tứ giỏc CPQD nội tiếp được. b. Chứng minh: Trung con đường AI của ∆AQP vuụng gúc cùng với DC. c. Tỡm tập phù hợp cỏc tõm E của mặt đường trũn nước ngoài tiếp ∆CPD.Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC;