Trong không khí, bố trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc cùng nhau từng song một. call $overrightarrow i, overrightarrow j, overrightarrow k$ với $overrightarrow i(1;0;0),$ $overrightarrow j(0;1;0),$ $overrightarrow k(0;0;1)$ theo lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ tía trục này được Điện thoại tư vấn là hệ tọa độ Oxyz.
Trong đó:
- O là nơi bắt đầu tọa độ.
- Các phương diện phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đôi một vuông góc với nhau được Hotline là những khía cạnh phẳng tọa độ.
- Không gian với hệ tọa độ Oxyz được hotline là không khí Oxyz.
Vì$overrightarrow i, overrightarrow j, overrightarrow k$ là bố vectơ đơn vị chức năng song một vuông góc cùng nhau nên:
$overrightarrow i^2, overrightarrow j^2, overrightarrow k^2 = 1$
Và $overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow j .overrightarrow k = overrightarrow k .overrightarrow i = 0$.
2. Tọa độ của một điểm
$overrightarrow OM = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j + zoverrightarrow k$
hotline bộ tía số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz, được viết: $M = left( x;y;z ight)$ hoặc $Mleft( x;y;z ight)$.
3. Tọa độ của vectơ
Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $overrightarrow OM$. Ta có:
$M = left( x;y;z ight) Leftrightarrow overrightarrow OM = left( x;y;z ight)$
II. Biểu thức tọa độ của phnghiền toán vectơ
Định lí
Trong không gian Oxyz, cho nhì vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ và $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$. Ta có:
a) $vec a + overrightarrow b = left( a_1 + b_1;a_2 + b_2;a_3 + b_3 ight)$.
b) $vec a - overrightarrow b = left( a_1 - b_1;a_2 - b_2;a_3 - b_3 ight)$.
c) $kvec a = kleft( a_1;a_2;a_3 ight) = left( ka_1;ka_2;ka_3 ight)$ với k là một số trong những thực.
Hệ quả
a) Cho vectơ$overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ với $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$.
Ta có:
$vec a = overrightarrow b = left{ eginarrayl a_1 = b_1\ a_2 = b_2\ a_3 = b_3 endarray ight.$
b) Vectơ $overrightarrow 0$ tất cả tọa độ là $left( 0;0;0 ight)$.
c) Với $overrightarrow b e overrightarrow 0$ thì hai vectơ $vec a$ và $overrightarrow b$ thuộc phương Lúc còn chỉ Lúc tất cả một trong những k sao cho: $a_1 = kb_1,a_2 = kb_2,a_3 = kb_3$.
d) Trong không khí Oxyz, giả dụ cho nhị điểm $Aleft( x_A;y_A;z_A ight),Bleft( x_B;y_B;z_B ight)$ thì:
* $overrightarrow AB = overrightarrow OA - overrightarrow OB = left( x_A - x_B;y_A - y_B;z_A - z_B ight)$
* Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
$Mleft( fracx_A + x_B2;fracy_A + y_B2;fracz_A + z_B2 ight)$.
III. Tích vô hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lí
Trong không khí Oxyz, tích vô vị trí hướng của nhị vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ cùng $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$ được xác minh vì công thức:
$overrightarrow a .overrightarrow b = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3$
2. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ: $left| overrightarrow a ight| = sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$
b) Khoảng bí quyết giữa nhì điểm: $AB = left| overrightarrow AB ight| = sqrt left( x_B - x_A ight)^2 + left( y_B - y_A ight)^2 + left( z_B - z_A ight)^2$
c) Góc giữa nhị vectơ: $cos varphi = cos left( vec a,overrightarrow b
ight) = fraca_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 .sqrt b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 $.
Bạn đang xem: Trong không gian với hệ tọa độ oxyz
Xem thêm: Đề Thi Chính Thức Môn Toán Kỳ Thi Thử Thpt Quốc Gia 2018 Môn Toán Lần 1
IV. Pmùi hương trình mặt cầu
Định lí
Trong không khí Oxyz, mặt cầu (S) trọng điểm $Ileft( a;b;c ight)$ nửa đường kính r tất cả pmùi hương trình là:
$left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = r^2$
