Chương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song là chương quan trọng mở đầu về hình học không gian trong chương trình toán hình học lớp 11. Trong đó bài đại cương về đường thẳng và mặt phẳng là một trong những bài quan trọng nhất để các em có thể học tốt những kiến thức sau này. Vì vậy, chúng tôi đã tổng hợp lý thuyết và sẽ hướng dẫn các em giải một số bài tập toán hình 11 về đại cương về đường thẳng và mặt phẳng bám sát chương trình sách giáo khoa. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều bổ ích cho các em.

Bạn đang xem: Toán hình học không gian 11

*

I. Các kiến thức cần nắm để giải bài tập toán hình 11: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Để giải được các bài tập toán hình 11 phần đại cương về đường thẳng và mặt phẳng thì các em cần nắm rõ các kiến thức sau đây:

1. Các tiên đề về hình học không gian

Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng đã cho trước

*

Tiên đề 2: Có ít nhất bốn điểm trong không gian sẽ không nằm trên một mặt phẳng

Tiên đề 3: Nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng có hai điểm chung thì đường thẳng này nằm trọn vẹn trong mặt phẳng trên.

Tiên đề 4: Nếu có hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa (tất cả các điểm chung này tạo thành đường thẳng gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).

Tiên đề 5: Trên một mặt phẳng tùy ý trong không gian các định lý về hình học sơ cấp đều đúng.

Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng trong một không gian đều có độ dài chính xác ( bảo toàn về độ dài, số đo góc và các tính chất liên quan đã biết trong hình học phẳng).

2. Cách xác định một mặt phẳng

Có 4 cách xác định một mặt phẳng:

Cách 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

Cách 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.

Cách 3: Có duy nhất một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Cách 4: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song nhau.

Lưu ý: Cách xác định 2 đường thẳng a và b chéo nhau (tức là a, b không đồng phẳng).

*

- Xác định mp(): b ⊂ ()

- Khi đó, ta có: a ∩ () = A

- Nếu: A ∉ b thì a, b chéo nhau

3. Hình chóp và hình tứ diện đều

Định nghĩa: Trong một mặt phẳng (P) cho đa giác, điểm S ∉ (P). Nối S với các đỉnh của đa giác. Hình được tạo bởi miền đa giác và các miền tam giác trên gọi là hình chóp. ( S: đỉnh, miền đa giác: đáy, các miền tam giác: các mặt bên)

*

- Ký hiệu: S.ABCD

S: đỉnh

ABCD: mặt đáy

SA, SB, SC, SD: các cạnh bên

AB, BC, CD, DA: các cạnh đáy

(SAB), (SBC), (SCD), (SDA): các mặt bên

- Tứ diện: Hình chóp có đáy là một tam giác được gọi là tứ diện

- Tứ diện đều: hình chóp có 4 mặt là các tam giác đều.

II. Hướng dẫn giải bài tập toán hình 11: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Chúng tôi đã trích các bài tập toán hình 11 về đại cương về đường thẳng và mặt phẳng từ SGK hình học 11 dưới đây:

*

Bài 1/ SGK hình học 11 trang 53

Đề bài: Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

*

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: E ∈ AB mà AB ⊂ (ABC)

⇒ E ∈ (ABC)

⇒ F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC)

⇒ F ∈ (ABC)

b) Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp(ABC) nên theo tiên đề 3 thì EF ⊂ (ABC).

Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD) (1)

I ∈ EF mà EF ⊂ (DEF) ⇒ I ∈ (DEF) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Bài 2/ SGK hình học trang 53

Đề bài: Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng M là điểm chung của (α) với bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng d.

*

Hướng dẫn giải:

Giả sử có một mặt phẳng (β) bất kỳ chứa đường thẳng d.

Ta có: M là điểm chung của d và (α) nên: M ∈ (α) (1)

Ta lại có: M ∈ d, mà d ⊂ (β) ⇒ M ∈ (β) (2).

Từ (1) và (2) ⇒M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β).

Bài 3/ SGK hình học trang 53

Đề bài: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Gọi I = d1 ∩ d2 và (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2).

Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N. Ta có:

+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)

+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).

Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d3 ⊂ (P)

⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N

⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy ba đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.

Bài 4/ SGK hình học trang 53

Đề bài: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác sau: BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy.

Hướng dẫn giải:

*

Gọi N là trung điểm CD.

+ GA là trọng tâm ΔBCD

⇒ GA ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AGA ⊂ (ANB)

GB là trọng tâm ΔACD

⇒ GB ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BGB ⊂ (ANB).

Trong mp(ANB): AGA không song song với BGB

⇒ AGA cắt BGB tại O

+ Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC; CGC cắt AGA.

+ CGC không nằm trong (ANB) ⇒ AGA; BGB; CGC không đồng phẳng(áp dụng kết quả của bài 3).

⇒ AGA; BGB; CGC đồng quy tại O

+ Chứng minh tương tự cho: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O.

Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy tại O.

Bài 5/ SGK hình học trang 53

Đề bài: Tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mp (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

Hướng dẫn giải:

*

a) Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

Ta có: E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ Trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ Trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

Xem thêm: Đề Kiểm Tra 45 Phút Chương 3 Đại Số 8, Đề Kiểm Tra 45 Phút (1 Tiết)

Trên đây là lý thuyết và một số bài tập toán hình 11 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng mà chúng tôi đã soạn theo chương trình SGK. Hy vọng đây là một tài liệu bổ ích cho các em. Cảm ơn các em đã theo dõi.