*

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

lúc như thế nào thì cung cấp số cùng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Ta có: un+1 – un = q => (un) là hàng số tăng nếu như công không đúng q > 0, dãy số giảm nếu công không đúng q 1  0

b.q n = u1.qn-1 ∀n > 1, q > 0, u1 un 1

b.Nếu q n = u1.qn-1 = (-1)n .|u1|.|qn-1| ∀ n > 1

un > 0 giả dụ n chẵn, và un n), (vn) tất cả công sai theo lần lượt là d1, d2 cùng các số hạng đều nhau, nghĩa là:

u1, u2, …, un (1) cùng v1, v2,…, vn (2)

Xét dãy số (an) với an = un + vn , n ∈ N*

a1 = u1 + v1

a2 = u2 + v2 = u1 + d1 + v1 + d2 = (u1 + v1 ) + (d1 + d2)

an = un + vn = u1 + (n – 1)d1 + v1 + ( n – 1)d2

= (u1 + v1) + (n – 1)(d1 + d2)

Điều đó cho biết thêm dãy số nhưng mà từng số hạng là tổng các số hạng tương xứng của nhị cấp số cộng (1) với (2) cũng là một cấp số cùng với công sai bởi tổng các công không đúng của nhì cung cấp số cùng tê.

Bạn đang xem: Toán 11 ôn tập chương 3

Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d1 = 3

20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = – 2

Dãy tổng các số hạng khớp ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cấp cho số cộng tất cả công sai

d = d1 + d2 = 3 + (-2) = 1.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho nhị cấp cho số nhân có cùng những số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng bao gồm lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minc họa.

Lời giải:

Giả sử gồm nhì cấp số nhân (un), (vn) cùng với công bội khớp ứng q1 và q2.

Xét hàng số (an) với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy dãy số (an) là cung cấp số nhân với công bội q = q1q2.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minch với tất cả n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 chia không còn mang đến 6

b. 3n3 + 15 phân chia hết cho 9

Lời giải:

a. Xét un = 13n – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 phân tách hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 phân tách không còn mang lại 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng hai số hạng, từng số hạng phân tách không còn mang đến 6.

Vậy uk+1 chia hết số 6

vì thế, từng số hạng của dãy số (un) phần đông chia hết mang đến 6 ∀n ∈ N*

b. 3n3 + 15n chia hết mang đến 9

Đặt un = 3n3 + 15n

+ Với n = 1 => u1 = 18 phân tách hết 9

+ mang sử cùng với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) phân chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta bệnh minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo mang thiết uk phân tách hết 9, hơn thế nữa 9(k2 + k + 2) chia hết 9 k ≥ 1

Do đó uk+1 cũng phân tách không còn mang lại 9.

Vậy un = 3n3 + 15n phân tách không còn mang đến 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (cùng với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của hàng.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bởi phương thức quy hấp thụ.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu hàng là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng cùng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta đề xuất chứng tỏ pmùi hương trình đang cho đúng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+đơn + 1 = 2k + 1

Theo trả thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đang mang đến đúng cùng với n = k + 1, vậy nó đúng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, sút cùng bị ngăn của những dãy số (un), biết:

*

Lời giải:

*

vì chưng là dãy tăng phải u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị chặn bên dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không bị chặn trên. Vậy un không bị chặn.

*

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy hàng số (un ) ko tăng, ko bớt => (un) không đơn điệu.

*

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 với công không nên d của các cấp số cùng (un), biết:

Lời giải:

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 với công không đúng d của những cấp cho số cộng (un), biết:

Lời giải:

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ đọng giác ABCD bao gồm số đo của những góc lập thành một cấp số cộng theo trang bị từ bỏ A, B, C, D. Biết rằng góc C vội 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ( ∠A > 0) chế tạo thành cấp số cộng:

Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.

Theo đưa thiết ta có:∠ C =5∠A => ∠A + 2d = 5∠A 2d = 4∠A

Mặt khác ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360o

=> ∠A + ∠A +d + ∠A +2d + ∠A +3d = 360o

4∠A + 12∠A = 360o  16∠A = 360o  ∠A= 22o30′, d=45o

Vậy ∠B = 67o30′; ∠C = 112o30’; ∠D = 157o30′

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba x, y, z lập thành một cấp cho số nhân với ba số x, 2y, 3z lập thành một cung cấp số cùng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Cấp số nhân (un) tất cả công bội q có thể viết bên dưới dạng:

u1,u1q,u1q2,…,u1qn-1

vì chưng x, y, z lập thành cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q2 (1)

Mặt khác x, 2y, 3z lập thành cấp số cùng nên (x+3z)/2= 2y (2)

*

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta kiến tạo một chiếc tháp tất cả 11 tầng. Diện tích bề mặt bên trên của từng tầng bằng nửa diện tích S của mặt trên của tầng ngay lập tức dưới và diện tích mặt phẳng trên của tầng một bằng nữa diện tích S đế tháp. Biết diện tích khía cạnh đế tháp là 12.288mét vuông. Tính diện tích bề mặt phía trên.

Lời giải:

gọi S là diện tích S dưới đáy của tháp

S = 12.288 m2

Gọi S1, S2, S3…S11 là diện tích mặt phẳng của mỗi tầng.

Diện tích của tầng một bằng nửa diện tích của đáy tháp

*

Vậy diện tích phía trên ,mặt đó là diện tích tầng tháp thiết bị 11 nên:

*

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minc rằng ví như các số a2, b2, c2 lập thành một cung cấp số cùng (a, b, c ≠ 0) thì những số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

*

Đẳng thức (1) thỏa Lúc a2, b2, c2 là cấp số cộng.

*

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un), biết un = 3n. Hãy chọn phương pháp đúng:

a. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n + 1

B. 3n + 3.

C. 3n.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n

B. 9n

C. 3n + 3

D. 6n

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3n – 1

B. 3n/3

C. 3n – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u2n-1 bằng:

A. 32.3n – 1

B. 3n.3n-1

C. 32n – 1

D. 32(n-1)

Lời giải:

a. un+1 = 3n+1 = 3n.3.

Chọn lời giải C

b. Un = 3n = (32)n = 9n.

Chọn lời giải B.

c. un-1 = n-1 = 3n.3-1 = 3n/3 .

Chọn đáp án B.

d. u2n-1 = 32n-1 = 32n.3-1 = 3n.3n-1.

Chọn giải đáp B

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho thấy thêm hàng số (un) nào bên dưới đấy là hàng số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng thể un của chính nó là:

*

Lời giải:

Lập hiệu un+1 – un ta thấy : (-1)2(n+1) (5n+1+ 1) – ( -1)2n(5n + 1) 4.5n > 0

Vậy dãy ( -1)2n(5n + 1) là dãy số tăng. Chọn câu trả lời B.

Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Hãy chọn hiệu quả đúng trong số tác dụng sau:

A. x = – 6, y = – 2

B. x = 1, y = 7

C.x = 2, y = 8

D. x = 2, y = 10

Lời giải:

*

Bài 17 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cung cấp số nhân – 4, x, – 9. Hãy họn kết quả đúng trong những công dụng sau:

A. x = 36

B. x = -6, 5

C. x = 6

D. x = -36

Lời giải:

*

Bài 18 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng (un). Hãy lựa chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

*

Lời giải:

Ta có: un là cấp số cùng số hạng đầu u1, công sai d thì:

u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d)

Vậy u90 + u210 = 2u150.

Xem thêm: Công Thức Tính Khoảng Cách Giữa 2 Điểm Tọa Độ, Công Thức Tính Khoảng Cách Giữa 2 Điểm

Chọn giải đáp B.

Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong những dãy số mang lại vì chưng các phương pháp tầm nã hồi sau, nên lựa chọn các hàng số là cấp số nhân: