Ta thấy sống hai ví dụ bên trên đều sở hữu . Ta hotline là 1 trong ngulặng hàm của . Vì với $C$ là 1 hằng số ngẫu nhiên, ta bao gồm đề nghị nếu là ngulặng hàm của thì cũng là 1 trong những nguyên hàm của . Ta Gọi Họ nguyên ổn hàm của .

Bạn đang xem: Tìm nguyên hàm của hàm số

Ký hiệu:

VD: .

b) Tính chất

, $k$ là hằng số

dx=intfleft( x ight)dx+intgleft( x ight)dx>

dx=intfleft( x ight)dx-intgleft( x ight)dx>

2. Bảng nguyên ổn hàm của một trong những hàm số hay gặp

*

3. Các phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng bí quyết nguim hàm cơ bản

ví dụ như 1. Tìm những nguyên ổn hàm:

• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$

.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$

•$I=intfracdx2x=frac12int+C$

• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12int cos 2x ight$

• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$

• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$

• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$

Phương thơm pháp 2. Pmùi hương pháp đổi biến

a) Các dạng thay đổi trở nên số thường xuyên gặp

*

*

b) Ví dụ

• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$

Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:

$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$

$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$

• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$

Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ kia ta được:

$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$

$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$

• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$

Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$

$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12intdt+frac12intfracdtt=-frac12t+frac12ln left$

Pmùi hương pháp 3. Phương pháp nguim hàm từng phần

a) Nội dung phương thơm pháp

Pmùi hương pháp này thường xuyên được thực hiện Khi ta yêu cầu tính nguim hàm của một tích. Giả sử bắt buộc tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm như sau:

*

b) Chụ ý

Thđọng tự ưu tiên đặt $u$ vào cách thức Nguyên ổn hàm từng phần:

Lôgarkhông nhiều $khổng lồ $ Đa thức $khổng lồ $ Hàm lượng giác $khổng lồ $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=intx extsin2xdx$

*

$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$

•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$

Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.

*

$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$

*

Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$

•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$

*
$Rightarrow I=x.ln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2intln left( x+sqrtx^2+1 ight).fracxdxsqrtx^2+1$

$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$

•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta tất cả $I=intfracln ^2xx^2dx$.

*

Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$

Phương thơm pháp 4. Phối vừa lòng thay đổi vươn lên là số cùng cách thức nguyên hàm từng phần

•$I=intsin sqrtxdx$

Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$

*

Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$

•$I=intsin left( ln x ight)dx$.

*

Từ đó $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$

•$I=intx^8e^x^3dx$.

*
 

Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$

•$I=inte^sqrtxdx$.

*

Phương thơm pháp 5. Tìm nguyên ổn hàm bằng phương thức dùng nguyên hàm phụ

Giả sử cần tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc đó ta tìm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ làm thế nào để cho việc tính $I+J$ cùng $I-J$ dễ dàng rộng. Chẳng hạn:

• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$

Ta có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$

lúc đó:

$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$

$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$

• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

khi đó:

$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$

$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$

Từ kia suy ra:

$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

B. các bài luyện tập từ bỏ luyện

Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$

A.  <3x^2-2+C> B.

C.   D.

Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$

A. B.

C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>

Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$

A. B. <5e^3x-ln left| 6x+7 ight|+C>

C. D. <5e^3x-frac16ln left| 6x+7 ight|+C>

Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$

A. B.  <-frac12sqrtx+C>

C. $frac32xsqrtx+C$ D.  

Câu 5: Tìm ngulặng hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$

A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 6: Tìm nguim hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$

A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 7: Cho . Đặt t=2sinx+1, khi ấy

A.   B.

C. D.  

Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$

A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.  

C. D.  

Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. B.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

C. D.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

Câu 10: Khẳng định làm sao tiếp sau đây đúng?

A. B.  dx=intf(x)dxpm intg(x)dx>

C.  D.

Câu 11: Tìm nguyên ổn hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$

A.   B. <3 an (2x-1)+C>

C.  <-3chảy (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>

Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. khi kia

A.

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Minh Họa Lần 2, Bộ Đề Minh Họa 2020 Lần 2 Đầy Đủ Các Môn + Đáp Án

m + n + k = 5 B. m + n + k = 7

C.  m + n + k =12 D.  m + n + k = 16

Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. lúc kia

A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C.  2m + n =6 D.  2m + n = 8

Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi đó