Bài viết giúp bạn cũng cố, nắm chắc lý thuyết đồng biến nghịch biến của hàm số. Giải một dạng toán phổ biến "Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng".

Bạn đang xem: Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn


I-Nhắc lại lý thuyết

1) Định nghĩa sựđồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cho hàm sốy=fxxác định trên khoảngK, với mọix1,x2∈K. Khi đó :

fxđồng biến trênKkhi và chỉ khix1x2⇒fx1fx2.fxnghịch biến trênKkhi và chỉ khix1x2⇒fx1>fx2.

2) Mối quan hệ giữa tính đơn điệu(đồng biến,nghịch biến) của hàm số và dấu của đạo hàm.

Nếuf"(x)≥0,∀x∈Kthìfxđồng biến trênK.Nếuf"(x)≤0,∀x∈K thìfxnghịch biến trênK.

II-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K làℝ=-∞;+∞.

* Phương pháp giải :

Bước 1.Tínhy".Hàm số đồng biến(nghịch biến)trênℝthìy"≥0 y"≤0,∀x∈ℝ.Bước 2. Thường gặp y" là một tam thức bậc hai nên tadựa vào các nhận xét sau để tìm m:

+ Bất phương trìnhax2+bx+c≥0,∀x∈ℝ⇔a>0△≤0.

+ Bất phương trìnhax2+bx+c≤0,∀x∈ℝ⇔a0△≤0.

* Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tìmmđể hàm sốy=13x3-2x2+m-2020x+3đồng biến trênℝ.

A.m≤2024B.m≥-2024C.m≤-2024D.m≥2024

Lời giải :

Ta cóy"=x2-4x+m-2020Hàm số đồng biến trênℝkhi :

y"≥0,∀x∈ℝ⇔x2-4x+m-2020≥0,∀x∈ℝ

⇔a=1>0 (luôn đúng)△"=22-1m-2020≤0⇔22-1m-2020≤0⇔m≥2024.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìmmđể hàm sốy=-x3+m-3x2-m+3x+2020nghịch biến trên-∞;+∞.

A.m≥9 hoặc m≤0.B.0≤m≤9.C.m∈ℝ.D.m∈∅.

Lời giải :

Ta cóy"=-3x2+2m-3x2-m-3.Hàm số đồng biến trên-∞;+∞khi

y"≤0,∀x∈ℝ⇔-3x2+2m-3x-m-3≤0,∀x∈ℝ

⇔a=-10 (luôn đúng)△"=m-32--3-m-3≤0⇔m2-6m+9-3m-9≤0

⇔m2-9m≤0⇔0≤m≤9.Chọn B.

Ví dụ 3 : Với những giá trị nào củamthì hàm sốy=m3x3-122m+1x2+m+2x+22020luôn đồng biến trên tập số thực.

A.0m≤14.B.m≤14.C.m≥14.D.m>0.

Lời giải :

Ta cóy"=mx2-2m+1x+m+2. Vì hệ số acủay"còn phụ thuộcmnên ta xét hai trường hợp sau :

Trường hợp 1 : Vớim=0ta cóy"=-x+2nên hàm số nghịchbiến trên2;+∞(vìy"0⇔x>2) và đồngbiến trên-∞;2.Do đóm=0không thỏa mãn yêu cầu bài toán.Trường hợp 2 : Vớim≠0, để hàm số đồng biến trên tập số thựcℝkhiy"=mx2-2m+1x+m+2≥0,∀x∈ℝ⇔m>0△=2m+12-4mm+2≤0⇔m>04m2+4m+1-4m2-8m≤0⇔m>0-4m≤-1⇔m>0m≥14⇔m≥14.Chọn C.

III-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng Klà tập con củaℝ.

1) Phương pháp"Cô lập tham số m" :

* Phương pháp giải :

Cho hàm sốy=fxcó đạo hàm trên K.

Bước 1.Tínhy". Hàm số đồng biến(nghịch biến)trên K thìy"≥0,∀x∈K (y"≤0,∀x∈K).Bước 2.Đưa bất phương trìnhy"≥0,∀x∈K(y"≥0,∀x∈K)về dạngm≥g(x),∀x∈Khoặcm≤g(x),∀x∈K(ta gọi đây là bước cô lập m)Bước 3.Tìmmdựa vào hai nhận xét sau :m≥g(x),∀x∈K⇔m≥maxKg(x).m≤g(x),∀x∈K⇔m≤minKg(x).

* Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trịcủa tham sốmđể hàm sốfx=x3-3mx2+32m-1xđồng biến trên2;3.

A.m≥32.B.m≤32.C.1m≤32.D.m>32.

Lời giải :

fx=x3-3mx2+32m-1x⇒f"x=3x2-6mx+32m-1.Hàm số đồng biến trên khoảng2;3khi

f"x=3x2-6mx+32m-1≥0,∀x∈2;3⇔3x2-6mx+6m-3≥0,∀x∈2;3

⇔2m-2mx≥-x2+1,∀x∈2;3⇔m2-2x≥1-x2   (1).

Nhận xét rằng∀x∈2;3 ⇒2-2x0, do đó :

1⇔m≤1-x22-2x,∀x∈2;3⇔m≤1-x1+x21-x,∀x∈2;3

⇔m≤1+x2=gx,∀x∈2;3⇔m≤min2;3gx=1+22=32.

Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trịcủa tham sốmđể hàm sốfx=2x3+3x2-6mx-1nghịch biến trên0;2.

A.m6.B.m≤6C.m≥6.D.m>6.

Lời giải :

f"x=6x2+6x-6m.Để hàm số nghịch biến trên khoảng0;2ta cóf"x≤0,∀x∈0;2⇔6x2+6x-6m≤0,∀x∈0;2⇔x2+x-m≤0,∀x∈0;2⇔m≥x2+x=gx,∀x∈0;2⇔m≥max0;2gx.Xétgx=x2+x⇒g"x=2x+1>0,∀x∈0;2hay hàm số đồng biến trên0;2, do đó :m≥max0;2gx=g2=6.Chọn C.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm sốfx=mx3-x2+3x+m-3đồng biến trên khoảng0;3.

A.m≥19.B.m≤19C.m≥-16D.m≤-16.

Lời giải :

Ta có f"x=3mx2-2x+3.Hàm số đồng biến trên0;3khi f"x=3mx2-2x+3≥0,∀x∈0;3       (1)1⇔m≥2x-33x2,∀x∈0;3⇔m≥max0;3gx,∀x∈0;3vớigx=2x-33x2.Ta cóg"x=2.3x2-6x(2x-3)9x4=-6x2+18x9x4⇒g"x=0⇔-6x2+18x=0⇔x=0 hoặc x=3.Bảng biến thiên củagx :

Từ bảng biến thiên ta cóm≥max0;3gx=g3=19.Chọn A.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm sốy=x4-8mx2+9mđồng biến trên khoảng2;+∞.

A.m≥1B.m≤1.C.m1.D.m>1,

Lời giải :

Ta cóy"=4x3-16mx.Hàm số đồng biến trên2;+∞khiy"=4x3-16mx≥0,∀x∈2;+∞⇔16mx≤4x3,∀x∈2;+∞⇔m≤x24,∀x∈2;+∞⇔m≤minx≥2gx=g2=1, với gx=x24.Chọn B.

2) Phương pháp sử dụng bảng biến thiên giải dạng toán tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng:

Đây là phương pháp tương đối dài dòng và phức tạp nhưng lại giải quyết được hầu hết các trường hợp, đặc biệtlà những bài toánmà chúng ta không thể cô lập được tham số m.

* Phương pháp giải :

Bước 1.Tính y". Hàm số đồng biến(nghịch biến)trên K thìy"≥0,∀x∈K (y"≤0,∀x∈K).Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số dựa vàodấuy".Bước 3. Từ bảng biến thiên và đề bài kết luận giá trị củam.

* Chú ý:

Nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ta phải xét haitrường hợp△≤0và△>0.Khi sử dụng phương pháp này ta thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một sốαliên quan. Khi đó ta có thể đưa bài toán đến việc vận dụng định lý Vi-et bằng cáchsử dụng các kết quả sau :x1αx2⇔x1-αx2-α0⇔x1x2-αx1+x2+α20.x1x2α⇔x1-αx2-α>0x1+x22-α0.αx1x2⇔x1-αx2-α>0x1+x22-α>0

* Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm sốy=x3-2m+1x2+m2+2mx+1nghịch biến trên-1;0.

A.m≥-2.B.-5≤m≤0.C.-2≤m≤-1.D.-2≤m≤0.

Lời giải :

Ta có y"=3x2-22m+1x+m2+2m

Để hàm số nghịch biến trên ta có y"=3x2-22m+1x+m2+2m≤0,∀x∈-1;0.

*Trường hợp 1 :

Nếu △"≤0⇔2m+12-3m2+2m≤0⇔m-12≤0⇔m=1thìy"≥0,∀x∈ℝ(tam thức bậc hai có △≤0thì cùng dấu với hệ số a).Vậy m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*Trường hợp 2 :

Nếu△">0⇔m≠1thì y"=3x2-22m+1x+m2+2m=0có hai nghiệm phân biệtx1x2.Ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên để hàm số nghich biến trên ta phải có-1;0⊂x1;x2⇔x1≤-10≤x2⇔x1x2≤0x1+1x2+1≤0⇔m2+2m≤0x1x2+x1x2+1≤0⇔-2≤m≤0m2+2m3+22m+13+1≤0⇔-2≤m≤0m2+6m+5≤0⇔-2≤m≤0-5≤m≤-1⇔-2≤m≤-1.Chọn C

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=13x3+(m-1)x2+(m2-3m+2)x+4 đồng biến trên2;+∞.

A.m≤2.B.1m2.C.m≥2.D.m≥1.

Lời giải :

Ta có y"=x2+2(m-1)x+(m2-3m+2)

Hàm số đồng biến trên 2;+∞khiy"=x2+2(m-1)x+(m2-3m+2)≥0,∀x∈2;+∞.

*Trường hợp 1 :

Nếu△"≤0⇔m-12-m2-3m+2≤0⇔m-1≤0⇔m≤1thìy"≥0,∀x∈ℝ. Do đó hàm số đồng biến trênℝnên cũng đồng biến trên2;+∞.Vậy m≤1 thỏa yêu cầu bài toán (1)

*Trường hợp 2 :

Nếu△">0⇔m>1thì y" có hai nghiệm phân biệt  x1x2. Ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên để hàm số đồng biến trên2;+∞thì2;+∞⊂x2;+∞, có nghĩa lày"=x2-2(m-1)x+(m2-3m+2)=0 có hai nghiệm thỏax1x2≤2⇔x1-2x2-2≥0x1+x22-20⇔x1x2-2x1+x2+4≥0x1+x2-40⇔m2-3m+2-2(2m-2)+4≥02m-2-40⇔m2-7m+10≥02m6⇔m≤2 hoặc m≥5m3⇔m≤2.Kết hợp với điều kiện m>1 ta có1m≤2 (2)

Từ (1) và (2) ta cóm≤2.Chọn A.

Xem thêm: Cách Xác Định Giao Tuyến Của 2 Mặt Phẳng, Tìm Giao Tuyến Của 2 Mặt Phẳng

Lời bình: Đây là các ví dụ mà chúng ta không thể cô lập được m, vì vậy buộc ta phải dựa vào "bảng biến thiên" để giải quyết. Như vậy khi giải quyết bài toán dạng này cần linh hoạt sử dụng các phương pháp trên vì mỗi phương pháp đều có điểm mạnh và điểm yếu của nó.