Bài viết hôm nay, hanvietfoundation.org sẽ giúp các em đi sâu vào bài toán hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao về dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán rất dễ xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia nên teen 2K1 cần đặc biệt chú ý nhé. 


*

Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao

Contents

2 Các bài tập nâng cao tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số2.0.1 Phương pháp dùng biến số phụ để giải bài toán tìm GTLLN, GTNN của hàm lượng giác.2.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác với tham số m

Phương pháp giải bài tập hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao tìm GTLN, GTNN.Bạn đang xem: Tìm gtln gtnn của hàm số lượng giác trên đoạn

Trước tiên, chúng ta sẽ cùng tham khảo phương pháp giải dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao.

Bạn đang xem: Tìm gtln gtnn của hàm số lượng giác trên đoạn

Để giải được các dạng toán này các em cần thuộc lòng các bất đẳng thức sau. Đây chính là chìa khóa để cả em giải các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm lượng giác.


*

Ngoài ra các em cũng có thể tận dụng chiếc máy tính cầm tay của mình để giải các dạng bài cơ bản. Tuy nhiên với các dạng bài tập ở mức vận dụng cao thì cần phải biết biến đổi công thức lượng giác linh hoạt.

Các bài tập nâng cao tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cos²x + 4cosx

A. min y = 5 B. min y = -2

C. miny = 7 D. min y = 8.

Lời giải:

y = 2 cos²x + 4cosx = 2.(cosx + 1)² – 2

Áp dụng bất đẳng thức – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cosx + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ (cosx + 1)² ≤ 4. Do đó -2 ≤ y ≤ 6.

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất y = -2 khi cosx = 1.

Phương pháp dùng biến số phụ để giải bài toán tìm GTLLN, GTNN của hàm lượng giác.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx +1.

A. min y = 5 B.max y = 6

C. min y = 7 D. min y = 8

Lời giải:

Biến đổi y = cos2x + 4cosx + 1 = 2.cos²x + 4 cosx.

Đặt t = cosx ( -1 ≤ t ≤ 1). Khi đó y = f(t) = 2t² + 4t . Lúc này các em sẽ quay về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn thông thường.

Ở bài toán này là hàm f(t) với tập xác định D = .

y = f(t) = 2t² + 4t ⇒ f"(t) = 4t + 4 = 0 ⇔ t = -1

⇒ f(-1) = -2 = min f(t) = min f(x)

f(1) = 6 = max f(t) = max f(x) = 6.

Như vậy muốn giải nhanh được dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao trên các em cần phải sử dụng biến phụ. Để hiểu hơn về phương pháp dùng biến phụ, chúng ta cùng tìm hiểu thêm ví dụ dưới đây:

Ví dụ 3:

 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos³x – 9/2 cos²x + 3cosx + 1/2 là:

A. 1 B = -24

C. -12 D = -9.

Hướng dẫn giải:

Với bài toán này, việc biến đổi hàm số và áp dụng các bất đẳng thức lượng giác để giải sẽ rất phức tạp. Trong khi đó, các em chỉ cần đặt biến phụ, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều.

Đặt t = cosx, t ∈ . Hàm số trở thành y = 2t³ – 9/2t² + 3t + 1/2. Bây giờ các em sẽ vận dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3 để giải.

Ta có y’ = 6t² – 9t + 3, y ‘ = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

y (1) = 1 , y (-1) = 9, y (1/2) = 9/8.

⇒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -9 –> đáp án D.

Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác với tham số m


*

Các em có thể gặp bài toán hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao hơn với tham số m.

Ví dụ: Cho hàm số y = | 3cosx – 4sinx + 8| với x ∈ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Khi đó M + m bằng bao nhiêu?

A. 8√2 B. 7√3

C.8√3 D. 16.

Hướng dẫn giải:

Biến đổi 3cosx – 4sinx = 5.(3/5cox – 4/5sinx).

Đặt 3/5 = sinα ⇒ cosα = 4/5. Khi đó 5. (3/5. cosx – 4/5.sinx) = 5 sin (α -x).

y = | 5 sin (α -x) + 8|. Sử dụng bất đẳng thức ta có:

3 ≤ 5sin(α -x) + 8 ≤ 13 ⇒ 3 ≤ y ≤ 13, ∀ x ∈ .

Vậy M+ m = 16 –> đáp án D.

Trên đây là một số dạng bài hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao mà hanvietfoundation.org chia sẻ với các em. Hy vọng với bài viết này, các em sẽ có thêm kỹ năng để giải các câu hỏi khó liên quan đến lượng giác lớp 11. hanvietfoundation.org cũng gửi thêm các bài tập về hàm số lượng giác mức độ vận dụng cao để các em luyện tập.

Sách hệ thống bài tập Toán đại số cả 3 năm từ cơ bản đến nâng cao
*

Bộ sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán

Ngoài ra, các em cũng nên tham khảo thêm cuốn sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán. Cuốn sách hệ thống lý thuyết và bài tập trọng tâm từ cơ bản đến nâng cao. Không chỉ có kiến thức đại số lớp 11 mà sách luyện thi THTP Quốc này còn tổng hợp các kiến thức lớp 10 và 12. Những phần quan trọng nhất liên quan đến thi THPT Quốc gia được gói gọn trong một cuốn sách.

Nội dung sách bám sát với định hướng ra đề thi của Bộ. Vì vậy em không phải loay hoay chọn sách tham khảo. Xác định được đúng mục đích học cho từng chuyên đề kiến thức. Điều này giúp em nâng cao hiệu quả ôn luyện, tránh lãng phí thời gian.

Xem thêm: Giải Bài Tập Sgk Toán 10 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Trang 105, Giải Bài Tập Trang 105 Sgk Đại Số 10

Hiện cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán đang được bán tại các nhà sách trên toàn quốc. Các em có thể đến nhà sách gần nhất hoặc comment số điện thoại, email dưới bài viết để được tư vấn chi tiết hơn.