Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm số toán cao cấp

*

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y". Tìm các điểm tại đó y" bằng 0 hoặc y" không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3... là các nghiệm).

Bước 3.Tính f""(x) và f""(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f""(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 .

C.Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải:

Ta có: y" = 3x2 - 6x = 0

*

Và y"" = 6x - 6

Suy ra: y""(0) = -6 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

Lời giải:

Ta có đạo hàm:

y" = 4x3 - 4x = 0

*

Và y""= 12x2 – 4

⇒ y""(0) = -4 > 0; y""(1) = 8 > 0; y""(-1) = 8 > 0

Suy ra:

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và x = -1.

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số sau. Khi đó giá trị của biểu thức M2 – 2n bằng:

*

A. 8.B. 7.

C. 9.D. 6.

Lời giải:

* Ta có đạo hàm:

*

*

Suy ra:

*

* Ta có:

*

⇒ y""(-3) = -2 0

Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và yCĐ = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 và yCT = 1

⇒ M2 – 2n = 7

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

*

Điểm nào trong các điểm sau là điểm cực trị của đồ thị?

A. M(1; 2) B. N(2; 1)

C. P(-3; 3) D. Q(-2; 2)

Lời giải:

Tập xác định D = R (vì x2 + 6x + 12 > 0 mọi x).

Đạo hàm:

*

Giải phương trình y" = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3

Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương

⇔ x = -3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Mà y(-3) = 3 nên điểm cực trị của đồ thi hàm số là M(-3; 3)

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

*

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y""(x0) 0; y0) thì y""(x0) > 0

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. m = 3 B. m > 3

C. m ≤ 3 D. m 2 – 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

*

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số có phương trình là:

A. y = 2x3 – 3x2.

B. y = -2x3 – 3x2.

C. y = x3 + 3x2 + 3x.

D. y = x3 – 3x - 1.

Lời giải:

Đạo hàm y" = 3ax2 + 2bx + c

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị là gốc tọa độ ta có:

*

⇒ Hàm số có dạng: y = ax3 + bx2

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(-1; -1) ta có:

*

Vậy hàm số là: y = -2x3 – 3x2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 - 1).x + 2 với m là tham số. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

A. m = 2 B. m = 1

C. m = 11 D. m 2 – 6mx + m2 - 1 và y"" = 6x – 6m

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

*

*

Vậy để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 thì m = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x4 – 2(m + 1).x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1.

A. m = -1 B. m = 0

C. m = 1 D. không có giá trị

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: y" = 4x3 - 4(m + 1)x

* Để hàm số đã cho đạt cực đại tạo x = 1 thì y"(1) = 0

⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m + 1 = 1

⇔ m = 0

* Với m = 0 thì y" = 4x3 – 4x

⇒ y"(1) = 0 và y"" = 12x2 – 4; y""(1) = 8 > 0

Do đó; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Với những giá trị nào của m thì hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 1.

*

A. m = -2 hoặc m = 0 B. m = 0

C. m = -2 hoặc m = 1 D. m = -2

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ m

* Ta có:

*

Nên đạo hàm

*

* Vì hàm số có đạo hàm tại các điểm x ≠ m nên để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 thì

*
*

* Với m = 0 thì y""(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* m = -2 ⇒ y""(1) = -2 3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm y" = 3ax2 + 2bx + c; Δ"= b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b2 – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 có 2 cực trị khi b2 – 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)

Đạo hàm y" = 4ax3 + 2bx. Xét phương trình y" = 0

Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

*

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y" = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

*

Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay

*

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu xác định m?

A. m = 1 B. m ≠ 1

C. m > 1 D. m tùy ý.

Lời giải:

* Cách 1:

Ta có đạo hàm y" = 3(m - 1)x2 - 6x - m - 1

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt :

*

*

* Cách 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

*

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là:

A. ab 0

C. b = 0 D. c = 0

Lời giải:

Ta có đạo hàm y" = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Xét y" = 0 hay 2x(2ax2 + b) = 0

*

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

*

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3 – 2x2 + (m + 3)x - 1 không có cực trị?

A. m ≥ -8/3 B. m > -5/3

C. m ≥ -5/3 D. m ≤ -8/3

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y" = 3x2 – 4x + m + 3

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y" = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

⇔ Δ" ≤ 0 ⇔ 4 - 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ -5/3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + m chỉ có đúng một cực trị.

*

Lời giải:

* Trường hợp 1: m = 0

Ta có hàm số y = -x2, hàm số này có 1 cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

* Trường hợp 2: m ≠ 0

Đạo hàm y" = 4mx3 + 2(m - 1)x

Xét phương trình: y" = 0 hay 4mx3 + 2(m - 1)x = 0

*

Hàm số có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0 .

*

Kết hợp TH1 và TH2 ta có:

*
thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau có cực trị:

*

A. -10 0

C. m 2 + x - 1

⇒ y" = -2x + 1 = 0 khi x = 1/2 và y""(1/2) 2 – 2x + 1 – 2m = 0 (*)

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m

⇔ 2m2 – m + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m) .

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d.

Ta có đạo hàm y" = 3ax2 + 2bx + c

• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y"(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y".

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y"(x1) = 0; y"(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C).

Ta có y" = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

*

Đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị khi y" = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

*

Độ dài các đoạn thẳng:

*

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT Dữ kiện Công thức thỏa ab 3 = 0
2Tam giác ABC đều 24a + b3 = 0
3Tam giác ABC có góc ∠BAC = α
*
4Tam giác ABC có diện tích SΔABC = S0 32a3(S0)2 + b5 = 0
5Tam giác ABC có diện tích max (S0)
*
6Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0
*
7Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 a.m02 + 2b = 0
8Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16a2n02 - b4 + 8ab = 0
9Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 – 4ac = 0
10Tam giác ABC có 3 góc nhọn b(8a + b3) > 0
11Tam giá ABC có trọng tâm O b2 – 6ac = 0
12Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a - 4ac = 0
13Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0
*
14Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi b2 – 2ac = 0
15Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 – 8a – 4abc = 0
16Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 – 8a – 8abc = 0
17Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC b3k2 - 8a(k2 - 4) =0
18Trục hoành chia ΔABC thành hai phần có diện tích bằng nhau b2 = 4√2|ac|
19Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 – 8ac = 0
20Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:
*

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x3 + 2x2 + mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ CT.

A. m 2 + 4x + m

Để hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ CT

*

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số:

y = 1/3.x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 1 2

*

Lời giải:

Đạo hàm y" = x2 + 2(m + 3)x + 4(m + 3)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 1 2

*

*

*

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số để hàm số: y = 1/3.mx2 - (m - 1)x2 + 3(m - 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1

*

Lời giải:

Đạo hàm y" = mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

*

*

*

*

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2m2x2 + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. m = - 1 B. m ≠ 0

C. m = 1 D. m = 1 hoặc m = -1

Lời giải:

Đạo hàm y" = 4x3 – 4m2x

Ta có: y" = 0 khi 4x(x2 – m2) = 0

* Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4)

* Do tính chất đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A .

Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh

A ⇔ AB−.AC− = 0

⇔ -m2 + m8 = 0

*

Kết hợp điều kiện ta có: m = 1 hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Xem thêm: Diện Tích Tứ Giác Có 2 Đường Chéo Vuông Góc, Cách Tính Diện Tích Tứ Giác Chi Tiết Nhất

Lưu ý: có thể sử dụng công thức

*

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

*

Lời giải:

Đạo hàm y" = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m)

Xét phương trình y" = 0 hay 4x(x2 – m) = 0 (*)

* Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt hay m > 0 .