Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài bác giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Tại bài bác này ta chỉ xét rất trị của hàm nhị biến đổi z = f(x,y).

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm số 2 biến

Cho hàm f(x,y) khẳng định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là điểm cực đái (hoặc cực đại), ví như vĩnh cửu
*
_ở kề bên của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực đại hay rất đái (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt rất trị (địa phương) trên
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt cực tè (cực đại) trên
*
nếu:
*

– Nếu

*
đổi khác vệt Lúc
*
chuyển đổi thì hàm số không đạt rất trị tại
*

Ví dụ: quý khách hãy xét coi hàm số

*
bao gồm đạt cực trị trên M(0;0) giỏi không?

Xét

*
là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
biến hóa lốt yêu cầu hàm f không đạt rất trị tại M0.

2. Quy tắc tìm kiếm rất trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều khiếu nại cần)

Nếu hàm

*
đạt rất trị (địa phương) trên
*
và nếu như f có các đạo hàm riêng trên
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại trên

*
(trường vừa lòng hàm f đạt rất tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, cùng với x trong 1 khoảng tầm nào đó đựng x0.

Do kia, hàm g(x) đạt cực lớn trên x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương trường đoản cú, ví như xét hàm

*
ta đã có:
*

Điểm

*
mà lại trên kia
*
, được Call là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
gồm những đạo hàm riêng rẽ đến cung cấp 2 tiếp tục vào sát bên của điểm dừng
*

Đặt:

*

lúc đó:

a. Nếu

*
0) thì f đạt rất tiểu trên M0.

b. Nếu

*

c. Nếu

*
0 " class="latex" /> thì f ko đạt rất trị tại M0.

d. Nếu

*
ta chưa kết luận cùng cần được xét cụ thể bằng phương pháp phụ thuộc định nghĩa.

Xem thêm: Chuyên Đề Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng, Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Ta công nhận không chứng tỏ định lý này. Việc chứng tỏ định lý này, nhờ vào câu hỏi knhị triển Taylor – Maclaurin mang đến hàm số 2 đổi thay. Lúc kia, ta đã xét dấu cho vi phân cung cấp 2 vào knhì triển Taylor. Các bạn cũng có thể xem chi tiết minh chứng cùng phương pháp Taylor trong giáo trình Toán thù học tập Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem minh chứng một cách dễ nắm bắt nhất, chúng ta cũng có thể xem vào cuốn nắn Giải tích toán thù học tập của người sáng tác Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm rất trị của hàm số:

*

lấy ví dụ như 2: Tìm rất trị của hàm số:

*


Bình chọn


thưa thầy cho em hỏi bài bác nì:tìm kiếm rất trị của:

*
Tọa độ điểm dừng là nghiệm hệ:
*
ta tìm được những điểm dừng nhằm đạo hàm riêng biệt kxđ và = 0 là: (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)Xét dz mang đến từng ngôi trường vừa lòng thì ta tất cả dc là: (0,0) là cực đại, còn lại là rất tiểuMặt không giống hay thấy rằng:
*
là đồ gia dụng thị là chào bán cầu tâm O nửa đường kính r =1, nằm phía trên mp xOytất cả điểm cực to (0,0) là trọn vẹn đúng mực, tuy vậy những xung quanh những điểm (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) thì tất cả hồ hết điểm bên trên mp xOy số đông là rất tè hết . bởi vậy, thì thiết bị thị này còn có qũy tích lũy cực tè là mặt đường tròn trung tâm O bk r =1 vị trí xOy.Em thấy nhì cách giải bên trên nó mâu thuẫn với nhau về điểm cực tè, em không biết phương pháp làm sao đúng, thầy góp em với