Biết đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là
*
. Hãy tính tổng
*
.

Bạn đang xem: Sự tương giao của hai đồ thị

A. 2.

B. 1.

C. 5.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

*

Hoành độ giao điểm A, B của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet có

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Thường Tín – Hà Nội 2017)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng

*
và đường cong
*
. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A.

*
.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN là

*
.

Chọn B.

Ví dụ 1.3:Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

*
và đường thẳng
*
là

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

*
là giao điểm của hai đồ thị.

Chọn A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng

*
cắt đồ thị của hàm số
*
tại hai điểm phân biệt.

A.

*
\cup \text{ }\!\!<\!\!\text{ }16;+\infty )" />.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Yêu cầu bài toán⇔Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

*

*
0\\m{{(-1)}^{2}}+m(-1)+4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )\\4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )" />

Chọn B.

Ví dụ 1.5:Tất cả các giá trị của m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt
*
sao cho
*
là

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt⇔Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

*
là 2 giao điểm, với
*
là nghiệm của phương trình (1). Khi đó theo định lí Viet có
*

Theo giả thiết

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*)).

Chọn A.

Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt
*
sao cho AB ngắn nhất.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Ta có

*
0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}\\{{2.0}^{2}}-(2m-1).0-1\ne 0,\forall m\end{array} \right." />

Do đó đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi hai giao điểm là

*
.

Khi đó theo định lí Viet có

*

Ta có

*

Do đó

*
khi
*
.

Chọn A.

Ví dụ 1.7 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)

Cho hàm số

*
. Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua
*
có hệ số góc m cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

A.

*
.

B.

*
0" />.

C.

*
và có hệ số góc m là
*
.

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

*
thỏa mãn
*
0\\m.g(2)0\\-5m0" />

Vậy chọn B.

Ví dụ 1.8:Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tạo hai điểm phân biệt
*
sao cho
*
với I là tâm đối xứng của (C).

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

*
và có tiệm cận ngang là
*
.

Do đó tâm đối xứng của đồ thị là

*
.

Ta có

*

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Giả sử

*
là hai giao điểm.

Theo định lí Viet có

*

Ta có

*

Diện tích tam giác IMN là:

*

*
=64\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}=4\\{{(m-1)}^{2}}=-16\end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}m=3\\m=-1\end{array} \right." />

Chọn A.

Dạng 2: Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba

*
và đường thẳng
*

Ví dụ 2.1:Số giao điểm của đường cong

*
và đường thẳng
*
bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

*
.

Vậy đường cong và đường đường thẳng có 1 giao điểm.

Chọn A.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 1)

Biết rằng đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại điểm duy nhất, kí hiệu
*
là tọa độ của điểm đó. Tìm
*
.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

*

*
là giao điểm của hai đồ thị
*
.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại ba điểm phân biệt.

A.

*
-3" />.

B.

*

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt⇔Phương trình

*
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
*
0\Leftrightarrow m>-3" />.Chọn A.

Ví dụ 2.4:Cho hàm số

*
. Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm là

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*
\!\!\text{ }=0\\\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x=-1\\{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}" />

Yêu cầu bài

*
có 2 nghiệm âm phân biệt khác
*

*
0\\-\frac{b}{a}=m+40\\{{(-1)}^{2}}-(m+4)(-1)+3(m+1)\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 2\\m-1\\m\ne -2\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing " />.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5:Cho hàm số

*
có đồ thị
*
và đường thẳng d qua
*
và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt
*
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
*
thỏa mãn
*
.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
và có hệ số góc m là
*

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

*

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

*
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

*
0\\1-2-2-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+m>0\\-3-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m>-3" />

Gọi

*
là 3 nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet ta có

*

Ta có

*

Vậy

*
.Chọn A.

Xem thêm: Gợi Ý Giải Đề Thi Chuyên Anh Lê Hồng Phong Tphcm 2018, Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Tiếng Anh (Chuyên)

Ví dụ 2.6 (Sở GD Bắc Giang 2017 Lần 2)

Cho hàm số

*
và đường thẳng
*
. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt
*
sao cho
*
và
*
với O là gốc tọa độ.