Bài viết chỉ dẫn các bước tính tích phân bởi phương thức tích phân từng phần, đồng thời nêu ra một số dạng tân oán thường xuyên chạm chán cùng tay nghề đặt đổi mới số thích hợp lúc thực hiện tích phân từng phần.

Bạn đang xem: Phương pháp tích phân từng phần

Pmùi hương pháp tích phân từng phần:Nếu $u(x)$ cùng $v(x)$ là những hàm số tất cả đạo hàm liên tiếp trên $left< a;b ight>$ thì:$intlimits_a^b u(x)v"(x)dx $ $ = left( u(x)v(x) ight)left| eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b v(x)u"(x)dx .$Hay: $intlimits_a^b eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b vdu .$

Áp dụng phương pháp bên trên ta tất cả nguyên tắc tính $intlimits_a^b f(x)dx $ bằng phương pháp tích phân từng phần nlỗi sau:+ Cách 1: Viết $f(x)dx$ bên dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách lựa chọn một trong những phần say mê hợp của $f(x)$ làm $u(x)$ với phần còn lại $dv = v"(x)dx.$+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int dv = int v"(x)dx .$+ Cách 3: Tính $intlimits_a^b vdu = intlimits_a^b vu’dx $ và $uvleft| eginarraylb\aendarray ight. .$+ Cách 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^b eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b vdu .$

Cách đặt $u$ với $dv$ trong phương thức tích phân từng phầnĐiều quan trọng đặc biệt Lúc áp dụng cách làm tích phân từng phần là làm cho chũm nào để lựa chọn $u$ và $dv = v’dx$ phù hợp vào biểu thức dưới vết tích phân $f(x)dx$. Nói tầm thường nên chọn lựa $u$ là phần của $f(x)$ mà lại Khi rước đạo hàm thì dễ dàng, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số sẽ biết hoặc bao gồm nguim hàm dễ tìm kiếm.

*

+ Nếu tính tích phân $intlimits_altrộn ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là nhiều thức chứa $x$ và $Q(x)$ là một Một trong những hàm số: $e^ax$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta hay đặt:$left{ eginarraylu = P(x)\dv = Q(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = P"(x)dx\v = int Q(x)dxendarray ight. $+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ cơ mà $P(x)$ là đa thức của $x$ cùng $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ eginarraylu = Q(x)\dv = P(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = Q’left( x ight)dx\v = int P(x)dxendarray ight. $+ Nếu tính tích phân $J = intlimits_alpha ^eta e^axsin bxdx $ thì ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = sin bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = – frac1bcos bxendarray ight. $Tương tự cùng với tích phân $I = intlimits_altrộn ^eta e^axcos bxdx $, ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = cos bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = frac1bsin bxendarray ight. $Trong ngôi trường thích hợp này, ta buộc phải tính tích phân từng phần hai lần tiếp nối trở nên tích phân ban sơ. Từ kia suy ra hiệu quả tích phthân thiện tính.

Xem thêm: Lý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Trong Không Gian, Hình Học 11 Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc

lấy ví dụ như minch họa:lấy một ví dụ 1: Tính các tích phân sau:a. $intlimits_1^2 fracln xx^5dx .$b. $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx .$c. $intlimits_0^1 xe^xdx .$d. $intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = frac1x^5dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = – frac14x^4endarray ight.$Do đó: $intlimits_1^2 fracln xx^5dx $ $ = left. – fracln x4x^4 ight|_1^2 + frac14intlimits_1^2 fracdxx^5 $ $ = – fracln 264 + left. frac14left( – frac14x^4 ight) ight|_1^2$ $ = frac15 – 4ln 2256.$b. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = sin xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx $ $ = left( xsin x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 sin xdx $ $ = fracpi 2 + cos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. = fracpi 2 – 1.$c. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^1 xe^xdx $ $ = xe^xleft| eginarrayl1\0endarray ight. – intlimits_0^1 e^xdx $ $ = e – e^xleft| eginarrayl1\0endarray ight.$ $ = e – left( e – 1 ight) = 1.$d. Đặt $left{ eginarraylu = e^x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = e^xdx\v = sin xendarray ight.$ $ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^xsin xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xsin xdx .$Đặt $left{ eginarraylu_1 = e^x\dv_1 = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = e^xdx\v_1 = – cos xendarray ight.$$ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 + e^xcos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $$ Leftrightarrow 2intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx = frace^fracpi 2 – 12.$

lấy một ví dụ 2: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_1^3 frac3 + ln x(x + 1)^2dx .$b. $J = intlimits_ – 1^0 (2x^2 + x + 1)ln (x + 2)dx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = 3 + ln x\dv = fracdx(x + 1)^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = frac – 1x + 1endarray ight.$$I = – left. frac3 + ln xx + 1 m ight|_1^3 + intlimits_1^3 fracdxx(x + 1) $ $ = – frac3 + ln 34 + frac32 + left. ight|_1^3$ $ = frac3 – ln 34 + ln frac32.$b. Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 2)\dv = (2x^2 + x + 1)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = frac1x + 2dx\v = frac23x^3 + frac12x^2 + xendarray ight.$$J = (frac23x^3 + frac12x^2 + x)ln (x + 2)left| _ – 1^0 ight.$ $ – frac16intlimits_ – 1^0 frac4x^3 + 3x^2 + 6xx + 2dx $$ = – frac16intlimits_ – 1^0 (4x^2 – 5x + 16 – frac32x + 2)dx $ $ = – frac16left. left< frac43x^3 – frac52x^2 + 16x – 32ln (x + 2) ight> ight|_ – 1^0$$ = frac163ln 2 – frac11936.$

lấy ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx .$

Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 1)\dv = xdxendarray ight.$ ta có $left{ eginarrayldu = frac1x + 1dx\v = fracx^2 – 12endarray ight.$Suy ra: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx $ $ = left. left< ln (x + 1)fracx^2 – 12 ight> ight|_0^e – 1$ $ – frac12intlimits_0^e – 1 (x – 1)dx $ $ = frace^2 – 2e2 – frac12left( fracx^22 – x ight)left| _0^e – 1 ight.$ $ = frace^2 – 34.$Chụ ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = fracx^2 – 12$ chũm vì $v = fracx^22$ để câu hỏi tính tích phân $intlimits_0^e – 1 vdu $ dễ ợt hơn, điều này bạn đọc rất có thể chọn $v$ một bí quyết khôn khéo để giải mã được nđính thêm gọn gàng.