*

Phần Bài Tập

Bài 1 (trang 45 SGK Giải tích 12):Phát biểu các điều kiện đồng đổi thay cùng nghịch biến hóa của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

y = -x3+ 2x2– x – 7;

Lời giải:

– Điều kiện đồng trở thành, nghịch phát triển thành của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định bên trên K, hàm số f(x):

+ Đồng vươn lên là (tăng) trên K giả dụ ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) 2).

Bạn đang xem: Ôn tập chương 1 giải tích 12

+ Nghịch biến đổi (giảm) bên trên K ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) > f(x2)

– Xét hàm số y = -x3+ 2x2– x – 7, ta có:

D = R

y’ = -3x2+ 4x – 1

y’ = 0 => x = 1 ; x = 1/3

y’ > 0 với x ∈ (1/3; 1) và y’ Lưu ý:quý khách hàng phải kẻ bảng trở nên thiên giúp xem sự đơn điệu cụ thể rộng.

– Xét hàm số

Ta có: D = R 1

*

=> Hàm số luôn luôn nghịch đổi mới bên trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +-∞)

Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu phương pháp tra cứu cực lớn, rất đái của hàm số dựa vào đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số:

y = x4– 2x2+ 2

Lời giải:

– Cách search cực to, rất tè của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x). Tìm những điểm trên kia f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) bằng 0 hoặc f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) ko khẳng định.

3. Lập bảng thay đổi thiên.

4. Từ bảng biến hóa thiên suy ra các điểm rất trị.

Quy tắc 2:

1. Tìm tập khẳng định.

2. Tính f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x). Giải phương trình f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 0 cùng kí hiệu xi(i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của chính nó.

3. Tính f”(x) cùng f”(xi)

4. Nếu f”(xi) > 0 thì xilà vấn đề rất tè.

Nếu f”(xi) ilà điểm cực to.

– Xét hàm số y = x4– 2x2+ 2, ta có:

y’ = 4x3– 4x = 4x(x2– 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x2– 1) = 0 => x = 0; x = ±1

y” = 12x2– 4

Dựa vào Quy tắc 2, ta có:

y”(0) = -4 x = 0 là điểm cực lớn.

y”(-1) = y”(1) = 8 > 0 => x = ±1 là nhì điểm cực tè.

Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu giải pháp tìm ra tiệm cận ngang cùng tiệm cận dứng của trang bị thị hàm số. Áp dụng để search các tiệm cận của đồ thị hàm số:

*

Lời giải:

– Cách tìm tiệm cận ngang:

Đường trực tiếp y = yolà tiệm cận ngang của thứ thị hàm số y = f(x) trường hợp tối thiểu một trong số ĐK sau được thỏa mãn

*

– Cách tra cứu tiệm cận đứng:

Đường thẳng x = xolà tiệm cận đứng của thứ thị hàm số y = f(x) trường hợp ít nhất một trong số ĐK sau được thỏa mãn

*

– Xét hàm số

*
*

=> Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.

*

=> Đồ thị bao gồm tiệm cận ngang là y = -2.

Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nhắc lại sơ vật dụng điều tra sự biến hóa thiên và vẽ thiết bị thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = f(x)

Các bước điều tra khảo sát hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

– Xét chiều biến chuyển thiên:

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm các điểm trên đó y’ bằng 0 hoặc ko xác định

+ Xét vết của đạo hàm y’ với suy ra chiều đổi thay thiên của hàm số.

– Tìm rất trị

– Tìm những số lượng giới hạn trên vô cực, những số lượng giới hạn vô rất cùng kiếm tìm tiệm cận (giả dụ có)

– Lập bảng đổi mới thiên.

3. Vẽ vật dụng thị của hàm số

Dựa vào bảng đổi thay thiên với các yếu tố xác minh làm việc bên trên nhằm vẽ trang bị thị.

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12):Cho hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1 tất cả đồ thị là (Cm), m là ttê mê số.

a) Khảo tiếp giáp sự biến đổi thiên với vẽ đồ thị hàm số Lúc m = -1

b) Xác định m để hàm số:

i) Đồng biến đổi bên trên khoảng (-1; +∞)

ii) Có rất trị bên trên khoảng (-1; +∞)

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn giảm trục hoành tại nhị điểm riêng biệt với đa số m.

Lời giải:

a)Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x2+ 2x

– TXĐ: D = R, hàm số không có tiệm cận.

– Sự đổi thay thiên:

+ Chiều biến chuyển thiên: y’ = 4x + 2

y’ = 0 => x = -1/2

+ Bảng đổi thay thiên:

*

Hàm số nghịch đổi mới bên trên (-∞; -1/2), đồng trở thành trên (-1/2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số bao gồm điểm cực tè là (-1/2; 3/2)

– Đồ thị:

Ta có: 2x2+ 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

=> x = 0; x = -1

+ Giao cùng với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

*

b)Xét hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1

y’ = 4x + 2m = 2(2x + m)

y’ = 0 => x = -m/2

Ta tất cả bảng xét vệt y’:

*

=> hàm số bao gồm rất trị trên x = -m/2

– Hàm số đồng biến hóa bên trên khoảng (-1; +∞)

*

– Hàm số có rất trị bên trên khoảng chừng (-1; +∞) thì:

*

c)Phương trình hoành độ giao điểm của đồ gia dụng thị (Cm) với trục Ox là:

2x2+ 2mx + m – 1 = 0 (1)

Δ’ = m2– 2(m – 1) = m2– 2m + 2

= (m + 1)2+ 1 > 0 ∀ m ∈ R

=> Phương trình (1) luôn bao gồm nhì nghiệm phân biệt, nghĩa là thiết bị thị luôn cắt trục hoành trên nhị điểm phân biệt với đa số m (đpcm).

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12):a) Khảo tiếp giáp sự đổi thay thiên cùng vẽ vật thị (C) của hàm số:

f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

b) Giải phương trình f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x – 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp con đường của thiết bị thị (C) trên điểm gồm hoành độ x0, hiểu được f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x0) = -6.

Lời giải:

a)Khảo ngay cạnh hàm số f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

– TXĐ: D = R

– Sự trở thành thiên:

+ Chiều biến chuyển thiên: f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = -3x2+ 6x + 9

f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 0 ⇔ -3x2+ 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

+ Giới hạn:

*

+ Bảng vươn lên là thiên:

*

Hàm số đồng biến hóa trên (-1; 3) cùng nghịch biến chuyển bên trên (-∞; -1) và (3; +∞).

+ Cực trị:

Hàm số đạt cực lớn trên (3; 29);

Hàm số đạt cực tè trên (-1; -3);

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x – 1) > 0

⇔ -3(x – 1)2+ 6(x – 1) + 9 > 0

⇔ -3(x2– 2x + 1) + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 6x – 3 + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 12x > 0 ⇔ -x2+ 4x > 0

⇔ x(4 – x) > 0 ⇔ 0 o) = -6 => -6xo+ 6 = -6 => xo= 2

Vậy phương trình tiếp con đường với (C) tại điểm xo= 2 là:

y = f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(2)(x – 2) + f(2)

y = (-3.22+ 6.2 + 9)(x – 2) + (-23+ 3.22+ 9.2 + 2)

y = 9(x – 2) + 24 =9x + 6

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12):a) Khảo liền kề sự thay đổi thiên cùng vẽ vật dụng thị hàm số:

y = x3+ 3x2+ 1

b) Dựa vào đồ gia dụng thị (C), biện luận số nghiệm pmùi hương trình sau theo m:

x3+ 3x2+ 1 = m/2

c) Viết phương trình mặt đường trực tiếp trải qua điểm cực lớn và điểm rất tiểu của đồ dùng thị (C).

Lời giải:

a)Khảo giáp hàm số y = x3+ 3x2+ 1

– TXĐ: D = R

– Sự phát triển thành thiên:

+ Chiều trở nên thiên: y’ = 3x2+ 6x = 3x(x + 2)

y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến chuyển thiên:

*

Hàm số đồng trở nên bên trên các khoảng (-∞; -2) cùng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến hóa bên trên khoảng (-2; 0).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số bao gồm điểm rất tè là (0; 1).

Đồ thị hàm số tất cả điểm cực to là (-2; 5).

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

*

b)Số nghiệm của phương trình x3+ 3x2+ 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ dùng thị (C) cùng con đường thẳng y = m/2.

*

(Đường trực tiếp y = m/2 là mặt đường trực tiếp song song cùng với trục Ox giảm trục Oy tại điểm tất cả tung độ bởi m/2)

Cách làm:Dịch gửi song song đường thẳng (d) với trục Ox tự bên trên xuống bên dưới (hoặc trường đoản cú bên dưới lên trên) là dựa vào số giao điểm của (d) và (C) để biện luận.

Bên cạnh đó, trong những khi làm bài xích, các bạn không nên vẽ lại hình, chỉ cần vẽ (d) lên trên mặt thiết bị thị vừa vẽ là được.

Biện luận:Từ đồ vật thị ta có:

+ m/2 5 ⇔ m > 10: phương trình có 1 nghiệm số.

Vậy:

+ Nếu m 10 thì phương trình có 1 nghiệm nhất.

+ Nếu 2 y = -2x + 1

Vậy phương trình mặt đường trực tiếp trải qua điểm cực lớn cùng cực tiểu là:y = -2x + 1

Bài 8 (trang 46 SGK Giải tích 12):Cho hàm số:

f(x) = x3– 3mx2+ 3(2m – 1)x + 1 (m là tham mê số).

a) Xác định m nhằm hàm số đồng trở nên trên tập khẳng định.

b) Với cực hiếm như thế nào của tsay mê số m thì hàm số gồm một cực lớn với một rất tiểu?

c) Xác định m để f”(x) > 6x.

Lời giải:

a)TXĐ: D = R

f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 3x2– 6mx + 3(2m – 1)

f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 0 ⇔ 3x2– 6mx + 3(2m – 1) = 0 (1)

Δ’ = (-3m)2– 3.3(2m – 1) = 9(m2– 2m + 1)

= 9(m – 1)2

Để hàm số đồng trở nên trên D thì f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) ≥ 0

⇔ Δ’ ≤ 0 ⇔ 9(m – 1)2≤ 0 =>m = 1

b)Hàm số tất cả một cực to cùng một rất đái lúc còn chỉ lúc phương thơm trình (1) tất cả 2 nghiệm riêng biệt.

⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2> 0 =>m ≠ 1

c)Ta có: f”(x) = 6x – 6m

f”(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x

⇔ – 6m > 0 ⇔m 4– 6x2+ 3 = m.

Lời giải:

a)Khảo liền kề hàm số

*

– TXĐ: D = R

– Sự trở thành thiên:

+ Chiều biến chuyển thiên: f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 2x3– 6x = 2x(x2– 3)

f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(x) = 0 ⇔ 2x(x2– 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực:

*

+ Bảng vươn lên là thiên:

*

Hàm số đồng biến bên trên (-√3; 0) với (√3; +∞).

Hàm số nghịch biến đổi bên trên (-∞; -√3) cùng (0; √3).

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số đạt cực lớn trên (0; 3/2)

Đồ thị hàm số đạt cực tè tại (-√3; -3) cùng (√3; -3)

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f”(x) = 6x2– 6 = 6(x2– 1)

f”(x) = 0 ⇔ 6(x2– 1) ⇔ x = ±1 => y = -1

Phương thơm trình tiếp con đường của (C) trên (-1; -1) là:

y = f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(-1)(x + 1) – 1 =>y = 4x + 3

Phương thơm trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:

y = f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(1)(x – 1) – 1 =>y = -4x + 3

c)Ta có: x4– 6x2+ 3 = m

*

Số nghiệm của phương thơm trình (*) chủ yếu ngay số giao điểm của thứ thị (C) và đường trực tiếp y = m/2.

Biện luận:Từ đồ thị:

+ m/2 3/2 ⇔ m > 3: pmùi hương trình gồm 2 nghiệm.

Vậy:

+) m 3 thì PT tất cả 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT gồm 3 nghiệm.

+) – 6 4+ 2mx2– 2m + 1 (m tđam mê số)

gồm đồ dùng thị là (Cm).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

d) Với quý hiếm nào của m thì (Cm) giảm trục hoành?

c) Xác định để (Cm) tất cả cực to, cực đái.

Lời giải:

a)y’ = -4x3+ 4mx = 4x(m – x2)

y’ = 0 (1) ⇔ 4x(m – x2) = 0 => x = 0; x2= m

– Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) có một nghiệm => hàm số không có cực trị.

– Nếu m > 0 thì pmùi hương trình (2) có 3 nghiệm => hàm số gồm 3 rất trị.

b)Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:

-x4+ 2mx2– 2m + 1 = 0 (2)

Đặt x2= t (t ≥ 0) khi đó phương thơm trình (2) tương tự với:

-t2+ 2mt – 2m + 1 = 0 (3)

(Cm) giảm trục hoành khi phương thơm trình (2) bao gồm nghiệm. Vấn đề này tương tự cùng với phương thơm trình (3) tất cả nghiệm không âm. Có hai ngôi trường hợp:

– TH1: Phương trình (3) bao gồm 2 nghiệm trái dấu:

*

– TH2: Pmùi hương trình (3) bao gồm 2 nghiệm gần như không âm:

*

Kết vừa lòng TH1 và TH2 ta gồm với đa số m thì vật dụng thị (Cm) luôn giảm trục hoành.

c)(Cm) tất cả cực lớn, cực tè khi phương thơm trình (1) tất cả tía nghiệm rõ ràng.

⇔ x2= m bao gồm 2 nghiệm phân biệt

m > 0

Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12):a) Khảo gần kề sự biến hóa thiên và vẽ trang bị thị (C) của hàm số

*

b) Chứng minch rằng với tất cả giá trị của đường trực tiếp y = 2x + m luôn giảm (C) trên nhì điểm rõ ràng M cùng N.

c) Xác định m sao để cho độ dài MN nhỏ dại độc nhất.

d) Tiếp đường tại một điểm S bất kể của C giảm hai tiệm cận của C trên Phường cùng Q. Chứng minc rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a)Khảo tiếp giáp hàm số:

– TXĐ: D = R (-1)

– Sự vươn lên là thiên:

+ Chiều phát triển thành thiên:

*

Hàm số luôn luôn nghịch đổi thay trên D.

+ Cực trị: Hàm số không tồn tại rất trị.

+ Tiệm cận:

*

=> Đồ thị gồm tiệm cận đứng là x = -1.

*

=> Đồ thị bao gồm tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng trở thành thiên:

*

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

*

b)Phương thơm trình hoành độ giao điểm của (C) cùng mặt đường thẳng y = 2x + m là:

*

Dễ thấy x = -1 ko là nghiệm của phương trình (1).

Ta có: Δ = (m + 1)2– 8(m – 3) = m2– 6m + 25

Δ = (m – 3)2+ 16 > 0 ∀ m

=> Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm rành mạch không giống -1.

Vậy đường trực tiếp y = 2x + m luôn luôn giảm (C) tại 2 điểm phân minh M cùng N.

c)Giả sử M(x1; y1), N(x2; y2) với x1, x2là nghiệm của phương thơm trình (1) với y1= 2x1+ m, y2= 2x2+ m.

*

MN nhỏ tuyệt nhất ⇔ MN2bé dại độc nhất vô nhị bởi trăng tròn.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m – 3 = 0 ⇔ m = 3

Lúc đó độ dài MN nhỏ độc nhất = √20 = 2√5

d)Gọi S(xo; yo) ∈ (C).

Pmùi hương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

*

– Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

*

– Giao điểm của (d) cùng với tiệm cận ngang y = 1 là: Q(2xo+ 1; 1).

– Trung điểm của PQ là I(x1; y1) bao gồm tọa độ là:

*

Suy ra S(xo; yo) chính là trung điểm của PQ (đpcm).

Bài 12 (trang 47 SGK Giải tích 12):Cho hàm số

*

a) Giải phương trình f"https://hanvietfoundation.org/on-tap-chuong-1-giai-tich-12/imager_1_3426_700.jpg(sin x) = 0.

b) Giải phương thơm trình f”(cos x) = 0.

Xem thêm: Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc 2 Và Ứng Dụng Để So Sánh Nghiệm

c) Viết phương trình tiếp đường của vật dụng thị hàm số vẫn mang lại trên điểm gồm hoành độ là nghiệm của phương thơm trình f”(x) = 0.