Khảo sát sự biến thiên của hàm số cùng với các dạng toán khác trong chương trình toán lớp 10 là các chủ đề không thể bỏ qua trong kỳ thi đại học

I. Phương pháp thực hiện

Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax$^2$ + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Bạn đang xem: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bạn đang xem: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10Nhận xét rằng: ax$^2$ + bx + c = a$\left( {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c=${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a(x - p)$^2$ + q.Như vậy, nếu gọi (P$_0$): y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:Tịnh tiến (P$_0$) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái |p| đơn vị nếu p Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới |q| đơn vị nếu q Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị của hàm số là một Parabol (P) có đỉnh S(-$\frac{b}{{2a}}$, -$\frac{\Delta }{{4a}}$) và nhận đường thẳng x = -$\frac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng và:Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.Hướng bề lõm xuống dưới nếu a Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:
*

Vậy, ta có kết luận
:Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -$\frac{b}{{2a}}$).Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực tiểu y$_{min}$=f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$ Vậy, ta có kết luận:o Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-$\frac{b}{{2a}}$).o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.Ta có các trường hợp:
*

*Nhận xét chung:
Δ > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.Δ = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoành.Δ

II. Ví dụ vận dụng

Thí dụ 1.
Cho hàm số y = f(x) = x$^2$ - 4x + 2.

Xem thêm: Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng, Bài Tập Vận Dụng

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x$^2$ - 2.c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x$^2$ - 4x + 2 = m và x$^2$ - 2 = m đều có cùng số nghiệm.
*

*