Hai kăn năn đa diện cân nhau thì rất có thể tích bằng nhau.Nếu 1 khối hận nhiều diện được phân chia thành những kăn năn đa diện nhỏ tuổi thì thể tích của nó bởi toàn diện và tổng thể tích của những khối đa diện nhỏ.Khối lập pmùi hương bao gồm cạnh bởi 1 thì có thể tích bằng 1.

Bạn đang xem: Khái niệm về thể tích của khối đa diện


Giả sử có một kăn năn hộp chữ nhật cùng với 3 kích thước a, b, c những là đông đảo số dương. khi kia thể tích của nó là:(V=a.b.c).

*


Thể tích của một khối chóp bắng một trong những phần bố tích số của dưới đáy với chiều cao khối chóp đó:(V=frac13S_day.h.)

*

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

*

Trên những con đường trực tiếp SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy theo lần lượt các điểm A", B", C".

Ta có:(V_S.A"B"C" = fracSA".SB".SC"SA.SB.SC.V_S.ABC).


Thể tích của kăn năn lăng trụ bởi tích số của diện tích S mặt đáy cùng với độ cao của khối hận lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

*

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)

6. Bài toán thù Tính thể tích khối hận chóp

ví dụ như 1:

Cho hình chóp S.ABC tất cả tam giác ABC vuông tại B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), sát bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối hận chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông trên B đề xuất (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:

( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a )

(= fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông trên A bao gồm (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích kăn năn chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

ví dụ như 2:

Cho hình chóp S.ABCD tất cả lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh (asqrt2), kề bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng lòng với (SC=a sqrt5). Tính thể tích kăn năn chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông tại A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích kân hận chóp S.ABCD là:

(V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA )

(= frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC tất cả cạnh đáy bằng (asqrt3), ở bên cạnh bằng 2a.Tính thể tích khối hận chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Hotline M là trung điểm của BC.

O là giữa trung tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC đa số cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 )

(= frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông trên A yêu cầu ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích kăn năn chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

lấy ví dụ như 4:

Cho hình chóp S.ABCD tất cả lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, kề bên SA vuông góc với phương diện phẳng lòng cùng SC tạo thành với mặt dưới một góc bởi 600.Tính thể tích khối hận chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

(SA ot (ABCD))đề nghị AC là hình chiếu của SC lên khía cạnh phương diện phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) )

(= widehat SCA = 60^o.)

Diện tích đáy là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông tại A có:

(AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 )

(Rightarrow SA = AC.chảy 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là:

(V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA )

(= frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, cạnh (BC=asqrt2,)lân cận SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy; khía cạnh mặt (SBC) sinh sản với mặt dưới (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Call M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)vày (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra:

(widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) )

(= widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận tại A bao gồm (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)với (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC )

(= frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có:

(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. ung 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA )

(= frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

7. Bài toán thù Tính thể tích kân hận lăng trụ

lấy một ví dụ 1:

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"tất cả lòng ABC là tam giác vuông trên B, AB = a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông tại B phải (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông tại A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối hận lăng trụ là:

(V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

ví dụ như 2:

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"bao gồm đáy ABC là tam giác mọi cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên mặt phẳng (ABC) trùng cùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A"A phù hợp với dưới đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích kăn năn lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Hotline M là trung điểm của BC.

G là trung tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do kia AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên mặt phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC hồ hết cạnh (2asqrt3)nên:

(S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông tại G tất cả :

(widehat A = 30^0,)

(AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. ã 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

8. Bài toán thù về Công thức tính tỷ số thể tích

lấy một ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC tất cả tam giác ABC hồ hết cạnh 2a, sát bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy cùng (SA=asqrt3.)Call M, N thứu tự là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.

Lời giải:

*

Kăn năn chóp S.AMN với S.ABC bao gồm tầm thường đỉnh S với góc ngơi nghỉ đỉnh S.

Do kia theo phương pháp tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

lấy ví dụ như 9:

Cho hình chóp(S.ABCD)bao gồm đáy(ABCD)là hình bình hành, M cùng N theo thứ trường đoản cú là trung điểm của SA cùng SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Xem thêm: Bài Tập Về Hàm Số Liên Tục, Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số

Lời giải:

*

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và

(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Khi đó:

(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 )

(Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:

(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 )