Các vectơ(overrightarrow i ,,,overrightarrow j ,,overrightarrow k)thứu tự là những vectơ đơn vị bên trên những trụcxOx", yOy", zOz" với:(left | veci ight |=left | vecj ight |=left | veck ight |=1.)

Hệ trục những điều đó được Gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là nơi bắt đầu tọa độ.

Bạn đang xem: Hệ tọa độ trong không gian

b) Tọa độ của vectơ trong ko gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ(vecu)mãi mãi độc nhất bộ số ((x,y,z))sao cho:(overrightarrowu=(x;y;z))(Leftrightarrow vecu=xveci+yvecj+zveck.)

Sở số: ((x,y,z))được call là tọa độ của vectơ(vecu).

c) Tọa độ điểm vào không gian

Trong không khí Oxyz, đến điểm A tùy ý sống thọ độc nhất vô nhị bộ số((x_A,y_A,z_A))sao cho:(A(x_A,y_A,z_A)Leftrightarrow overrightarrowOA=(x_A;y_A;z_A).)

Bộ số((x_A,y_A,z_A))được Gọi là tọa độ điểm A.


Cho cha vectơ(vec a=(1;m;2),vec b=(m+1;2;1),vec c=(0;m-2;2).)

a) Tìm m để(vec a)vuông góc(vec b.)

b) Tìm m để(left| overrightarrow a + overrightarrow b ight| = left| overrightarrow c ight|.)

Lời giải:

a) Ta có:(overrightarrow a ot overrightarrow b Rightarrow overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 Leftrightarrow m = - 1.)

b) Ta có:(overrightarrow a + overrightarrow b = left( m + 2;m + 2;3 ight))

Do đó:

(eginarrayl left| overrightarrow a + overrightarrow b ight| = left| overrightarrow c ight| Leftrightarrow left = ^2\ Leftrightarrow left( m + 2 ight)^2 + (m + 2)^2 + 9 = (m - 2)^2 + 4\ Leftrightarrow m^2 + 12m + 9 = 0 Leftrightarrow m = - 6 pm sqrt 3 . endarray)

lấy ví dụ như 2:

Trong hệ trục tọa độ Oxy mang lại (overrightarrow a = (1; - 1;0),,overrightarrow b = ( - 1;1;2),,overrightarrow c = overrightarrow i - 2overrightarrow j ,,overrightarrow d = overrightarrow i).

a) Xác định t nhằm vectơ (overrightarrow u = left( 2;2t - 1;0 ight))thuộc pmùi hương cùng với (overrightarrow a .)

b) Tìm những số thực m,n,p nhằm (overrightarrow d = moverrightarrow a - noverrightarrow b + poverrightarrow c).

Lời giải:

a) (vec u)cùng phương thơm với (vec a)khi:

(eginarrayl left{ eginarrayl 1 = 2k\ - 1 = (2t - 1)k\ 0 = 0k endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl 1 = 2k\ - 1 = (2t - 1)k endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarrayl k = frac12\ - 1 = (2t - 1)k endarray ight. endarray)

Với (t=frac12)thì ta có: (left{ eginarrayl k = frac12\ - 1 = 0 endarray ight.)(Vô nghiệm)

Với (t e frac12)thì ta có: (left{ eginarrayl k = frac12\ k = frac - 12t - 1 endarray ight. Leftrightarrow frac - 12t - 1 = frac12 Leftrightarrow t = -frac 12)

b) Ta có:(overrightarrow c = overrightarrow i - 2overrightarrow j = (1;0;0) - 2(0;1;0) = (1; - 2;0))

(eginarrayl overrightarrow d = moverrightarrow a - noverrightarrow b + poverrightarrow c \ Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2) + p(1; - 2;0)\ Leftrightarrow left{ eginarrayl m + n + p = 1\ - m - n - 2p = 0\ 0m - 2n + 0p = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 2\ n = 0\ p = - 1 endarray ight. endarray)

Vậy m=2;n=0;p=-1.

ví dụ như 3:

Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:

a) Trọng trung tâm tam giác ABC.

b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.

c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo cánh của hình bình hành ABCD.

Lời giải:

a) điện thoại tư vấn G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

(left{ eginarrayl x_G = fracx_A + x_B + x_C3\ y_G = fracy_A + y_B + y_C3\ z_G = fracz_A + z_B + z_C3 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x_G = frac133\ y_G = frac83\ z_G = frac113 endarray ight.)

Vậy (Gleft( frac113;frac83;frac113 ight).)

b) Call (Dleft( x_D;y_D;z_D ight))

(eginarrayl overrightarrow AB = ( - 2;2; - 1)\ overrightarrow DC = (9 - x_D;6 - y_D;4 - z_D) endarray)

Để ABCD là hình bình hành thì:

(overrightarrow AB = overrightarrow DC)

Hay: (left{ eginarrayl - 2 = 9 - x_D\ 2 = 6 - y_D\ - 1 = 4 - z_D endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x_D = 11\ y_D = 4\ z_D = 5 endarray ight. Rightarrow D(11;4;5))

c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC với BD thì:

I là trung điểm của AC (Rightarrow left{ eginarrayl x_I = fracx_A + x_C2 = 6\ y_I = fracy_A + y_C2 = 3\ z_I = fracz_A + z_C2 = 4 endarray ight. Rightarrow I(6,3,4)).

lấy ví dụ như 4:

Trong khía cạnh phẳng (P) đến hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh (A(0;0;0);,Bleft( fraca2;fracasqrt 3 2;0 ight);C(a;0;0);S(0;0;a)). Tính góc thân hai đường trực tiếp AB với SC.

Lời giải:

Ta có: (overrightarrow AB = left( fraca2;fracasqrt 3 2;0 ight));(overrightarrow SC = left( a;0; - a ight).)

(cos left( AB,SC ight) = fracleftleft = fracsqrt 2 4 Rightarrow widehat left( AB,SC ight) approx 69^018".)

lấy ví dụ 5:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm nhỏng sau:

(A(0;0;0);,B(a;0;0);,C(0;asqrt 3 ,0);A"left( fraca2;fracasqrt 3 2;asqrt 3 ight);B"left( frac3a2;fracasqrt 3 2;asqrt 3 ight);C"left( fraca2;frac3asqrt 3 2;asqrt 3 ight))

Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh: (A"M ot BC.)

b) Tính góc giữa hai tuyến đường thẳng: AA’ với B’C’.

Lời giải:

*

a) Ta có: (overrightarrow A"M = left( 0;0; - asqrt 3 ight))

(overrightarrow BC = left( - a;asqrt 3 ;0 ight))

Ta có: (overrightarrow AM .overrightarrow BC = 0.)

Vậy AM vuông góc BC.

b) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AA" = left( fraca2;fracasqrt 3 2;asqrt 3 ight)\ overrightarrow B"C" = left( a; - asqrt 3 ;0 ight) endarray)

(cos (AA",B"C") = fracleft = frac14)

Vậy: (widehat left( AA",B"C" ight) approx 75^031".)

Ví dụ 6:

Trong không khí cùng với hệ tọa độ Oxyz, mang lại điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết pmùi hương trình khía cạnh cầu 2 lần bán kính AB.

Xem thêm: 10 Bộ Đề Thi Học Kỳ 1 Toán 10 Môn Toán, Đề Thi Học Kì 1 Lớp 10 Môn Toán

Lời giải:

hotline I là trung điểm AB ta có:(left{ eginarrayl x_I = fracx_A + x_B2 = - 1\ y_I = fracy_A + y_B2 = - 1\ z_I = fracz_A + z_B2 = 1 endarray ight. Rightarrow I( - 1; - 1;1))

Ta có:(IA = IB = 1.)

Mặt cầu đường kính AB, thừa nhận điểm I làm cho trung tâm, gồm bán kính R=IA=1 yêu cầu gồm pmùi hương trình là:

((x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 1.)

lấy một ví dụ 7:

Lập phương thơm trình khía cạnh cầu ngoại tiếp tứ đọng diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

Lời giải:

Điện thoại tư vấn phương trình mặt cầu là:(,x^2 + y^2 + z^2 - 2 max, m - , m2by, m - , m2cz, m + , md, m = , m0,left( ma^ m2 + b^2 + c^2 - d > 0 ight))

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

(Rightarrow left{ eginarrayl -2a - 2b + d + 2 = 0\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 endarray ight.,,,, Rightarrow a = b = 1;,c = 2;d = 2)