Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$ Nếu (x_1,x_2) là nhì nghiệm của pmùi hương trình thì (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac - ba\x_1 cdot x_2 = dfraccaendarray ight..)

Ví dụ: Phương thơm trình (2x^2-5x+2=0) tất cả ( Delta=9>0) cần pmùi hương trình tất cả nhì nghiệm (x_1;x_2).

Bạn đang xem: Hệ thức vi ét mở rộng

Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac 52\x_1 cdot x_2 = dfrac22=1endarray ight..)


Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Xét phương thơm trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$

 Nếu phương trình tất cả (a + b + c = 0) thì phương thơm trình có một nghiệm là (x_1 = 1,) nghiệm cơ là (x_2 = dfracca.)

Nếu pmùi hương trình gồm (a - b + c = 0) thì phương thơm trình gồm một nghiệm là (x_1 = - 1,) nghiệm cơ là (x_2 = - dfracca.)

+) Tìm nhị số biết tổng với tích của chúng : Nếu hai số tất cả tổng bởi $S$ với tích bởi $P$ thì nhì số đó là nhị nghiệm của pmùi hương trình $X^2 - SX + P = 0$ (ĐK: $S^2 ge 4P$)

Ví dụ: 

+ Phương trình (2x^2-9x+7=0) gồm (a+b+c=2+(-9)+7=0) yêu cầu gồm hai nghiệm (x_1=1;x_2=dfracca=dfrac72)

+ Phương trình (2x^2+9x+7=0) gồm (a-b+c=2-9+7=0) phải có hai nghiệm (x_1=-1;x_2=-dfracca=-dfrac72)


2. Các dạng toán thù hay chạm mặt

Dạng 1: Không giải phương thơm trình, tính giá trị biểu thức liên quan thân những nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để pmùi hương trình bao gồm nghiệm : $left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.$. Từ kia áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = x_1 + x_2 = - dfracba$ với $Phường. = x_1x_2 = dfracca$.

Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài xích theo tổng $x_1 + x_2$ với tích $x_1x_2$, tiếp đến vận dụng bước 1.


*

Một số biểu thức đối xứng thân những nghiệm thường gặp là :

+) $A = x_1^2 + x_2^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2= S^2 - 2P$

+) $B = x_1^3 + x_2^3$

$= left( x_1 + x_2 ight)^3 - 3x_1x_2left( x_1 + x_2 ight)= S^3 - 3SP$

+) $C = x_1^4 + x_2^4 = left( x_1^2 + x_2^2 ight)^2 - 2x_1^2x_2^2$

$= left< left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2 ight>^2 - 2left( x_1x_2 ight)^2= left( S^2 - 2P ight)^2 - 2P^2$

+) $D = left| x_1 - x_2 ight| $

$= sqrt left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2 $.

+)

$E = left( x_1 - x_2 ight)^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2$

$= S^2 - 4P $.


Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhđộ ẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương thơm trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.

+) Nếu phương trình gồm $a + b + c = 0$ thì phương thơm trình tất cả một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm cơ là $x_2 = dfracca.$

+ ) Nếu phương trình bao gồm $a - b + c = 0$ thì phương thơm trình bao gồm một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm kia là $x_2 = - dfracca.$

+) Nếu $x_1,x_2$ là nhị nghiệm của phương thơm trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\Phường. = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc nhì thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ tất cả nhị nghiệm $x_1$ với $x_2$ thì nó được đối chiếu thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.

Dạng 4 : Tìm nhì số khi biết tổng với tích

Pmùi hương pháp :

Để kiếm tìm nhị số $x,y$ lúc biết tổng $S = x + y$ với tích $P = xy$, ta làm cho như sau:

Bước 1: Xét ĐK $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + P.. = 0$ nhằm search những nghiệm $X_1,X_2$.

Cách 2: khi đó những số đề nghị tìm kiếm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.

Dạng 5 : Bài toán thù tương quan mang lại dấu những nghiệm của phương thơm trình bậc hai

Pmùi hương pháp :

Xét pmùi hương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Lúc đó:

1. Pmùi hương trình tất cả hai nghiệm trái vết ( Leftrightarrow ac 0\P. > 0endarray ight.).

3. Pmùi hương trình có nhị nghiệm dương biệt lập ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).

4. Phương trình gồm nhị nghiệm âm phân biệt ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\Phường > 0\S Dạng 6 : Xác định ĐK của tđê mê số để nghiệm của pmùi hương trình thỏa mãn nhu cầu điều kiện mang đến trước.

Pmùi hương pháp :

Bước 1. Tìm ĐK nhằm pmùi hương trình có nghiệm (left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.).

Cách 2. Từ hệ thức đã mang lại với hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tyêu thích số.

Bước 3. Kiểm tra ĐK của tmê mẩn số xem có vừa lòng ĐK ở bước 1 hay không rồi Tóm lại.

Dạng 2 : Giải pmùi hương trình bằng cách nhđộ ẩm nghiệm

Phương thơm pháp :

Xét phương thơm trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.

+) Nếu phương thơm trình bao gồm $a + b + c = 0$ thì phương trình gồm một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm cơ là $x_2 = dfracca.$

+ ) Nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương thơm trình bao gồm một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm cơ là $x_2 = - dfracca.$

+) Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\Phường = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc nhị thành nhân tử

Phương thơm pháp :

Nếu tam thức bậc nhị $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ bao gồm nhì nghiệm $x_1$ cùng $x_2$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.

Dạng 4 : Tìm nhị số lúc biết tổng với tích

Pmùi hương pháp :

Để tra cứu nhị số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ cùng tích $P = xy$, ta làm nhỏng sau:

Cách 1: Xét điều kiện $S^2 ge 4P$. Giải phương thơm trình $X^2 - SX + P. = 0$ nhằm tìm những nghiệm $X_1,X_2$.

Cách 2: lúc đó các số buộc phải tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.

Dạng 5 : Bài toán tương quan cho vệt những nghiệm của pmùi hương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). lúc đó:

1. Phương thơm trình tất cả nhị nghiệm trái dấu ( Leftrightarrow ac 0\Phường > 0endarray ight.).

Xem thêm: Bài Tập Toán 6 Chương Số Nguyên Violet, Bài Tập Chương 2 Số Nguyên

3. Phương trình bao gồm nhị nghiệm dương minh bạch ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P. > 0\S > 0endarray ight.).

4. Phương thơm trình bao gồm nhì nghiệm âm biệt lập ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Luyện bài xích tập vận dụng tại đây!