Phương pháp áp dụngĐể giải và biện luận hệ đẳng cấp bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình: Ax$^2$ + Bxy + Cy$^2$ = 0. (3)Bước 2: Đặt x = ty, khi đó: (3) y$^2$ = 0.

Bạn đang xem: Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2


Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Từ hệ khử số hạng x$^2$ (hoặc y$^2$) để dẫn tới phương trình khuyết x$^2$ (hoặc y$^2%), giả sử: Dx$^2$ + Exy + F = 0 => y = -$\frac{{D{x^2} + F}}{{Ex}}$. (4) Bước 2: Thế (4) vào một phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x.* Chú ý: Với bài toán chứa tham số ta thường lựa chọn cách 2.
Thí dụ 1.
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + xy + 2{y^2} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:Cách 1:
Khử số hạng tự do từ hệ ta được: x$^2$ + 9xy-22y$^2$ = 0 (3)Đặt x = ty, khi đó: (3) y$^2$(t$^2$ + 9t-22) = 0 $\left< \begin{array}{l}y = 0\\t = 2\\t = - 11\end{array} \right.$.Ta lần lượt:Với y = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = 15\\{x^2} = 8\end{array} \right.$ vô nghiệm..Với t = 2 ta được x = 2y, (2) y$^2$ = 1 $\left< \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left< \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$. Với t = -11 ta được x = -11y, (2) y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left< \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left< \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.Cách 2: Nhận xét rằng: nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì y ≠ 0.Khử số hạng x$^2$ từ hệ ta được: xy-3y$^2$ = -1 x = $\frac{{3{y^2} - 1}}{y}$ (4)Thay (4) vào (2), ta được: 14y$^4$-15y$^2$ + 1 = 0. (5)Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: (5) 14t$^2$-15t + 1 = 0 $\left< \begin{array}{l}t = 1\\t = 1/14\end{array} \right.$. Với t = 1, ta được: y$^2$ = 1 $\left< \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left< \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$. Với t = $\frac{1}{{14}}$, ta được: y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left< \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left< \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm.Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\2{x^2} + 4xy - 2{y^2} = m\end{array} \right.$.a. Giải hệ với m = 14. b. Tìm m để hệ có nghiệm.
Nhận xét rằng nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì x ≠ 0 (nếu trái lại (*) mâu thuẫn). Từ (*) suy ra: y = $\frac{{{x^2} - 2}}{x}$. (**)Thay (**) vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2x$^2$ + 4(x$^2$ - 2) - $\frac{{2{{({x^2} - 2)}^2}}}{{{x^2}}}$ = m 4x$^4$ - mx$^2$ - 8 = 0.Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: f(t) = 4t$^2$ - mt - 8 = 0 (1)a. Với m = 14 thì hệ có nghiệm (2; 1) và (-2; -1).b. Để hệ có nghiệm thì (1) phải có ít nhất một nghiệm không âm, điều này luôn đúng bởi ac = -32 Vậy, hệ có nghiệm với mọi m.

Xem thêm: Một Nữ Học Sinh Lớp 6 Trường Thcs Phan Bội Châu Quận Tân Phú


Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bình luận.
Chia sẻ:FacebookTwitterGoogle+RedditPinterestTumblrLink
Tác giảChủ đề tương tựDiễn đànBình luậnNgày
*
*
*
*
*