+) Cho khoảng tầm (K) chứa điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) khẳng định bên trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ). 

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ lúc với dãy số ((x_n)) bất kể, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0), ta có (lim f(x_n) =L). 

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((x_0; b)).

Bạn đang xem: Giới hạn hữu hạn của hàm số

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) lúc và chỉ khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 ,ta có (lyên ổn f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng chừng ((a; x_0)).

(undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L) lúc còn chỉ lúc cùng với hàng số ((x_n)) bất cứ, (a (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((a; +∞)).

(undersetx ightarrow+infty lim f(x) = L) Khi và chỉ còn lúc cùng với dãy số ((x_n)) bất cứ, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định bên trên khoảng chừng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) Khi và chỉ còn khi cùng với hàng số ((x_n)) bất cứ, (x_n a), (x_n ightarrow +infty) thì ta tất cả (lim f(x_n) = -∞)

+) Cho khoảng tầm (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ). (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ khi cùng với dãy số ((x_n)) bất cứ, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có (lim f(x_n) = +∞).


Nhận xét: (f(x)) bao gồm số lượng giới hạn (+∞ ) Khi và chỉ lúc (-f(x)) có giới hạn (-∞).

3. Các số lượng giới hạn sệt biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), giả dụ (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu như (k) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) và (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (giả dụ (M ≠ 0)).


b) Nếu (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Crúc ý: Định lí 1 vẫn đúng khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) lúc và chỉ còn khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

Xem thêm: Cách Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Y = F(X) Tại Điểm M(X0;Y0)

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc số lượng giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ Nếu (mathop lyên limits_x o x_0 fleft( x ight) = pm infty ) với (mathop lyên ổn limits_x lớn x_0 gleft( x ight) = L e 0) thì (mathop lyên ổn limits_x lớn x_0 left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight>) được mang đến trong bảng sau:

*

b) Quy tắc tra cứu giới hạn của thương (dfracf(x)g(x))

+ Nếu (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L e 0) với (mathop lyên limits_x khổng lồ x_0 gleft( x ight) = 0) với (gleft( x ight) > 0) hoặc (gleft( x ight)

*