LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP1. Dạng tồng quát lác của hệ đối xứng loạiI:Định nghĩa: Hệ đối xứng các loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y nhưng mà khi ta chuyển đổi sứ mệnh x,y mang lại nhauthì hệ phương trình ko biến hóa. $left{ eginarray*20c fleft( x,y ight) = 0 \ gleft( x,y ight) = 0 endarray ight.$ , trong các số đó $left{ eginarray*20c fleft( x,y ight) = fleft( y,x ight) \ gleft( x,y ight) = gleft( y,x ight) endarray ight.$Pmùi hương phdẫn giải tổng quát:i) Cách 1: Đặt ĐK (nếu có)ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P. = xy (với S2 $ geqslant $4P) . khi kia, ta chuyển hệ về hệ new cất S,Phường.iii) Cách 3: Giải hệ bắt đầu tra cứu S,Phường. Chọn S,P vừa lòng S2 $ geqslant $4Phường.iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của pmùi hương trình: X2 –SX + P.. = 0 ( định lý Viét đảo)Chụ ý:i) Cần nhớ: $eginarray x^2 + y^2 = S^2 - 2P. \ x^3 + y^3 = S^3 - 3SPhường \ endarray $…ii) thường thì ta phải kê ẩn phụ:$left{ eginarray*20c u = uleft( x ight) \ v = vleft( x ight) endarray ight.$ với $left{eginarray*20c S = u + v \ Phường = uv endarray ight.$iii) Có số đông hệ phương trình biến chuyển hệ đối xứng nhiều loại I sau khoản thời gian ta đặt ẩn phú.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

2. Một số ví dụ minch họa:lấy ví dụ 1:

Gải hệ pmùi hương trình sau: $left{ eginarray x^2 + y^2 + xy = 7 \ x^2 + y^2 + x + y = 8 \ endarray ight.$ (1)Giải:Đặt: $left{ eginarray S = x + y \ P = xy \ endarray ight.$ , với S2 $ geqslant $4P..lúc đó, hệ (1) trsinh hoạt thành:$eginarray ,,,,,,,left{ eginarray*20c S^2 - Phường. = 7 \ S^2 - 2Phường + S = 8 endarray ight.,, Leftrightarrow left{ eginarray*20c Phường = S^2 - 7 \ S^2 - 2left( S^2 - 7 ight) + S = 8 endarray ight. \ Leftrightarrow left{ eginarray*20c P = S^2 - 7 \ S^2 - S - 6 = 0 endarray ight.,,,,,, Leftrightarrow left{ eginarray*20c P.. = S^2 - 7 \ left< eginarray*20c S = 3 \ S = - 2 endarray ight. endarray ight. \ endarray $Với: $S = 3 Rightarrow P = 2$. khi đó, x với y là nghiệm của phương trình: $X^2 - 3X + 2 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarray*20c X = 1 \ X = 2 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray left{ eginarray x = 1 \ y = 2 \ endarray ight. \ left{ eginarray x = 2 \ y = 1 \ endarray ight. \ endarray ight.$Với: $S = - 2 Rightarrow Phường = - 3$. khi kia, x cùng y là ngiệm của phương thơm trình:$X^2 + 2X - 3 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarray*20c X = 1 \ X = - 3 endarray ight. Leftrightarrow left< {eginarray*20c {left eginarray*20c x = 1 \ y = - 3 endarray ight. \ left eginarray*20c x = - 3 \ y = 1 endarray ight. endarray ight.$Vậy hệ sẽ cho tất cả 4 nghiệm(x,y) = (1;2), (2;1), (1;–3), (–3;1).lấy ví dụ như 2:

Giải hệ pmùi hương trình:$left{ eginarray x + y + frac1x + frac1y = 5 \ x^2 + y^2 + frac1x^2 + frac1y^2 = 9 \ endarray ight.$Giải:Đặt: $left{ eginarray u = x + frac1x \ v = y + frac1y \ endarray ight. Rightarrow left{ eginarray x^2 + frac1x^2 = u^2 - 2 \ y^2 + frac1y^2 = v^2 - 2 \ endarray ight.$Lúc đó, hệ (1) trở thành:$eginarray ,,,,,,left{ eginarray*20c u + v = 5 \ u^2 + v^2 = 13 endarray ight. \ Leftrightarrow ext left{ eginarray*20c u + v = 5 \ left( u + v ight)^2 - 2uv = 13 endarray ight. \ Leftrightarrow ext left{ eginarray*20c u + v = 5 \ uv = 6 endarray ight. \ endarray $$ Rightarrow $ u, v là nghiệm của pmùi hương trình: X2 – 5X + 6= 0 $eginarray Leftrightarrow ,,,,,left< eginarray*20c X = 3 \ X = 2 endarray ight. \ Leftrightarrow ,,,,,left< {eginarray*20c {left eginarray*20c u = 2 \ v = 3 endarray ight. \ left eginarray*20c u = 3 \ v = 2 endarray ight. endarray ight. \ endarray $Trường hợp 1: u = 2; v = 3$eginarray Rightarrow ,,,,left{ eginarray*20c x + frac1x = 2 \ y + frac1y = 3 endarray ight. \ Leftrightarrow ext left{ eginarray*20c x = 1 \ y = frac3 + sqrt 5 2 endarray ight.,,, vee ,,,left{ eginarray*20c x = 1 \ y = frac3 - sqrt 5 2 endarray ight. \ endarray $Trường hòa hợp 2: u = 3; v = 2 $eginarray Rightarrow ,,,,left{ eginarray*20c x + frac1x = 3 \ y + frac1y = 2 endarray ight. \ Leftrightarrow ,,,left{ eginarray*20c x = frac3 + sqrt 5 2 \ y = 1 endarray ight.,,, vee ,,,,left{ eginarray*20c x = frac3 - sqrt 5 2 \ y = 1 endarray ight. \ endarray $Vậy hệ đã mang đến gồm 4 nghiệm (x,y) là:$left( 1;frac3 + sqrt 5 2 ight), ext left( 1;frac3- sqrt 5 2 ight), ext left( frac3 + sqrt 5 2;1 ight), ext left( frac3 - sqrt 5 2;1 ight)$.3. Điều kiện tđam mê số nhằm hệ đối xứng một số loại I cónghiệm:Phương pháp điệu tổng quát:i) Cách 1: Đặt điều kiện (nếu có).ii) Bước 2: Đặt S = x + y; Phường. = xy cùng với ĐK của S,P.. cùng S2 $ geqslant $4P(*).iii) Bước 3: Tgiỏi x,y vày S,P.. vào hệ phương trình. Giải hệ tìm kiếm S,Phường theo m, rồi từ ĐK (*) tìm kiếm m (cùng với m là tham mê số)lấy ví dụ 3: Tìm điều kiện m nhằm hệ phương thơm trình sau bao gồm nghiệm:$left{ eginarray*20c sqrt x - 4 + sqrt y - 1 = 4 \ x + y = 3m endarray ight.,,,left( 1 ight)$Giải:Đặt: $left{ eginarray u = sqrt x - 4 ext geqslant ext0 \ v = sqrt y - 1 ext geqslant ext0 \ endarray ight.$Khi kia, hệ (1) trngơi nghỉ thành:$left{ eginarray*20c u + v = 4 \ u^2 + v^2 = 3m - 5 endarray ight.$ $ Leftrightarrow $$left{ eginarray*20c u + v = 4 \ uv = frac21 - 3m2 endarray ight.$Suy ra u,v là nghiệm (không âm) của phương trình:$X^2 - 4X + frac21 - 3m2 = 0 ext (*)$Theo đề, hệ (1) gồm nghiệm$ Leftrightarrow $Pt (*) tất cả 2 nghiệm không âm.$ Leftrightarrow left{ eginarray*20c Delta " geqslant 0 \ Phường geqslant 0 \ S geqslant 0 endarray ight. ext ,,, Leftrightarrow ,,,,left{eginarray*20c frac3m - 132 geqslant 0 \ frac21 - 3m2 geqslant 0 endarray ight. ext Leftrightarrow ,, ext frac133leqslant m leqslant 7.$Vậy $frac133 leqslant m leqslant 7$ là quý hiếm yêu cầu tìm kiếm.lấy một ví dụ 4: Tìm m nhằm hệ phương thơm trình sau tất cả nghiệm thực:$left{ eginarray*20c sqrt x + sqrt y = 1 \ xsqrt x + ysqrt y = 1 - 3m endarray ext (1) ight.$Giải:Điều kiện: $x geqslant 0; ext y geqslant ext0$Khi đó:$left{ {eginarray*20c sqrt x + sqrt y = 1 \ xsqrt x + ysqrt y = 1 - 3m endarray ext Leftrightarrow ,,, ext left\beginarray*20c sqrt x + sqrt y = 1 \ left( sqrt x ight)^3 + left( sqrt y ight)^3 = 1 -3m endarray ight. ight.$Đặt: $S = sqrt x + sqrt ygeqslant 0; ext P. = sqrt xy geqslant 0 extleft( S^2 geqslant 4P ight)$Hệ phương thơm trình trsinh sống thành:$left{ eginarray*20c S = 1 \ S^3 - 3SPhường = 1 - 3m endarray ight. ext Leftrightarrow ,,, extleft{ eginarray*20c S = 1 \ Phường = m endarray ight.$Hệ (1) có nghiệm thực$ Leftrightarrow ext left{ eginarray*20c S^2 geqslant 4P \ P geqslant 0 \ S geqslant 0 endarray ight. ext Leftrightarrow extleft{ eginarray*20c 1 geqslant 4m \ m geqslant 0 endarray ight. ext Leftrightarrow ext 0leqslant extm leqslant frac14$Vậy $ ext0 leqslant m leqslant frac14$ là giá trị buộc phải tra cứu.BÀI TẬP. RÈN LUYỆNBài 1: Giải hệ phương trình: $left{ eginarray*20c x + y + sqrt xy = 19 \ x^2 + y^2 + xy = 133 endarray ight.$.

Xem thêm: Đề Thi Chất Lượng Đầu Năm Lớp 8 Môn Toán Lớp 8 Trường Thcs Ngọc

Bài 2: Giải hệ phương thơm trình: $left{ eginarray x + y + frac1x + frac1y = 4 \ x^2 + y^2 + frac1x^2 + frac1y^2 = 4 \ endarray ight.$.Bài 3: Tìm m để hệ phương trình tất cả đúng 2 nghiệm thực phân biệt. $left{ eginarray x^2 + y^2 = 2(1 + m) \ (x + y)^2 = 4 \ endarray ight.$Bài 4: Tìm m nhằm hệ phương thơm trình sau tất cả nhgiệm thực:$left{ eginarray*20c x^2 + y^2 + 4x + 4y = 10 \ xy(x + 4)(y + 4) = m endarray ight. ext $Bài 5: Tìm m nhằm hệ phương thơm trình có nghiệm thực x > 0, y > 0: $left{ eginarray x + xy + y = m + 1 \ x^2y + xy^2 = m \ endarray ight.$