Hướng dẫn giải Bài §2. Cực trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm nhằm khảo sát và vẽ trang bị thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng vừa lòng phương pháp, kim chỉ nan, phương thức giải bài bác tập giải tích có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 18

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) thường xuyên bên trên khoảng $(a;b)$ với điểm (x_0in(a;b)):

– Hàm số (f(x)) đạt cực đại tại (x_0) nếu

(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)

– Hàm số (f(x)) đạt rất tiểu tại x0 nếu

(f(x_0)0).

2. Điều khiếu nại cần với điều kiện đủ nhằm hàm số tất cả cực trị

a) Điều khiếu nại nên để hàm số tất cả cực trị

(f(x)) đạt cực trị trên (x_0), tất cả đạo hàm tại (x_0) thì (f"(x_0)=0).

b) Điều kiện đầy đủ để hàm số tất cả rất trị

♦ Định lí 1.

Cho hàm số y = f(x) tiếp tục bên trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) với gồm đạo hàm trên K hoặc bên trên K (setminus) x0 .

– Nếu (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là vấn đề cực đại của hàm số

– Nếu (left{ matrixforall left( x_0;,,x_0 + h ight) hfill cr ight.) thì x0 là điểm cực tè của hàm số

♦ Định lí 2.

Cho hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm trung học cơ sở trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).

– Nếu f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là vấn đề cực tè của hàm số f.

– Nếu f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực đại của hàm số f.

3. Quy tắc tìm kiếm cực trị

a) Quy tắc $I$

– Tìm tập xác định.

– Tính f"(x). Tìm các điểm tại kia f"(x) bởi 0 hoặc f"(x) ko xác định.

– Lập bảng trở thành thiên.

– Từ bảng đổi thay thiên suy ra các điểm cực trị.

b) Quy tắc $II$

– Tìm tập khẳng định.

– Tính f"(x). Giải pmùi hương trình f"(x) = 0 với kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là những nghiệm của nó.

– Tính f”(x) với f”(xi)

– Nếu f”(xi) > 0 thì xi là vấn đề rất đái. Nếu f”(xi) i là vấn đề cực lớn.

Crúc ý: nếu (f”(x_i)=0) thì ta phải sử dụng quy tắc I nhằm xét rất trị trên.

Dưới đó là phần Hướng dẫn vấn đáp những thắc mắc và bài xích tập vào phần hoạt động vui chơi của học viên sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 13 sgk Giải tích 12

Dựa vào vật thị (H.7, H.8), hãy đã cho thấy những điểm trên kia mỗi hàm số sau có mức giá trị lớn nhất (nhỏ tuổi nhất):

*

Trả lời:

a) Từ vật dụng thị hàm số ta thấy: trên (x = 0) hàm số có mức giá trị lớn số 1 bằng (1).

Xét lốt đạo hàm:

*

b) Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Tại (x = 1) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (displaystyle 4 over 3)

Tại (x = 3) hàm số có mức giá trị nhỏ độc nhất vô nhị bằng (0).

Xét lốt đạo hàm:

*

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 14 sgk Giải tích 12

Giả sử f(x) đạt cực lớn trên (x_0). Hãy chứng tỏ xác minh 3 trong chú ý bên trên bằng cách xét số lượng giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) Lúc $Δx → 0$ trong hai ngôi trường đúng theo $Δx > 0$ cùng $Δx 0$ ta có:

(mathop llặng limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))

– Với $Δx

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 14 sgk Giải tích 12

a) Sử dụng đồ gia dụng thị, hãy chu đáo các hàm số sau đây tất cả rất trị hay là không.

$y = -2x + 1;$

(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))

b) Nêu mối quan hệ giữa sự mãi sau rất trị cùng dấu của đạo hàm.

*

Trả lời:

a) Hàm số $y = -2x + 1$ không tồn tại cực trị.

Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực to trên $x = 1$ cùng đạt cực đái trên $x = 3$.

b) Nếu hàm số tất cả rất trị thì vệt của đạo hàm bên trái và mặt phải điểm rất trị đã khác nhau.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 16 sgk Giải tích 12

Chứng minch hàm số $y = |x|$ không có đạo hàm trên $x = 0$. Hàm số gồm đạt rất trị trên điểm đó không?

Trả lời:

Ta có:

(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 16 sgk Giải tích 12

Áp dụng luật lệ $I$, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).

Trả lời:

TXĐ: $D = R$

$f’(x) = 3x^2 – 3$. Cho $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.

Ta gồm bảng đổi mới thiên:

*

Vậy:

– Hàm số đạt cực lớn trên $x = -1$ với quý giá cực lớn là $2$

– Hàm số đạt cực đái tại $x = 1$ với quý giá rất đái là $-2$.

Dưới đó là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài bác trước lúc giải nhé!

Bài tập

hanvietfoundation.org trình làng cùng với các bạn rất đầy đủ cách thức giải bài tập giải tích 12 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của Bài §2. Cực trị của hàm số trong Cmùi hương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát với vẽ trang bị thị hàm số mang đến các bạn xem thêm. Nội dung cụ thể bài xích giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng luật lệ $I$, hãy tìm kiếm những điểm rất trị của hàm số sau:

a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).

b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).

c) (y = x + frac1x).

d) (y = x^3(1 – x)^2).

e) (y = sqrt x^2-x+1).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Ta có đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)

Với $x=2$ ta tất cả $y=-54$.

Với $x=-3$ ta bao gồm $y=71$.

– Bảng thay đổi thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$, quý hiếm cực đại $y_cđ = y(-3) = 71.$

Hàm số đạt rất đái tại $x = 2$, quý giá rất đái $y_ct= y(2) =- 54.$

b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)

Với $x=0$ ta tất cả $y=-3$.

– Bảng thay đổi thiên của hàm số:

*

Hàm số đạt rất đái trên $x=0$, quý hiếm rất tè $y_ct= y(0)=- 3.$

Hàm số không có cực đại.

c) Xét hàm số (y = x + frac1x)

– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)

– Đạo hàm:

(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)

(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với $x = 1$ ta gồm $y = 2.$

Với $x = -1$ ta có $y = -2.$

– Bảng đổi thay thiên:

*

Hàm số đạt cực lớn trên $x=-1$, giá trị cực lớn $y_cđ = y(-1) = -2.$

Hàm số đạt cực đái tại $x = 1$, cực hiếm cực tiểu $y_ct = y(1) = 2.$

d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)

Với (x=1) ta tất cả (y=0.)

Với (x=frac35) ta tất cả (y=frac1083125.)

Với x=0 ta có (y=0.)

– Bảng thay đổi thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại (x=frac35,) giá trị cực lớn (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)

Hàm số đạt rất tè trên (x=1,) quý hiếm cực tè (y_ct=y(1)=0.)

e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )

(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)

Với (x=frac12) ta có (y=fracsqrt 32).

– Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số đạt cực tiểu trên (x=frac12), quý giá rất tiểu (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)

2. Giải bài xích 2 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng nguyên tắc II, hãy search những điểm cực trị của hàm số sau:

a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).

b) (y=sin 2x – x).

c) (y = sinx + cosx).

d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).

Bài giải:

a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;

(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y” = 12x^2-4).

(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).

(y”(pm 1) = 8 > 0) bắt buộc hàm số đạt cực đái trên (x = pm1),

(y)CT = (y(pm1)) = 0.

b) Hàm số (y=sin 2x – x)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y’ = 2cos2x – 1) ;

(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)

(y” = -4sin2x) .

(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) phải hàm số đạt rất tè tại những điểm (x =-fracpi 6+ kπ),

(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) Hàm số (y = sinx + cosx)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));

( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;

(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)

(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)

(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))

(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))

(=left{ matrix– sqrt 2 ext trường hợp k chẵn hfill crsqrt 2 ext ví như k lẻ hfill cr ight.)

Do kia hàm số đạt cực đại tại những điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt rất tè tại những điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)

d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).

(y” m = m 20x^3 – m 6x).

(y”(1) = 14 > 0) yêu cầu hàm số đạt cực tiểu trên (x = 1),

(y)CT = ( y(1) = -1).

(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).

3. Giải bài 3 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng lại vẫn đạt cực tiểu tại đặc điểm đó.

Bài giải:

– Chứng minch hàm số không có đạo hàm trên điểm (x=0):

(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt left = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lyên ổn limits_x o lớn 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop llặng limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lyên limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lyên limits_x khổng lồ 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lyên limits_x o lớn 0^ – fracsqrt – x x = mathop lyên limits_x o lớn 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lyên ổn limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lyên limits_x lớn 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop llặng limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)

(Rightarrow) Không mãi mãi đạo hàm của hàm số vẫn mang lại trên (x = 0).

– Chứng minch hàm số đạt rất tè tại (x=0) :

Với (h>0) là một vài thực bất cứ ta có:

(eginarraylfleft( x ight) = sqrt ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)

Theo tư tưởng điểm cực trị của hàm số ta tóm lại (x=0) là điểm cực đái của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt ).

4. Giải bài bác 4 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tsay đắm số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn bao gồm một điểm cực to cùng một điểm rất tè.

Bài giải:

Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)

– Tập khẳng định (D=mathbbR.)

– Đạo hàm:

(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) cần phương thơm trình $y’=0$ luôn luôn gồm nhì nghiệm phân minh cùng $y’$ thay đổi vết Lúc qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn bao gồm một cực lớn và một rất tiểu.

5. Giải bài bác 5 trang 18 sgk Giải tích 12

Tìm (a) và (b) nhằm các cực trị của hàm số

(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)

đông đảo là các số dương cùng (x_0=-frac59) là vấn đề cực lớn.

Bài giải:

♦ TH1: (a = 0) hàm số trở thành (y = -9x + b).

TXĐ: $D = R$.

Trường hợp này hàm số gồm (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)

Với (a > 0) ta bao gồm (frac1a > frac – 95a) ta gồm bảng biến đổi thiên :

*

Từ BBT ta gồm (x_CĐ=frac-95a).

Vì (x_0=-frac59) là điểm cực đại đề xuất (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo thử khám phá bài xích tân oán thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)

(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)

(Leftrightarrow b>frac400243.)

Vậy các quý hiếm (a, b) cần tìm kiếm là: (left{eginmatrix a=-frac95 và \ b>frac365 và endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 và \ b>frac400243 và endmatrix ight.).

6. Giải bài bác 6 trang 18 sgk Giải tích 12

Xác định quý giá của tmê man số (m) nhằm hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực đại tại (x = 2).

Bài giải:

Tập xác minh : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)

Ta có:

(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)

Hàm số đạt cực đại tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

♦ Với (m = -1), ta gồm : (y=fracx^2-x+1x-1;)

TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)

(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0và \ x eq 1 và endmatrix ight.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta gồm bảng đổi thay thiên :

*

Trường hợp này ta thấy hàm số ko đạt cực đại tại (x = 2).

♦ Với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)

TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)

(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)

Ta gồm bảng phát triển thành thiên :

*

Trường đúng theo này ta thấy hàm số đạt cực lớn tại (x = 2).

Xem thêm: Trường Thpt Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa ), Trường Thpt Chuyên Lê Quý Đôn (Khánh Hòa)

Vậy (m = -3) là cực hiếm đề xuất tìm kiếm.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xích xuất sắc thuộc giải bài tập sgk tân oán lớp 12 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!