Tổng hợp kiến thức cần nắm vững, những dạng bài bác tập cùng thắc mắc có khả năng lộ diện trong đề thi HK2 Toán thù học tập 11 sắp tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số gồm số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số (left( u_n ight)) bao gồm số lượng giới hạn là số thực (L) ví như (mathop lyên ổn limits_n o lớn + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Đề cương ôn tập toán 11 học kì 2 trắc nghiệm

Lúc kia, ta viết: (mathop lyên ổn limits_n lớn + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lyên ổn left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (llặng u_n = L). lúc đó:

i) (llặng left| u_n ight| = left| L ight|) cùng (llặng sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) Nếu (u_n ge 0) với tất cả (n) thì (L ge 0) với (lyên ổn sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (llặng u_n = L,lyên ổn v_n = M) với (c) là 1 hằng số. lúc đó:

i) Các dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) tất cả số lượng giới hạn là:

+) (lyên left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lyên ổn left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) Nếu (M e 0) thì dãy số (left( fracu_nv_n ight)) gồm giới hạn là (lyên ổn fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số gồm giới hạn thường gặp:

+) (lyên ổn frac1n = 0,lyên frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) Nếu (left| q ight| Crúc ý: Định lý bên trên vẫn chuẩn cho trường phù hợp (x lớn x_0^ + ,x o lớn x_0^ - ,)(x lớn + infty ,x lớn - infty )

2. Định lí về giới hạn một bên

()(mathop lyên ổn limits_x khổng lồ x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop llặng limits_x o lớn x_0^ - f(x) = mathop lyên limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các nguyên tắc tìm số lượng giới hạn vô cực của hàm số

+) Nếu (mathop llặng limits_x lớn x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lyên limits_x khổng lồ x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lyên ổn limits_x o lớn x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x khổng lồ pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định bên trên khoảng chừng K với (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tiếp trên (x_0) ví như (mathop llặng limits_x o lớn x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số nhiều thức liên tiếp trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ cùng các hàm lượng giác tiếp tục bên trên từng khoảng của tập khẳng định của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại (x_0) là hồ hết hàm số liên tục trên (x_0) (ngôi trường hòa hợp thương thơm thì mẫu yêu cầu khác 0 tại (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục bên trên (left< a;b ight>) cùng f(a).f(b) Pmùi hương pháp:

- Sử dụng các nguyên tắc đang học tập để tính.

- Nếu số lượng giới hạn của hàm số đề xuất tính có một trong các bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta cần khử dạng đó, bởi cách phân tích tử với mẫu mã thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu đến xk cùng với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- Nếu tử, mẫu là đầy đủ nhiều thức thì ta đặt vượt số (left( x - x_0 ight)) làm nhân tử chung cùng rút ít gọn nhân tử này ta vẫn đưa được số lượng giới hạn về dạng xác minh.

- Nếu tử hay mẫu gồm chứa căn thức thì nhân tử cùng mẫu mã với lượng phối hợp của tử hoặc chủng loại cùng cũng rút ít gọn gàng quá số (left( x - x_0 ight))ngơi nghỉ tử cùng mẫu ta vẫn gửi được số lượng giới hạn về dạng xác định.

Cần chú ý những phương pháp biến hóa sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ Nếu PT f(x) = 0 bao gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ Liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lyên ổn limits_x lớn 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lyên limits_x lớn 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lyên ổn limits_x khổng lồ 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lyên ổn limits_x khổng lồ 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lyên limits_x lớn 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop llặng limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop llặng limits_x khổng lồ 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lyên ổn limits_x khổng lồ 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lyên limits_x o lớn 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lyên limits_x o lớn 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop llặng limits_x khổng lồ 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lyên ổn limits_x khổng lồ 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lyên limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- Chia cả tử cùng mẫu mã đến xk với k là nón tối đa của tử hoặc mẫu mã.

- Sau kia cần sử dụng các định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương thuộc giới hạn (mathop lim limits_x khổng lồ pm infty frac1x^k = 0) với k ngulặng dương.

Ví dụ:Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x lớn + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop llặng limits_x lớn - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lyên limits_x lớn + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lyên limits_x lớn + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o lớn + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o lớn - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lyên ổn limits_x lớn - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- Nếu (x khổng lồ x_0) thì ta quy đồng mẫu số để mang về dạng (frac00).

Nếu (x o lớn pm infty ) thì ta nhân với phân tách cùng với lượng phối hợp để lấy về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những số lượng giới hạn sau:

a) (mathop llặng limits_x khổng lồ 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lyên limits_x lớn + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop llặng limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop llặng limits_x lớn 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x lớn 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop llặng limits_x lớn 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop llặng limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lyên limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop llặng limits_x o lớn + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o lớn + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lyên ổn limits_x khổng lồ + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lyên limits_x o lớn + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop llặng limits_x lớn + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta phải tiến hành một vài thay đổi như gửi vượt số vào trong dấu căn, quy đồng chủng loại số,...ta hoàn toàn có thể gửi giới hạn đang mang đến về dạng quen thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau: (mathop lyên limits_x lớn 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lyên limits_x lớn 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lyên ổn limits_x lớn 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x lớn 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lyên ổn limits_x o lớn 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o lớn 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- Sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với (u_1 = - 1) cùng q = ( - frac110).

Xem thêm: Các Dạng Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số, Khảo Sát Hàm Số Và Các Bài Toán Liên Quan

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm:

- Dạng I: Cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính tiếp tục của h/s trên điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: Tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop llặng limits_x khổng lồ x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x khổng lồ x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tục tại x0

- Dạng II: Cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương thơm pháp chung:

B1: Xét tính liên tiếp của h/s bên trên những khoảng chừng đơn

B2: Xét tính liên tiếp của h/s trên các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tđắm say số nhằm hàm số liên tiếp tại x0

Phương thơm pháp chung:

B1: Tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop llặng limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số thường xuyên trên (x_0) ( Leftrightarrow mathop llặng limits_x lớn x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính liên tiếp của hàm số nhằm minh chứng phương trình tất cả nghiệm

Pmùi hương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT tất cả nghiệm trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: Kiểm tra tính thường xuyên của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: Kết luận về số nghiệm của PT bên trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương thơm trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) tất cả ít nhất một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) liên tục bên trên R đề xuất f(x) liên tiếp bên trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)