Bài viết lý giải cách thức ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng giới hạn vày hai tuyến đường cong, đây là dạng toán thù thường chạm chán vào lịch trình Giải tích 12 cmùi hương 3: Nguyên ổn hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Công thức tính diện tích hình phẳng

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Cho hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ tiếp tục bên trên đoạn $.$ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do vật thị nhị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ là: $S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$2. Xem lại biện pháp khử lốt cực hiếm tuyệt vời và hoàn hảo nhất trong cách làm tính diện tích S hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do đồ thị nhì hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ đến do cách làm $S = int_alpha ^eta | f(x) – g(x)|dx$, trong những số ấy $alpha $, $eta $ thứu tự là nghiệm nhỏ tuyệt nhất cùng lớn số 1 của pmùi hương trình $f(x) – g(x) = 0.$

II. BÀI TẬPhường TRẮC NGHIỆM MINH HỌAví dụ như 1: Gọi $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn do đồ thị nhị hàm số $y = f(x)$, $y=g(x)$ với hai đường trực tiếp $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo cánh vào hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định như thế nào sau đây đúng?A. $S = int_b^a | f(x) – g(x)|dx.$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$

Lời giải:Từ trang bị thị ta có $f(x) – g(x) > 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^b dx .$$ = int_a^b f (x)dx – int_a^b g (x)dx$ $ = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ như 2: Điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vật thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo vào hình vẽ bên).

*

Khẳng định làm sao dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx. $B. $S = left| int_a^b dx ight|.$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$

Lời giải:Từ vật thị ta có $f(x) – g(x) ge 0$, $forall x in $ cùng $f(x) – g(x) le 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: điện thoại tư vấn $S_1$ là diện tích S hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a A. $S_1 > S_2.$B. $S_1 C. $S_1 = 2018S_2.$D. $S_2 = 2018S_1.$

Lời giải:Ta có:$S_1 = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$$S_2 = int_a^b | 2018f(x) – 2018g(x)|dx$ $ = 2018int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ Rightarrow S_2 = 2018S_1.$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ như 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đồ vật thị những hàm số $y = x^2 + x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3.$A. $S = frac23.$B. $S = frac43.$C. $S = 3.$D. $S = 2.$

Lời giải:+ Cách 1:Ta có: $S = int_1^3 x^2 + x – 3x ight $ $ = int_1^3 x^2 – 2x ight .$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = – int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ = – left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_1^2$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_2^3 = 2.$Chọn lời giải D.+ Cách 2:Xét phương thơm trình $x^2 + x – 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;3>\x = 2 in <1;3>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^3 left $ $ = left| int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _1^2 ight|$ $ + left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = 2.$Chọn câu trả lời D.

ví dụ như 5: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đồ vật thị nhì hàm số $y = x^3 – x$ cùng $y = 3x.$A. $S=6.$B. $S=7.$C. $S=8.$D. $S=9.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $x^3 – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 2endarray ight..$Do kia $S = int_ – 2^2 x^3 – 4x ight $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 – 4x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^2 left( x^3 – 4x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight| = 8.$Chọn giải đáp C.

ví dụ như 6: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = x^3 – x$ cùng trang bị thị hàm số $y = x – x^2.$A. $frac3712.$B. $frac94.$C. $frac8112.$D. $13.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $x^3 – x – x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = – 2\x = 1endarray ight..$Do đó $S = int_ – 2^1 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = frac3712.$Chọn giải đáp A.

lấy ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vày vật thị nhị hàm số $y = (x – 6)^2$, $y = 6x – x^2.$A. $S=9.$B. $S = frac92.$C. $S=48.$D. $S = frac523.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $(x – 6)^2 – 6x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow 2x^2 – 18x + 36$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 6endarray ight..$$ Rightarrow S = int_3^6 left $ $ = left| int_3^6 left( 2x^2 – 18x + 36 ight)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2x^33 – 9x + 36x ight) ight ight| = 9.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 8: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do mặt đường cong $y = x^2 + 1$, tiếp tuyến cùng với mặt đường cong này tại điểm $M(2;5)$ cùng trục $Oy$ bằng:A. $frac512.$B. $frac83.$C. $4.$D. $frac10712.$

Lời giải:Ta có: $y = x^2 + 1$ $ Rightarrow y’ = 2x$ $ Rightarrow y"(2) = 4.$Phương thơm trình tiếp tuyến của con đường cong $y = x^2 + 1$ trên điểm $M(2;5)$ là:$y – 5 = 4(x – 2)$ $ Leftrightarrow y = 4x – 3.$Xét phương thơm trình: $x^2 + 1 – 4x + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$S = int_0^2 left $ $ = int_0^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x – 2)^33 ight|_0^2 = frac83.$Chọn câu trả lời B.

ví dụ như 9: Diện tích hình phẳng giới hạn vì con đường cong $y = x^3 – 3x$ cùng tiếp con đường cùng với con đường cong này tại điểm $M( – 1;2)$ bằng:A. $frac94.$B. $frac154.$C. $frac274.$D. $frac354.$

Lời giải:Ta có: $y = x^3 – 3x$ $ Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$ $ Rightarrow y"( – 1) = 0.$Phương thơm trình tiếp đường của con đường cong $y = x^3 – 3x$ tại điểm $M( – 1;2)$ là:$y – 2 = 0(x + 1)$ $ Leftrightarrow y = 2.$Xét pmùi hương trình: $x^3 – 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2\x = – 1endarray ight..$$S = int_ – 1^2 dx $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^3 – 3x – 2 ight)dx ight|$ $ = left. left( fracx^44 – frac3x^22 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac274.$Chọn câu trả lời C.

ví dụ như 10: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vì chưng đồ gia dụng thị hai hàm số $y = e^2x$, $y = e^ – x$ cùng con đường trực tiếp $x=1$ bằng $a.e^2 + frac1e + b$ cùng với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac52.$B. $T = – frac52.$C. $T = – 1.$D. $T = – frac12.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $e^2x – e^ – x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do kia $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 left( e^2x – e^ – x ight)dx ight|$ $ = left. left( frace^2x2 + e^ – x ight) ight|_0^1$ $ = frace^22 + frac1e – frac32.$$ Rightarrow a = frac12$, $b = – frac32$ $ Rightarrow T = 2a + b = – frac12.$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ như 11: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn do thứ thị nhị hàm số $y = e^2x + e^x$, $y = 4e^x – 2$ bởi $fracab + cln 2$ cùng với $fracab$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a^2 + b – c.$A. $T=9.$B. $T=1.$C. $T =15.$D. $T=13.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x + e^x – 4e^x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20le^x = 1\e^x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = ln 2endarray ight..$Do đó $S = int_0^ln 2 e^2x – 3e^x + 2 ight $ $ = left| int_0^ln 2 left( e^2x – 3e^x + 2 ight)dx ight|.$$ = left. left( frace^2x2 – 3e^x + 2x ight) ight|_0^ln 2$ $ = frac32 – 2ln 2.$$ Rightarrow a = 3$, $b = 2$, $c = – 2$ $ Rightarrow T = a^2 + b – c = 13.$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ 12: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đồ dùng thị nhị hàm số $y = xe^x$, $y = me^x$ $(m > 1)$ cùng con đường thẳng $x=1.$A. $S = me – e^m.$B. $S = e^m – me.$C. $S = e^m – me – 2e.$D. $S = me – e^m + 2e.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $xe^x – me^x = 0$ $ Leftrightarrow x = m.$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = int_1^m 2e^x – me^x ight $ $ = int_1^m (m – x) e^xdx.$

*

$ Rightarrow S = left. (m – x)e^x ight|_1^m$ $ + left. e^x ight|_1^m$ $ = e^m – me.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 13: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do trang bị thị nhì hàm số $y = 2xln x$, $y = 6ln x$ bởi $a + bln 3$ cùng với $a$, $b$ là các số nguim. Tính $T = 2a + b.$A. $T = 10.$B. $T=-7.$C. $T=7.$D. $T=-10.$

Lời giải:Xét phương trình $2xln x – 6ln x = 0$ $ Leftrightarrow (2x – 6)ln x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 1endarray ight..$$ Rightarrow S = int_1^3 | 2xln x – 6ln x|dx$ $ = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = (2x – 6)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\dv = x^2 – 6xendarray ight..$lúc kia $S = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|$ $ = left| _1^3 – int_1^3 (x – 6)dx ight|.$$ = left| left. left( x^2 – 6x ight)ln x ight ight|$ $ = – 8 + 9ln 3.$$ Rightarrow a = – 8$, $b = 9$ $ Rightarrow T = 2a + b = – 7.$Chọn câu trả lời B.

lấy ví dụ 14: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng đồ vật thị hai hàm số $y = 2cos x$, $y = 3$ và hai tuyến phố trực tiếp $x = 0$, $x = fracpi 4$ bằng $fracabpi + fracsqrt 2 c$ cùng với $fracab$ là phân số tối giản, $c$ là số nguim. Tính $T = 2a + b + c.$A. $T=-12.$B. $T=-9.$C. $T=9.$D. $T = 12.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 4 | 2cos x – 3|dx$ $ = int_0^fracpi 4 (3 – 2cos x)dx $ (vày $2cos x – 3 $ = left. (3x – 2sin x) ight|_0^fracpi 4$ $ = frac3pi 4 – sqrt 2 $ $ Rightarrow a = 3$, $b = 4$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = 2a + b + c = 9.$Chọn lời giải C.

ví dụ như 15: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì vật thị hai hàm số $y = 1 + cos ^2x$, $y = sin ^2x$ cùng hai đường trực tiếp $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fraccd$ cùng với $fracab$, $fraccd$ là các phân số buổi tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=6.$B. $T =7.$C. $T =8.$D. $T=9.$

Lời giải:Ta bao gồm $S = int_0^fracpi 4 left $ $ = int_0^fracpi 4 | 1 + cos 2x|dx.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx $ (vị $1 + cos 2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).$ = left. left( x + frac12sin 2x ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12$ $ Rightarrow a = 1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 2.$$ Rightarrow T = a + b + c + d = 8.$Chọn lời giải C.

ví dụ như 16: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vày hai tuyến phố cong $y = x^2$, $x = y^2$ bởi $fracab$ cùng với $fracab$ là những phân số về tối giản. lúc đó khoảng cách từ bỏ điểm $M(a;b)$ tới điểm $A(2;1)$ bằng:A. $1.$B. $sqrt 5 .$C. $5.$D. $sqrt 29 .$

Lời giải:Ta bao gồm $y = x^2$ và $x = y^2$ $ Rightarrow x,y ge 0.$khi kia $x = y^2$ $ Leftrightarrow y = sqrt x .$Xét phương thơm trình $x^2 – sqrt x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 1endarray ight..$Do đó $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 left( x^2 – sqrt x ight)dx ight|$ $ = left| left. left( fracx^33 – frac23xsqrt x ight) ight ight| = frac13.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 3$ $ Rightarrow M(1;3)$ $ Rightarrow MA = sqrt (2 – 1)^2 + (1 – 3)^2 = sqrt 5 .$Chọn giải đáp B.

lấy ví dụ 17: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì những con đường $y = left| x^2 – 3x + 2 ight|$, $y = x + 2$ bởi $fracab$ cùng với $fracab$ là phân số về tối giản. Khẳng định làm sao sau đó là đúng?A. $a^2 – 4b + 2 = 0.$B. $a^2 + b – 58 = 0.$C. $a + b^2 – 40 = 0.$D. $a + 2b = 0.$

Lời giải:Xét phương trình: $left| x^2 – 3x + 2 ight| = x + 2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx + 2 ge 0\left< eginarray*20lx^2 – 3x + 2 = x + 2\x^2 – 3x + 2 = – x – 2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 4endarray ight..$Do kia $S = int_0^4 left = frac313$ $ Rightarrow a = 31$, $b = 3$ $ Rightarrow a + b^2 – 40 = 0.$Chọn đáp án C.

lấy ví dụ như 18: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì thiết bị thị hai hàm số $y = x^2 + 4x$, $y = 2x – m$ $(m > 1)$ với hai tuyến đường thẳng $x=0$, $x=2$ bằng $4.$ Khẳng định như thế nào dưới đây đúng?A. $m>5.$B. $mC. $2 D. $m le 2.$

Lời giải:Với $m>1$, ta gồm $x^2 + 2x + m$ $ = (x + 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall x in R.$khi đó: $S = int_0^1 left $ $ = int_0^1 left( x^2 + 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 + x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m + frac43.$$S = 4$ $ Rightarrow frac43 + m = 4$ $ Leftrightarrow m = frac83$ $ Rightarrow 2 Chọn đáp án C.

lấy ví dụ như 19: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì vật thị nhì hàm số $y = x^2 – x$, $y = x + 3$ và hai tuyến đường trực tiếp $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bằng $fracm^33 – m^2.$ Khẳng định làm sao tiếp sau đây đúng?A. $m > 5.$B. $m ge 8.$C. $m le 5.$D. $7 Lời giải:Xét pmùi hương trình: $x^2 – x – x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 3endarray ight..$Bảng xét dấu:

*

Ta có: $S = int_0^m left $ $ = – int_0^3 left( x^2 – 2x – 3 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 2x – 3 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – m^2 – 3m + 18.$$S = fracm^33 – m^2$ $ Rightarrow – 3m + 18 = 0$ $ Leftrightarrow m = 6$ $ Rightarrow m > 5.$Chọn đáp án A.

lấy một ví dụ 20: Diện tích hình elip $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ bằng:A. $pi .$B. $2pi .$C. $3pi .$D. $4pi .$

Lời giải:Vẽ $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ nhỏng hình mặt, ta suy ra:$S = 4int_0^4 fracsqrt 16 – x^2 dx4 $ $ = int_0^4 sqrt 16 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = 4sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = 4cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 4$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S = int_0^fracpi 2 sqrt 16 – 16sin ^2t .4cos tdt$ $ = – 16int_0^fracpi 2 cos ^2 tdt$ $ = 8int_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt .$$ = left. (8t + 4sin 2t) ight|_0^fracpi 2 = 4pi .$Chọn đáp án D.

lấy ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ mang lại $(E)$ có pmùi hương trình $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ $(0 A. $ab=7.$B. $ab = 7sqrt 7 .$C. $ab = sqrt 7 .$D. $ab = 49.$

Lời giải:Diện tích hình tròn $(C)$ là: $S_1 = pi R^2 = 7pi .$Diện tích hình elip $(E)$ là: $S_2 = 4int_0^a fracbsqrt a^2 – x^2 dxa $ $ = 4fracbaint_0^a sqrt a^2 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = asin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = acos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = a$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S_2 = 4fracbaint_0^fracpi 2 a^2 cos ^2tdt$ $ = 2abint_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. 2ableft( t + frac12sin 2t ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi ab.$Theo mang thiết ta tất cả $S_2 = 7S_1$ $ Leftrightarrow pi ab = 49pi $ $ Leftrightarrow ab = 49.$Chọn lời giải D.Ghi chú: Sau này ta dùng tác dụng này cho nhanh những em nhé: “Elip gồm độ lâu năm trục Khủng và trục nhỏ tuổi lần lượt là $2a$, $2b$ thì bao gồm diện tích $S = pi ab$”.

ví dụ như 22: Parabol $y = x^2$ phân tách con đường tròn chổ chính giữa là gốc tọa độ, bán kính bởi $sqrt 2 $ thành hai phần. hotline $S_1$ là diện tích S phần nằm trọn vẹn bên trên trục hoành với $S_2$ là diện tích S phần còn lại. Giá trị $S_2 – 3S_1$ bằng?A. $fracpi 2 – 1.$B. $1 – fracpi 2.$C. $frac43.$D. $ – frac43.$

Lời giải:Đường tròn trung khu $O$, nửa đường kính bằng $2$ gồm phương trình:$x^2 + y^2 = 2.$

*

Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 + x^2 = 2$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Tính các diện tích:Diện tích hình tròn trụ $S = pi (sqrt 2 )^2 = 2pi .$$S_1 = 2int_0^1 left( sqrt 2 – x^2 – x^2 ight)dx $ $ = 2int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx – left. frac2x^33 ight|_0^1.$Đặt $x = sqrt 2 sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = sqrt 2 cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 1$ $ Rightarrow t = fracpi 4.$$int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx$ $ = int_0^fracpi 4 sqrt 2 – 2sin ^2t .sqrt 2 cos tdt.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. left( t + fracsin 2t2 ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12.$$ Rightarrow S_1 = fracpi 2 + frac13$ $ Rightarrow S_2 = S – S_1$ $ = frac3pi 2 – frac13$ $ Rightarrow S_2 – 3S_1 = – frac43.$Chọn giải đáp D.

Xem thêm: Công Thức Tính Chất Trung Tuyến Trong Tam Giác Vuông, Cân, Đều

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Viết cách làm tính diện tích S $S$ của hình phẳng giới hạn vì chưng đồ vật thị nhị hàm số $y = f_1(x)$, $y = f_2(x)$ liên tục trên đoạn $$ cùng những mặt đường thẳng $x = a$, $x=b.$A. $S = int_a^b dx .$B. $S = int_a^b left .$C. $S = left| int_a^b left( f_1(x) – f_2(x) ight)dx ight|.$D. $S = int_a^b left< f_2(x) – f_1(x) ight>dx .$

Câu 2: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì trang bị thị hàm số $y = x^3$, $y = x^5$ bởi $fracab$ với $a$, $b$ là các số nguyên ổn dương cùng $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = a + b.$A. $T = 5.$B. $T = 6.$C. $T = 7.$D. $T = 8.$

Câu 3: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các mặt đường $y = x^2 + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bằng $fracab$ với $a$, $b$ là các số ngulặng dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $T = log _2(a + b – 2).$A. $T = 2.$B. $T=3.$C. $T=4.$D. $T=8.$

Câu 4: Hotline $S_1$ là diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi elip $fracx^225 + fracy^29 = 1$ cùng $S_2$ là diện tích S của hình thoi tất cả các đỉnh là những đỉnh của elip kia. Tính tỉ số thân $S_1$ và $S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac2pi .$B. $fracS_1S_2 = frac3pi .$C. $fracS_1S_2 = fracpi 3.$D. $fracS_1S_2 = fracpi 2.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng được giới hạn vì chưng những đường $y = x^3$, $y = 2 – x^2$, $x = 0$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên ổn dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Khẳng định như thế nào sau đấy là đúng?A. $a > 2b.$B. $a > b.$C. $a = b + 2.$D. $b = a + 2.$

Câu 6: Cho diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi những con đường $y = fracln x2sqrt x $, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bởi $a + bsqrt e $ với $a$, $b$ là những số nguyên. Giá trị $a+b$ thuộc khoảng nào sau đây?A. $(0;2).$B. $(2;4).$C. $(4;6).$D. $(6;8).$

Câu 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vị các mặt đường trực tiếp $y = 2 – x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m A. $(-4;-2).$B. $(-2;0).$C. $(0;2).$D. $(-6;-4).$

Câu 8: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do những mặt đường $y = (e + 1)x$ cùng $y = left( e^x + 1 ight)x$ bằng $fracea + b$ với $a$, $b$ là những số nguim. Tính $T = a + 2b.$A. $3.$B. $2.$C. $1.$D. $0.$

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường parabol: $(P):y = x^2 – 2x + 2$, tiếp con đường của $(P)$ tại $M(3;5)$ với trục $Oy$ có giá trị ở trong khoảng tầm nào sau đây?A. $(2;4).$B. $(4;6).$C. $(6;8).$D. $(8;10).$

Câu 10: Parabol $y = fracx^22$ phân tách hình tròn gồm tâm trên nơi bắt đầu tọa độ, bán kính $2sqrt 2 $ thành $2$ phần. Hotline $S_1$, $S_2$ theo thứ tự là diện tích S phần gạch chéo và phần không gạch chéo cánh nlỗi hình vẽ.

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2$ mang quý giá sấp xỉ hàng tỷ lệ.A. $0,43.$B. $0,53.$C. $0,63.$D. $0,73.$