Chuyên đề "Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số" cung cấp kiến thức và đưa ra các bài toán liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình, giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, các bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tam giác.




Bạn đang xem: Chuyên đề ứng dụng đạo hàm

*

Chuyên ñ .NG D NG ð O HÀM NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM S TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM SGv. Nguy n T t Thu − Tp. Biên Hòa, ð ng NaiI. Các bài toán liên quan ñ n nghi m c a phương trình, b t phương trình. ð nh lí 1. S nghi m c a phương trình f(x) = g(x) chính là s giao ñi m c a hai ñ th y = f(x) và y = g(x) ð nh lí 2. N u hàm s y = f(x) liên t c trên D và m = min f ( x) , M = max f ( x) thì phương trìnhx∈D x∈Df(x) = k có nghi m khi và ch khim≤k ≤M .ð nh lí 3. B t phương trình f ( x) ≥ g ( x) nghi m ñúng m i x thu c D khi và ch khimin f ( x) ≥ max g ( x)x∈D x∈DCác ví d . Bài 1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi mx2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m (HSG Ngh An 2005)Gi i.Xét hàm sf ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có t p xác ñ nh là D = IR2x + 1 2 x2 + x + 12f / ( x) =−2x −1 2 x2 − x + 1 (1)2⇒ f / ( x ) = 0 ⇔ (2 x + 1) x 2 − x + 1 = ( 2 x − 1) x 2 + x + 1 1 1 3  1 1 3  ⇒  x +  <( x − ) 2 + > =  x −  <( x + )2 + > 2 2 4  2 2 4 ⇔ x = 0 không th a mãn (1).V y f /(x) = 0 vô nghi m, mà f /(0) = 1 > 0, do ñó f /(x) > 0, ∀x ∈ IR. M t khác lim f ( x) = limx →+∞2x x2 + x + 1 + x2 − x + 1x →+∞= 1; lim f ( x) = −1x →−∞V y phương trình ñã cho có nghi m khi − 1 (ð thi HSG t nh H i Dương L p 12 năm 2005) Gi i. Ta th y ñ phương trình có nghi m thì a ≤ 0. Khi ñó, phương trình tương ñươngcos x − 1 =a⇔ x2 x   2Xét hàm ssin 2x 2 = −2a 2f (t ) =sin t  π , t ∈  0;  . Ta có t  4f / (t ) =t.cos t − sin t cos t ( t - tgt )  π =  π ⇒ f(t) ngh ch bi n trên  0;  .  4mà f ( ) = 4 ππ2 2và lim f (t ) = 1 ⇒t →02 2πx 2 π 8 1 4 V y phương trình ñã cho có ñúng m t nghi m x ∈ (0; ) ⇔ 2 Bài 3. Cho phương trìnhx 6 + 3 x 5 − 6 x 4 − ax 3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0 .Tìm t t c các giá tr c a tham s a, ñ phương trình có ñúng 2 nghi m phân bi t. (HSG Nam ð nh 2004)Gi i. Vì x = 0 không ph i là nghi m phương trình. Chia hai v phương trình cho x3 ta ñư c( x3 +ð t t = x+1 1 1 ) + 3( x 2 + 2 ) − 6( x + ) − a = 0 3 x x x(1)1 ⇒ |t| ≥ 2. xTa ñư c phương trình t (t 2 − 3) + 3(t 2 − 2) − 6t = a ⇔ t 3 + 3t 2 − 9t = a + 6 − N u t = ± 2, thì phương trình ñã cho có m t nghi m. − N u |t| > 2, thì v i m i giá tr c a t cho tương ng v i hai giá tr c a x Như v y, ta xét hai trư ng h p 2 = a + 6 vô nghi m. TH 1. N u (2) có ñúng hai nghi m t = ± 2, thì  22 = a + 6 TH 2. N u (2) có ñúng m t nghi m |t| > 2. (2) Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t 2 − 9t ,| t | > 2 ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 6t − 9 = 3(t − 1)(t + 3) B ng bi n thiênx f /(t) f(t)-3 0 27 2 − -2 1 0 2 +22⇒ 2 Ch ng minh v i m i s th c s ∈ ( 0;1) ñ u t n t i duy nh t s th c α > 0 sao cho a s + bs  s f (α ) =    2 1(HSG QG b ng A năm 2006)Gi i. Trư c h t ta có BðTBðT Becnoully. Áp d ng BðT Côsi và (1) ta có a s + bs a+b s ≤( ) (1) ta có th ch ng minh (1) b ng hàm s ho c b ng 2 2a s + bs 1 a + b (*) (do a ≠ b) ab M t khác ta có f / ( x) =2 x + a + b − 2 ( x + a )( x + b) 2 ( x + a )( x + b)Ta d dàng ch ng minh ñư c f /(x) > 0, ∀x > 0 suy ra f(x) ñ ng bi n v i x > 0 nênx →0lim f ( x) = ab ≤ f ( x) ≤ lim f ( x) = +x →+∞a+b (**) 2Vì f(x) liên t c khi x > 0 nên t (*) và (**) ta có ñpcm.Bài t p.1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t thu c <0;π4>(4 − 6m) sin 3 x + 3(2m − 1)sin x + 2(m − 2) sin 2 x cos x − (4m − 3) cos x = 0 2. Tìm m ñ s nghi m c a phương trình 15 x 2 − 2(6m 2 + 1) x − 3m 4 + 2m 2 = 0 không nhi u hơn s nghi m c a phương trình (3m − 1) 212 x + 2 x3 + 6 x = (36 m − 9) 28 m − 0, 25 (HSG Ngh An 1998) 3. Tìm t t c các giá tr a ñ b t phương trình ln(1 + x) ≥ x − ax 2 nghi m ñúng ∀x ≥ 0.4. a) Ch ng minh n u a > 0 là s sao cho bphương trình a x ≥ 1 + x ñúng v i m i x ≥ 0 thì a ≥ e . b) Tìm t t c các giá tr c a a ñ a x ≥ 1 + x, ∀x .(HSG 12 Nam ð nh 2006) II. Gi i phương trình, h phương trình b ng phương pháp hàm s . ð nh lí 1. N u hàm s y = f(x) luôn ñ ng bi n (ho c luôn ngh ch) thì s nghi m c a phương trình f(x) = k không nhi u hơn m t và f(x) = f(y) khi và ch khi x = y. ð nh lí 2. N u hàm s y = f(x) luôn ñ ng bi n (ho c luôn ngh ch) và hàm s y = g(x) luôn ngh ch bi n (ho c luôn ñ ng bi n) trên D thì s nghi m trên D c a phương trình f(x) = g(x) không nhi u hơn m t. ð nh lí 3. Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm ñ n c p n và phương trình f ( k ) ( x) = 0 có m nghi m, khi ñó phương trình f ( k −1) ( x) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m. Các ví d . Bài 1. Gi i phương trình3x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (Olympic 30 − 4 − 2000)1 Gi i. Ta th y phương trình ch có nghi m trong (− ; 0) 2pt ⇔ ( −3 x ) (2 + (−3 x) 2 + 3) = (2 x + 1)(2 + (2 x + 1)2 + 3) ⇔ u (2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (1)f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 v i t > 0V i u = − 3x, v = 2x + 1; u, v > 0. Xét hàm sTa có f / (t ) = 2 + 2t 3 + 3t t 4 + 3t 2> 0, ∀t > 0 ⇒ f (u ) = f (v) ⇔ u = v(1) ⇔ u = v ⇔ − 3x = 2x + 1 ⇔ x = − Bài 2. Gi i phương trình1 là nghi m duy nh t c a phương trình. 52  π π etg x + cos x = 2, x ∈  − ;  .  2 2(HSG L p 12 Nam ð nh 2006)Gi i. Xét hàm s2  π π f ( x) = etg x + cos x, x ∈  − ;  , ta có  2 2 2etg x − cos3 x  2 1 ⇒ f ( x) = 2tgx. etg x − sin x = sin x     cos 2 x cos3 x  2/Vì 2etg x ≥ 2 > cos3 x > 0 Nên d u c a f /(x) chính là d u c a sinx. T ñây ta có f(x) ≥ f(0) = 2. V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t x = 0Bài 3. Gi i phương trình22003x + 2005 x = 4006 x + 2 (HSG Ngh An 2005)Gi i Xét hàm s f ( x) = 2003x + 2005x − 4006 x − 2Ta có f / ( x) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 f // ( x) = 2003x ln 2 2003 + 2005x ln 2 2005 > 0, ∀x ⇒ f // ( x) = 0 vô nghi m ⇒ f /(x) có nhi u nh t là m t nghi m ⇒ f(x) có nhi u nh t là hai nghi m. mà f(1) = f(0) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0 và x = 1. Bài 4. Gi i phương trình3x = 1 + x + log 3 (1 + 2 x) (TH&TT)Gi i. ðk x > −1 2phương trình ⇔ 3x + x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x) ⇔ 3x + log 3 3x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x) (1)Xét hàm sf (t ) = t + log 3 t ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên(1) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2 x) ⇔ 3x = 2 x + 1 ⇔ 3x − 2 x − 1 = 0 (2) Xét hàm sf ( x) = 3x − 2 x − 1 ⇒ f / ( x) = 3x ln 3 − 2 ⇒ f // ( x) = 3x ln 2 3 > 0⇒ f(x) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m.

Xem thêm: Giải Phần 60 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số Có Đáp Án Giới Hạn Của Dãy Số

mà f(0) = f(1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0 và x = 1 Bài 5. Gi i h phương trìnhsin x − sin y = 3 x − 3 y  π  x + y = 5   x, y > 0 Gi i.(1) (2) (3)