Nhắc lại kiến thứcGiá trị lượng giác của góc bất kì:Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto:Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác:Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ là chuyên đề hình học thuộc chương 2 của chương trình hình học lớp 10. Đây là một chuyên đề được đánh giá là khá dễ. Tuy nhiên số lượng tài liệu nói toàn bộ vấn đề lý thuyết cũng như bài tập của chuyên đề dường như là không có. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chuyên đề này ngay bên dưới đây nhé.

Bạn đang xem: Chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

TẢI XUỐNG PDF ↓

Nhắc lại kiến thức

Giá trị lượng giác của góc bất kì:

Định nghĩa

Với mỗi góc \<\alpha ({{0}^{0}}\le \alpha \le {{180}^{0}})\> ta xác định một điểm \ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \<\widehat{xOM}=\alpha \> và giả sử điểm \ có tọa độ \.

Khi đó ta có định nghĩa:

\ của góc \<\alpha \> là \<{{y}_{0}}\>, kí hiệu là \<\sin \alpha ={{y}_{0}}\>.

\ của góc \<\alpha \> là \<{{x}_{0}}\>, kí hiệu là \.

\ của góc \<\alpha \> là \<({{x}_{0}}\ne 0)\>, ký hiệu \.

\ cuả góc \<\alpha \> là \<({{y}_{0}}\ne 0)\>, ký hiệu \.

Các số \<\sin \alpha ,cos\alpha ,tan\alpha ,cot\alpha \> được gọi là các giá trị lượng giác của góc \<\alpha \>

Tính chất

Sự liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau

\

\

\

\

Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn cos, tan, cot thì đối nhau

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: (SGK) Xem ở chương tích vô hướng của hai vecto

Định nghĩa : Cho hai vectơ \<\overrightarrow{a}\> và \<{\vec{b}}\> đều khác vectơ \<0\>. Từ một điểm \<0\> bât kỳ ta vẽ \<\overrightarrow{a}\> và \<{\vec{b}}\>b→">→ đều khác vec tơ \<0\>. Từ một điểm \ bất kỳ ta vẽ \<\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\> và \<\overrightarrow{OB}=\vec{b}\>.

góc \<\widehat{AOB}\> với số đo từ \<{{0}^{0}}\> đến \<{{180}^{0}}\> độ được gọi là góc giữa hai vectơ \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\>.

Người ta ký hiệu góc giữa hai vectơ \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\> là \<\left( \vec{a};\vec{b} \right)\> Nếu

\<(\vec{a};\vec{b})={{90}^{0}}\> thì ta nói rằng \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\> vuông góc với nhau. Ký hiệu là \<\vec{a}\bot \vec{b}\> hoặc \<\vec{b}\bot \vec{a}\>.

Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto:

Định nghĩa

Cho hai vectơ \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\> khác vectơ \<{\vec{0}}\>. Tích vô hướng của \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\> là một số được ký hiệu là \<\vec{a}.\vec{b}\>, được xác định bởi công thức sau :

\<\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|cos(\vec{a},\vec{b})\>

Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ \<\vec{a},\vec{b},\vec{c}\> bất kì và mọi số \ ta có :

\<\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}\> (tính chất giao hoán)

\<\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}\> ( tính chất phân phối)

\<(k.\vec{a}).\vec{b}=k.(\vec{a}.\vec{b})=\vec{a}.(k.\vec{b})\>

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ \<(0;\vec{i};\vec{j})\>, cho hai vec tơ \<\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})\>, \<\vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}})\>. Khi đó tích vô hướng \<{\vec{a}}\> và \<{\vec{b}}\> là:

\<\vec{a}.\vec{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}\>

 Nhận xét: Hai vectơ \<\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})\>, \<\vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}})\> khác vectơ\<{\vec{0}}\>0→">→ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

\<{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0\>

Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ \<\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})\> được tính theo công thức:

\<\vec{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\>

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu \<\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}})\>, \<\vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}})\> khác vectơ \<{\vec{0}}\>0→">→ thì ta có:

\<\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\overrightarrow{a|.|\vec{b}}|}=\frac{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}}{\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}.\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}}\>

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm\ được tính theo công thức :

\

Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác:

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác \ vuông góc tại đỉnh \, ta có:

1. \<{{b}^{2}}=ab\prime ;{{c}^{2}}=a.c\prime \>.

2. Định lý Pitago : \<{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\>.

3. \.

4. \<{{h}^{2}}=b\prime .c\prime \>.

5. \<\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\>.

*

Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với \ của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

\<{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cosA(1)\>

\<{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2accosB(2)\>

\<{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2bccosC(3)\>

\<\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}\>

\<\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}\>

\<\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}\>

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \ có các cạnh \ và \. Gọi \<{{m}_{a}},{{m}_{b}}\> và \<{{m}_{c}}\> là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh \ của tam giác. Ta có

\<{{m}_{a}}^{2}=\frac{2.({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}\>

\<{{m}_{b}}^{2}=\frac{2.({{a}^{2}}+{{c}^{2}})-{{b}^{2}}}{4}\>

\<{{m}_{c}}^{2}=\frac{2.({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-{{c}^{2}}}{4}\>

*

Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \ bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

\<\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\>

với \ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác\ lần lượt vẽ từ các đình \ và \ là diện tích tam giác đó.

Diện tích \ của tam giác \ được tính theo một trong các công thức sau

\ (1)

\ (2)

\ (3)

\ (công thức Hê – rông) (4)

Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Xem thêm: Chuyển Vecto Chỉ Phương Sang Vecto Pháp Tuyến Oxyz, Vtcp Vtpt Và Cách Chuyển Đổi

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

\<\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}\>

\<\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}\>

\

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Vấn đề 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì

Dạng 1. Góc và dấu của các giá trị lượng giác

Dạng 2. Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại

Dạng 3. Chứng minh, rút gọn một biểu thức

Vấn đề 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ. Góc giữa hai vectơ

Dạng 2. Tính độ dài của một đoạn thẳng

Dạng 3. Chứng minh vuông góc

Dạng 4. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

Dạng 5. Tập hợp điểm – Cực trị

Dạng 6. Biểu thức tọa độ

Dạng 7. Tìm các điểm đặc biệt trong tam giác

Dạng 8. Một số dạng toán thường gặp trên tam giác, tứ giác

Dạng 9. Tìm GTLN, GTNN trong hình học

Vấn đề 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Dạng 1. Tính toán các đại lượng

Dạng 2. Chứng minh hệ thức

Dạng 3. Dạng tam giác

Dạng 4. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Trên đây là toàn bộ các câu hỏi và bài tập về chủ đề tích vô hướng của hai vectơ. Mong rằng sẽ giúp các em chinh phục một phần nào chuyên đề này.