- khi triển khai các phnghiền thay đổi trong minh chứng bất đẳng thức , ko được trừ nhì bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi không biết rõ dấu của hai vế . Chỉ được phép nhân nhì vế của bất đẳng thức với 1 biểu thức lúc ta biết rõ dấu của biểu thức kia

 - Cho một số trong những hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng lựa chọn ra được số lớn số 1 với số nhỏ độc nhất vô nhị . Tính hóa học này được dùng để chuẩn bị đồ vật từ những ẩn vào việcminh chứng một bất đẳng thức

 




Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị lớp 9

*
37 trang
*
ngôi trường đạt
*
*
3214
*
8Download
Bạn đang xem đôi mươi trang chủng loại của tài liệu "Chuyên ổn đề Bất đẳng thức, bất phương trình, cực trị đại số", để thiết lập tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Công Thức Khoảng Cách Giữa 2 Đường Thẳng Chéo Nhau Oxyz, Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

Bất đẳng thức , bất phương thơm trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. Kiến thức đề nghị lưu giữ a) Định nghĩa : Cho nhị số a cùng b ta gồm a > b a – b > 0 b) Một số bất đẳng thức cơ phiên bản : 01) Các bất đẳng thức về luỹ quá và cnạp năng lượng thức : với A là một trong những biểu thức ngẫu nhiên , vết bởi xẩy ra Lúc A = 0 ; ; lốt bởi xẩy ra khi A = 0 Với vết bằng xẩy ra Khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không cùng với lốt bằng xẩy ra Lúc B = 0 02) Các bất đẳng thứcvề quý hiếm tuyệt vời nhất Với A bất kỳ , vệt bởi xẩy ra Lúc A = 0 lốt bằng xảy ra Lúc A và cùng vệt Dấu bởi xảy ra khi A với B cùng vệt cùng A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Cômê say ) : - Cho các số ( Trung bình nhân của n số không âm không to hơn vừa phải cộng của chúng ) Dấu bằng xẩy ra lúc - Bất đẳng thức Côtê mê mang đến hai số hoàn toàn có thể tuyên bố dưới những dạng sau : Với a và b là các số ko âm Với a với b là các số ngẫu nhiên Với a với b là các số bất kỳ Dấu bằng xảy ra Lúc a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn hotline là bất đẳng thức Côđê mê – Svac ) : - Cho nhị bộ những số thực: và . lúc kia : Dấu bằng xẩy ra Lúc : - Hoặc cùng với ai , bi khác 0 với giả dụ thì khớp ứng cũng bằng 0 - Hoặc bao gồm một cỗ vào nhì cỗ bên trên bao gồm toàn số không - Bất đẳng thức Cômê mệt – Svac mang lại nhị cặp số : Dấu bởi xảy ra khi ay = bx 05) Bất đẳng thức Với x > 0 ; Với x b cùng b > c thì a > c 02 ) Tính chất liên quan đén phnghiền cộng : Cộng nhì vế của bất đẳng thức với thuộc một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng nhì bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b cùng c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ nhì bất đẳng thức ngược chiều : Nếu a > b với c b – d 04 ) Các tính chất liên quan mang đến phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức cùng với một số Nếu a >b với c > 0 thì ac > bc Nếu a > b với c b >0 cùng c > d > 0 thì ac > bd Nếu a bd Luỹ vượt hai vế của một bất đẳng thức : Với số đông Với những Với số đông 0 m a > 1 Với n > m 2. Một số điểm cần chú ý : - lúc triển khai các phxay biến hóa vào minh chứng bất đẳng thức , ko được trừ nhị bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của nhì vế . Chỉ được phnghiền nhân nhị vế của bất đẳng thức với 1 biểu thức khi ta biết rõ vệt của biểu thức đó - Cho một số trong những hữu hạn những số thực thì trong số ấy lúc nào ta cũng lựa chọn ra được số lớn nhất cùng số bé dại tốt nhất . Tính hóa học này được dùng để làm chuẩn bị sản phẩm công nghệ tự những ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức 3. Một số cách thức chứng minh bất đẳng thức:3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thứclấy ví dụ như 1: Chứng minch rằng với mọi số thức x thì :Giải :Ta có : Với hầu như x Do vậy : Đúng với mọi x Dấu bởi xảy ra khi x = -3 lấy ví dụ như 2 : Cho a, b cùng a+b 0 . Chứng minh rằng Giải :Ta bao gồm : Xét tử của M : Vì a+b 0 nên M= > 0 vì chưng a, b cần thiết đôi khi bởi 0 3.2. Phương thơm pháp làm phản chứng:Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c nhất trí . Chứng minch rằng cả tía số đó đều dương Giải- Giả sử tất cả một trong những không dương: a Ê 0Từ abc > 0 ta có: bc 0 ta có: b + c > - a > 0Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ị bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta bao gồm (*) và (**) xích míc nhau ị đpcm.3.3. Phương thơm pháp sử dụng những bất đẳng thức cơ bản:lấy một ví dụ 4: Chứng minch rằng: Với x, y > 0. Ta gồm : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2 GiảiCách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : Cách 2 : Theo bất đẳng thức Comê mệt ta có:Dấu bởi xẩy ra Khi x = ylấy ví dụ 5 : Cho và 3a + 4 = 5 . Chứng minc rằng Giải :Cách 1 : vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 1Dấu bởi xẩy ra Lúc : Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta bao gồm a= Vậy Đúng với mọi x lấy ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta bao gồm : a ) sin x + cosx b) tgx + cotgx 2 Giải :a) áp dụng bất đẳng thức Comê man cho nhì số dương ta có : sin x + cosx Dấu bởi xảy ra lúc sinx = cosx hay x = 450b ) Vì tgx , cotgx >0 . vận dụng bất đẳng thức Cođắm say mang đến nhị số ta có ; tgx + cotgx ( Vì tgx . cotgx = 1 ) Dấu bởi xảy ra khi tgx = cotgx tuyệt x= 450lấy ví dụ như 7 : Cho . Chứng minh rằng : Giải :Ta bao gồm : vận dụng bất đẳng thức Cosimang lại nhì số dương và ta bao gồm : Mà : Vậy Dấu bởi xẩy ra khi a = 4 lấy một ví dụ 8 : Chứng minc rằng với tất cả số thực x , y ta tất cả : Giải :Bất đẳng thức yêu cầu chứng minh tương tự cùng với : Vấn đề này đúng vì chưng với không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Phương pháp thực hiện điều kiện gồm nghiệm của pmùi hương trình :Ví dụ9 : Chứng minh rằng ví như phương trình:2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2Có nghiệm thì 4c2 3(a + b)2 – 8abGiảiTa bao gồm : Để phương trình tất cả nghiệm thì : 3.5. Phương thơm pháp làm cho trội:Ví dụ10 : Chứng minc cùng với n N* thì:GiảiTa có: + .4. Các bài tập trường đoản cú luyện :Bài 1: Trong tam giác vuông ABC tất cả cạnh huyền bởi 1 , nhì cạnh góc vuông là b với c. Chứng minh rằng : b3 + c3 b > 0 . Chứng minc rằng b ) vận dụng đối chiếu với Hướng dẫn giải :Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có một = b2 + c2 với 1> b; 1 > cVậy 1= b2 + c2 > b3 + c3Bài 2 : a) Ta gồm : Vì x2 - x +1 = với mọi x Nên ( Đúng )Dấu bằng xẩy ra Lúc x = b ) Ta có : Đúng vày a +b 0; a+b > 0 nên: (*) ( Bất đẳng thức Coham đến 2 số )Vậy với đa số a , b > 0 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 với x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t Vì 0 0 áp dụng bất đẳng thức sinh hoạt câu (a) cho nhị số dương t cùng 1-t ta được Mà 4 - x2 Phường = 0Với x 0 ta có: Phường = x = P(x + a)2 px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0Để phương thơm trình tất cả nghiệm thì: (2ap – 1)2 – 4pa2 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Giải bất pmùi hương trình bậc 2 nhận được P1 P.. P24. Những bài tập tự luyện :Bài 1: Tìm giá trị nhỏ tốt nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +20đôi mươi c) C = d ) D = 3x2+5y2 với Bài 2 : Tìm quý hiếm lớn nhất của các biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P. = ( x+1 ) (2 - x ) Bài 3: Tìm giá tri lớn số 1 và nhỏ dại nhất của biểu thức: Phường = Giải:Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 phải min A = 8 lúc x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x 0 (*). vận dụng bất dẳng thức Comê mệt mang đến hai số dương ta có:Vậy MinC = 2 lúc đối chiếu với (*) ta được x =-1 c) Từ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: Vậy MinD = 2 Lúc x= và y = Bài 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 khi x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 Khi x = 1; y = - c ) P.. = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Cođê mê ) Vậy MaxPhường = lúc x = Bài 3: Ta có: P = (* ) Ta thấy P = 0 Khi x = Với P 0 thì giá trị của P đề nghị đống ý đến phương trình (*) bao gồm nghiệm cùng với x Điều này tương đương với: Vậy MaxP = Lúc x = MinP = -Khi x = V.3. Bất phương trình 1. Kiến thức đề xuất lưu giữ : - Bất phương thơm trình hàng đầu : ax +b = 0 () + Nếu a > 0 bất phương thơm trình tất cả nghiệm + Nếu a thì f(x) cùng thông số a cùng dấu , Lúc x 0 ; A(x)B(x) b b b , b > c a > c+ + + + 3. Một số hằng bất đẳng thức + ; xảy ra đẳng thức Lúc a = 0.+ . Xảy ra đẳng thức khi a = 04. Một số phương thức chứng minh bất đẳng thức4.1. Dùng định nghĩaĐể chứng tỏ A > B, ta xét hiệu A - B và chứng tỏ rằng A - B > 04.2. Dùng những phép biến hóa tương đươngĐể chứng tỏ A > B ta biến đổi tương đương Trong đó bất đẳng thức An > Bn luôn luôn đúng, vì chưng quy trình thay đổi là tương đương phải ta suy ra A > B là đúng.4.3. Dùng bất đẳng thức phụĐể chứng minh A > B, ta xuất phát điểm từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đơn giản và dễ dàng (gọi là bđt phụ) cùng biến đổi tương đương suy ra A > B.II- Các nhận xét và những bài bác toán thù minch hoạ mang lại Việc áp dụng, khai quật một bất đẳng thức lớp 8Nhận xét :Trong lịch trình toán thù T.H.C.S tất cả một bất đẳng thức thân thuộc nhưng việc ứng dụng của chính nó trong những lúc giải các bài bác tập đại số cùng hình học tập vô cùng bao gồm công dụng. Ta hay Điện thoại tư vấn sẽ là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau :Với số đông a, b ta luôn luôn bao gồm : (*)Nhận thấy (*) Cả cha bất đẳng thức trên hầu như tương tự với hằng bất đẳng thức cùng vì vậy chúng xẩy ra đẳng thức lúc a = b.chân thành và ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu yêu cầu tình dục thân tổng nhì số cùng với tích nhì số cùng cùng với tổng những bình phương thơm của hai số kia.Sau đấy là một số trong những ví dụ minh hoạ câu hỏi vận dụngvới khai quật bất đẳng thức (*).Bài toán thù 1:Cho a + b = 1 . Chứng minch rằng: ; ; * Giải : vận dụng bất đẳng thức (1) với trả thiết a + b = 1 ta có: ; .Đẳng thức xảy ra Lúc a = b = 1/2.* Knhị thác bài xích toánNhận xét 1: Nếu tiếp tục vận dụng bđt (1) với tăng số nón của trở thành ta chiếm được các hiệu quả như:Tổng quát tháo ta có bài xích toán sau:Bài toán thù 1.1: Cho a + b = 1 . Chứng minc rằng: Cách giải bài bác toán 1.1 ta vận dụng phương pháp quy hấp thụ tân oán học tập và có tác dụng tương tự như bài toán thù 1.Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát bài tân oán 1.1 lúc vậy giả thiết a + b = 1 do đưa thiết a + b = k , làm cho giống như nlỗi bên trên ta có Vậy bao gồm bài bác tân oán 1.2 như sau:Bài tân oán 1.2: Cho a + b = k . Chứng minh: Nhận xét 3: Từ bài xích toán thù 1.2 ví như ta rứa mang thiết a + b = k vị b = k - a ta được Bài toán 1.3:Chứng minh : với mọi k .* Knhị thác sâu bài bác toánNhận xét 1: Nếu vận dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp 2 lần ta có kết quả:Tổng quát tháo ta có bài xích toán sau:Bài toán1.4:Chứng minh : a) b) Nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tục nhiều lần với tăng số đổi thay ta có:.Vậy gồm bài xích toán thù 1.5:Chứng minh: Cđọng tiếp tục tư duy sâu không dừng lại ở đó ta thu được rất nhiều bài toán tổng thể rộng.Bài tân oán 2: Cho a, b, c > 0.Chứng minc rằng: * Giải: vận dụng bất đẳng thức (2) ta gồm : (do a, b, c > 0) ( vì (a+b)(b+c)(c+a) > 0 và 8abc > 0).Đẳng thức xẩy ra Khi a = b = c .* Knhị thác bài toánNhận xét 1: Nếu cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. khi kia ta có một - a, 1- b, 1 - c > 0 và có 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). vận dụng bài xích toán 2 ta được : Vậy gồm bài toán thù 2.1:Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: Nhận xét 2: Ta thường xuyên khai thác sâu rộng bài toán thù bằng cách mang lại a + b + c = n > 0 . Lúc kia giống như nhỏng bài xích toán 2.1 ta bao gồm Bài tân oán 2.2:Cho a, b, c > 0 với a + b + c = n > 0. Chứng minc : Bài toán thù 3:Chứng minch rằng với đa số a, b, c ta gồm : * Giải : vận dụng bất đẳng thức (3) ta gồm : đ.p.c.mCó đẳng thức khi a = b = c.* Knhì thác bài toánNhận xét 1 : Nếu áp dụng bài toán 3 và tăng số mũ lên, không thay đổi số trở thành ta bao gồm (*) lại áp dụng bài xích tân oán 3 lần nữa ta tất cả (**) . Từ (*) và (**) ta nhận được tác dụng là . Vậy có bài xích toán thù 3.1:Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta tất cả : .Nhận xét 2: Nếu tăng số vươn lên là với giữ nguyên số mũ của biến đổi với phương pháp làm cho nhỏng bài xích toán thù 3 ta gồm Bài tân oán 3.2:Chứng minch rằng: Với hồ hết Bài toán 4 :Chứng minch rằng với đa số a, b, c, d ta tất cả :* Giải :áp dụng bất đẳng thức (3) ta tất cả : đ.p.c.mCó đẳng thức lúc a = b = c = d* Khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu núm b = c = d = 1 ta bao gồm bđt Vậy có bài bác toán thù 4.1:Tìm cực hiếm nhỏ tuyệt nhất của A = Nhận xét 2: Nếu khai thác bài toán thù 4 theo hướng tăng số phát triển thành, số nón lên, ta Có bài toán thù tổng quát sau:Bài toán thù 4.2:Chứng minh rằng với mọi số với ta có:.Bài toán 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minc : * Knhị thác bài toánNhận xét 1: Nếu thế hằng số 2 ngơi nghỉ mang thiết vày số k ta được tác dụng . Vậy có bài bác tân oán tổng quát hơn hoàn toàn như là sau:Bài toán thù 5.1:Cho a + b + c + d = k . Chứng minc : Nhận xét 2: Ta còn có thể tổng quát bài toán 5.1 ở mức độ cao hơn bằng cách tăng số biến hóa của bài bác toán . khi kia bài toán thù 5.1 chỉ là ngôi trường hòa hợp riêng biệt của bài xích tân oán sau:Bài toán thù 5.2:Cho = k . Chứng minh: cùng với Để giải bài xích tân oán này thì cả nhị cách có tác dụng của bài tân oán 5 sống bên trên gửi vào áp dụng không phải chăng, ta sẽ làm như sau:áp dụng bđt (3) ta có: ; ; ; (bởi vì ) (đ.p.c.m). Từ đó suy ra : cùng với (1.1)Vậy bao gồm bài bác toán 5.3: Chứng minh: cùng với .Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được đông đảo bài toán thù nlỗi : Chứng minh : . Rõ ràng rất nhiều bđt này ví như áp dụng phương pháp sử dụng có mang hoặc thay đổi tương tự thì hết sức khó khăn xử lý .* Knhì thác sâu bài toánNếu tiếp tục nâng số nón lên cao rộng theo cách khai quật của bài bác tân oán 1.4 ta nhận được kết quả bao quát hơn nữa chẳng hạn:Bài tân oán 5.4:Chứng minh: a) với b) với c) với (1.2)Rõ ràng những bất đẳng thức này còn chặt hơn cả bđt Cô Si và cũng ko đề xuất ĐK gì của vươn lên là.Tiểu kết 1: Trên trên đây ta đã khai thác và trở nên tân tiến trường đoản cú đều bài tân oán dễ dàng nhằm nhận được phần lớn bài toán thù bắt đầu, các tác dụng mới tổng thể hơn.Bất đẳng thức (1.1) là trường hòa hợp bao quát của bất đẳng thức (1) Lúc ta khai quật theo phía tăng số trở thành của bài toán thù.Bất đẳng thức (1.2) là trường hòa hợp tổng thể của bất đẳng thức (1) Lúc ta khai quật theo hướng tăng cả số mũ với số biến hóa.Tiểu kết 2:Để khai quật, cải cách và phát triển một bài toán về bất đẳng thức ta rất có thể đi theo một số hướng nhỏng sau: Hướng thứ nhất : Tổng quát tháo hoá các hằng số bao gồm vào bài bác toán, ví như những bài xích toán thù 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1Hướng vật dụng nhì : Giữ ngulặng số phát triển thành với tăng số nón của các phát triển thành dẫn đến tổng thể hoá số mũ, ví dụ những bài xích toán thù 1.1; 1.4Hướng sản phẩm cha : Giữ nguim số mũ và tăng số đổi mới của những phát triển thành dẫn đến tổng thể hoá số đổi mới, ví dụ các bài bác tân oán 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3Hướng đồ vật tứ : Tổng quát hoá bao gồm cả số mũ và số trở nên, ví dụ như các bài toán thù 4.2; 5.2; 5.4Hướng trang bị năm : Đổi biến đổi, quan trọng đặc biệt hoá từ bài bác tân oán tổng quát, ví dụ như các bài tân oán 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đó là những ví dụ áp dụng bđt (*) vào câu hỏi giải những bài bác tân oán đại số với một trong những phương hướng nhằm khai thác một bài xích toán thù. Kết quả chiếm được sau khoản thời gian khai quật bđt (1) là bđt : với (1.1) Và bđt: cùng với (1.2)Hoàn toàn tương tự nlỗi trên ( Chứng minh bởi quy hấp thụ toán học tập ) ta cũng có thể có tác dụng khi khai quật bđt (2) nlỗi sau: với (2.1)Từ bđt (1.2) cùng bđt (2.1) ta gồm bđt bao quát của bđt (*) nhỏng sau: với (*.1) Bởi vậy lúc làm cho xong xuôi một bài bác toán thù dù cho là bài xích tân oán dễ , tín đồ làm toán thù không nên tán thành ngay lập tức với giải mã của mình mà lại yêu cầu tiếp tục quan tâm đến gần như vấn đề bao bọc bài tân oán, đưa ra những bài bác toán bắt đầu tuyệt rộng, tổng quát hơn, kế tiếp đặc biệt hoá bài xích tân oán bao quát để có được phần đa bài toán thù rất dị hơn, thú vị rộng. Điều kia làm cho tất cả những người học tân oán ngày càng mê say bộ môn, đồng thời cũng chính là phương pháp tập luyện bốn duy, nghiên cứu nhằm sở hữu kho báu học thức của nhân loại. MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN ===========Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minh maứ caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C D. Chửựng minh A B”Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minch lađọng ta ủi tửứ đọng chửựng minh: (A – B) + (D –C) 0; Khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C D ta suy ra ủửụùc A BSau ủaõy laứ đọng moọt soỏ vớ duù:Baứi toaựn 1: Cho a + b 1. Chửựng minch raống: a2 + b2 1/2Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 50% = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maứ đọng a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – 50% 0 Hay a2 + b2 1/2Baứi toaựn 2: Chửựng minc raống neỏu a + b 2 thỡ a3 + b3 a4 + b4Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0Maứ a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4Baứi toaựn 3: Cho x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 x2 + y3. Chửựng minch raống:x3 + y3 x2 + y2 vaứ x2 + y3 x + y2Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0Maứ đọng x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 == x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (đổ vỡ x > 0)Maứ đọng x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x + y2Baứi toaựn 4: Chửựng minch raống neỏu: a + b + c 3 thỡ a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0Maứ: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3Baứi toaựn 5: Cho x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minc raống: x2 + y2 0 ( vỡ vạc x; y > 0)=> x2 + y2