Bài toán minh chứng tứ giác nội tiếp mặt đường tròn

I. Hướng dẫn giải

– Pmùi hương pháp 1: Chứng minch tđọng giác bao gồm nhì góc vuông thuộc nhìn một cạnh hoặc một đường chéo (tâm con đường tròn ngoại tiếp tđọng giác được xác định là trung điểm của cạnh hoặc con đường chéo cánh đó).

Bạn đang xem: Chứng minh tứ giác nội tiếp

– Pmùi hương pháp 2: Chứng minc tứ giác gồm tổng nhị góc đối bởi

*
.

– Phương thơm pháp 3: Chứng minc tứ đọng giác gồm hai góc đều nhau thuộc nhìn một cạnh


– Pmùi hương pháp 4: Chứng minch bốn đỉnh của tđọng giác cùng giải pháp hầu như một điểm.

– Pmùi hương pháp 5: Chứng minc trường hợp tứ giác ABCD bao gồm AB cắt CD tại M mà

MA.MB = MC.MD thì tứ đọng giác ABCD nội tiếp.

II. các bài tập luyện mẫu

Bài 1. Cho đường tròn trọng tâm O. Từ điểm A sinh sống bên phía ngoài mặt đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến đường AB cùng AC cùng với con đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC đem điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC thứu tự tại E và D. Chứng minc những tứ đọng giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong mặt đường tròn. Xác định trung tâm những mặt đường tròn kia.

Giải

– Chứng minch tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) buộc phải góc OME bằng

*

OB ⊥ BE (BE là tiếp đường của (O)) buộc phải góc OBE bởi

*

Vậy, tđọng giác EBMO bao gồm hai góc vuông cùng chú ý cạnh OE phải tứ giác EBMO nội tiếp trong con đường tròn 2 lần bán kính OE.

– Chứng minc tứ đọng giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) đề xuất góc OMD bởi

*

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) phải góc OCD bằng

*

Vậy, tứ giác DCOM bao gồm nhị góc vuông thuộc nhìn cạnh OD đề nghị tứ giác DCOM nội tiếp vào con đường tròn 2 lần bán kính OD.

Bài 2. Cho con đường tròn trọng điểm O 2 lần bán kính AB = 2R. CD là đường kính di động. call d là tiếp tuyến tại B của mặt đường tròn (O), các con đường thẳng AC, AD giảm d theo thứ tự trên P. cùng Q.Chứng minc tứ đọng giác CPQD nội tiếp được con đường tròn.

Giải

Ta có:

Có: góc ADB bằng

*
(góc nội tiếp chắn nửa con đường tròn)

Từ (1) và (2) suy ra:

⇒ Tđọng giác CPQD nội tiếp được mặt đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm ở vị trí phía bên ngoài con đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến đường BC và BD cùng với mặt đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến đường BMN (M nằm trong lòng B và N, tia BN nằm trong lòng nhì tia BC với BO), điện thoại tư vấn H là giao điểm của BO với CD.

a. Chứng minch BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tđọng giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (đặc thù nhì tiếp đường giảm nhau)

OC = OD (nửa đường kính mặt đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

△BMC và △BCN có:

Nên △BMC đồng dạng △Bcông nhân (g.g)

Do (1) ta có △BCO vuông trên C, đường cao CH:

*
(3)

Từ (2) với (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng tỏ trên)

△BMO và △BThành Phố Hà Nội có:

⇒ △BMO đồng dạng △BHN (c.g.c)

⇒ Tđọng giác OHMN nội tiếp (nhị góc đều nhau cùng nhìn một cạnh).

Bài 4. Cho con đường tròn chổ chính giữa O và điểm M nằm đi ngoài đường tròn (O). Đường trực tiếp MO cắt (O) trên E cùng F (ME

a. Chứng minch MA.MB = ME.MF.

b. call H là hình chiếu vuông góc của điểm C xuất hành thẳng MO. Chứng minch tứ đọng giác AHOB nội tiếp.

Giải

a. Hai tam giác MAE với MBF có:

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

b. Do hệ thức lượng trong mặt đường tròn ta có:

MA.MB =

*

Mặt khác, hệ thức lượng vào tam giác vuông MCO đến ta:

MH.MO =

*
 ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tđọng giác AHOB nội tiếp trong con đường tròn.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa đường tròn trung khu O 2 lần bán kính AB = 2R. call C, D là hai điểm trên nửa con đường tròn kia làm sao cho C ở trong dây AD với góc COD bằng

*
. Gọi giao điểm của nhị dây AD và BC với E, giao điểm của những mặt đường trực tiếp AC với BD là F.

a. Chứng minch tư điểm C, D, E, F thuộc nẳm bên trên một đường tròn.

b. Tính nửa đường kính của mặt đường tròn đi qua C, E, D, F nói bên trên theo R.

Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) 2 lần bán kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp đường AF cùng với nửa mặt đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF giảm tia tiếp con đường Bx của nửa đường tròn (O) trên D (tia tiếp tuyến đường Bx phía trong nửa khía cạnh phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). hotline H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm sản phẩm công nghệ nhị của DC với nửa con đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minh tứ đọng giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. Cho hình thang cân nặng ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong con đường tròn (O). Kẻ các tiếp đường cùng với con đường tròn (O) tại A và D bọn chúng giảm nhau ở E. gọi M là giao điểm của hai tuyến phố chéo cánh AC với BD.

Chứng minch tứ giác AEDM nội tiếp được vào một đường tròn.

Bài 4. Cho nhì điểm A, B thắt chặt và cố định với góc xAy bằng

*
(B trực thuộc miền vào góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường trực tiếp BN cắt Ax trên H và đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J thứu tự là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minh HK = 2MN

b. Chứng minh tđọng giác MINJ nội tiếp được con đường tròn.

Bài 5. Cho góc vuông xOy với 2 điểm A, B bên trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất cứ bên trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) 2 lần bán kính AB giảm tia MA, MB theo lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE giảm đường tròn (T) tại điểm sản phẩm nhị F.

a. Chứng minch bốn điểm: O, A, E, M nằm trên 1 con đường tròn.

b. Tđọng giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 6.

Xem thêm: Giáo Án Đại Số 9 Theo Định Hướng Phát Triển Năng Lực Violet, Giáo Án Đại Số 9

Cho đường tròn trung ương O 2 lần bán kính AB. Trên tia đối của tia AB mang điểm C (AB>BC). Vẽ mặt đường tròn trọng điểm O’ 2 lần bán kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt mặt đường tròn trung tâm O’ trên D.