Hướng dẫn học sinch lớp 9 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp bằng phương pháp nhắc lại lý thuyết cùng giải những bài tập toán thù.

Bạn đang xem: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Trước tiên họ cần ôn lại kiến thức về tứ giác nội tiếp (định nghĩa, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp (đường tròn).

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp có những tính chất dưới đây:

1) Có 4 đỉnh cách đều 1 điểm như thế nào đó. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) Khi đó OA = OB = OC = OD = R.

2) Có tổng 2 góc đối bằng 180°

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800.

3) Có góc xung quanh tại một đỉnh bằng góc vào tại đỉnh đối với đỉnh đó.

Cho tứ giác nội tiếp ABCD thì: góc ko kể đỉnh A bằng góc BCD, góc ngoại trừ đỉnh B bằng góc ADC, góc bên cạnh đỉnh C bằng góc BAD, góc xung quanh đỉnh D bằng góc BAC.

4) 2 góc cùng quan sát 1 cạnh thì bằng nhau

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì: góc DAC = góc DBC; góc DBA = góc ACD; góc CBD = góc CAD; góc BAC = góc CDB.

Các giải pháp chứng minch tứ giác nội tiếp đường tròn

Để chứng minch một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minc tứ giác đó tất cả một vào những dấu hiệu dưới đây:

1) 4 đỉnh biện pháp đều 1 điểm

Chứng minc mang đến bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm như thế nào đó

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn trung tâm O ⇔ OA = OB = OC = OD

2) Có tổng 2 góc đối bằng 180°

Chứng minh tứ giác gồm tổng 2 góc đối bằng 180°

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°

3) 2 góc nội tiếp thuộc chắn 1 cung bằng nhau

Chứng minch từ hai đỉnh thuộc kề một cạnh cùng quan sát một cạnh dưới nhì góc bằng nhau.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC

4) Tổng 2 góc đối bằng nhau

Nếu một tứ giác bao gồm tổng số đo nhì góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn⇔góc A + góc C = gócB +gócD. Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp thứ 2.

5) Góc kế bên tại đỉnh bằng góc đối của đỉnh đó

Tứ giác bao gồm góc ko kể tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu góc ngoại trừ đỉnh A bằng góc C, hoặc góc không tính đỉnh B bằng góc D.

6) Tứ giác là những hình đặc biệt

Chứng minch tứ giác là một trong những hình đặc biệt. Nếu tứ giác là:

– Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân nặng là tứ giác nội tiếp.

– Hình thoi, hình bình hành không là tứ giác nội tiếp.

Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp

Dưới đây là các bài toán thù về chứng minch tứ giác nội tiếp tất cả lời giải nhưng mà Gia sư Tiến Bộ muốn phân chia sẻ với những em.

Bài 1.Cho đường tròn trọng tâm O. Từ điểm A ở bên phía ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp tuyến AB với AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO với DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định chổ chính giữa những đường tròn đó.

Giải

– Chứng minc tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) buộc phải góc OME bằng 90º

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) yêu cầu góc OBE bằng 90º

Vậy, tứ giác EBMO bao gồm nhì góc vuông cùng nhìn cạnh OE cần tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

*

– Chứng minch tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) cần góc OMD bằng 90°

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90°

Vậy, tứ giác DCOM tất cả nhì góc vuông thuộc nhìn cạnh OD đề nghị tứ giác DCOM nội tiếp vào đường tròn đường kính OD.

Bài 2.Cho đường tròn vai trung phong O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại Phường và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải

Ta có:

*

Có: góc ADB bằng 90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

*

Từ (1) và (2) suy ra:

*

*

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3.Qua điểm B nằm ở bên phía ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Từ B vẽ mèo tuyến BMN (M nằm giữa B với N, tia BN nằm giữa hai tia BC cùng BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.

a. Chứng minch BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất nhì tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (nửa đường kính đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD⇒ BO⊥ CD (1)

△BMC và△BCN có:

*

Nên△BMC đồng dạng△Bcông nhân (g.g)

*

Do (1) ta có△BCO vuông tại C, đường cao CH:

*
(3)

Từ (2) và (3)⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minc trên)

△BMO và△BHN có:

*

⇒△BMO đồng dạng△BHN (c.g.c)

*

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng quan sát một cạnh).

Bài 4.Cho đường tròn tâm O với điểm M nằm không tính đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME 2

Mặt không giống, hệ thức lượng vào tam giác vuông MCO mang lại ta:

MH.MO = MC2⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

Bài 5. Cho nửa đường tròn trọng tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C, D là hai điểm bên trên nửa đường tròn đó thế nào cho C thuộc dây AD cùng góc COD bằng 120º. Gọi giao điểm của nhị dây AD cùng BC với E, giao điểm của những đường thẳng AC với BD là F.

a. Chứng minch bốn điểm C, D, E, F cùng nẳm bên trên một đường tròn.

b. Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

a. Ta có: C, D thuộc đường tròn nên:

Giải:

*

Hai điểm C và D thuộc quan sát đoạn thẳng FE dưới một góc bằng nhau bằng 90ºđề nghị 4 điểm C, D, E, F thuộc thuộc đường tròn đường kính EF.

b. Gọi I là trung điểm EF thì ID = IC là nửa đường kính đường tròn đi qua 4 điểm C, D, E, F nói trên.

Ta có: IC = ID ; OC = OD (bán kính đường tròn vai trung phong O)

Suy ra IO là trung trực của CD⇒ OI là phân giác của góc COD

*

*

Do O là trung điểm AB với tam giác ADB vuông tại D bắt buộc tam giác ODB cân tại O.

*

Do ID = IF buộc phải tam giác IFD cân tại I.

*

Tam giác AFB bao gồm nhị đường cao AD, BC cắt nhau tại E cần E là trực chổ chính giữa tam giác.

⇒ FE là đường cao thứ bố.

FE vuông góc AB tại H

*

Từ (1), (2), (3) suy ra:

*

Xét tam giác vuông IDO có góc IDO bằng 60º

Ta có:

*

Bài 6.Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A bên trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ nhị của DC với nửa đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minc tứ giác KHOC nội tiếp.

Giải:

a. AF, BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) đề nghị AF⊥ OF, BD⊥ AB

Hai tam giác vuông AOF cùng ADB bao gồm góc OAF chung

Nên△AOF đồng dạng△ADB (g.g)

Suy ra:

*

*

b. Ta có: DB = DF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OF (chào bán kính)

Nên OD là đường trung trực của BF

Suy ra: OD⊥ BF

Lại bao gồm góc BKC bằng 90º(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))⇒ Tứ giác KHOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp vào đường tròn (O). Kẻ những tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của nhì đường chéo cánh AC cùng BD.

Chứng minch tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Giải:

Ta có:

*

*

Vậy, tứ giác AEDM nội tiếp được vào một đường tròn.

Bài 8. Cho nhị điểm A, B cố định và góc xAy bằng 60º(B thuộc miền vào góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H và đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minch HK = 2MN

b. Chứng minch tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Giải:

a. Tứ giác MNKH nội tiếp

*

⇒△AMN đồng dạng△AKH (g.g)

*

*

Vậy KH = 2MN.

b. Tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn đường kính AB.

⇒ I là chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN.

*

(góc ở trung tâm với góc nội tiếp thuộc chắn cung MN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN)

*

Tứ giác MNKH nội tiếp đường tròn trung ương J đường kính HK nên:

*

Từ (1) với (2) có:

*

⇒ Tứ giác MINJ nội tiếp được vào đường tròn.

Bài 9.Cho góc vuông xOy cùng 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì bên trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ nhì F.

a. Chứng minc bốn điểm: O, A, E, M nằm bên trên 1 đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Giải:

a.

*

Xét tứ giác OAEM có:

*

⇒ O, A, E, M cùng thuộc đường tròn.

b. Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra:

*

Mặt khác: A, C, E, F thuộc thuộc đường tròn (T) suy ra:

*

Do đó:

*

*

Vậy tứ giác OCFM là hình thang.

Bài 10.Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn vai trung phong O’ đường kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn trọng điểm O’ tại D.

a. Tứ giác AMcông nhân là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minc tứ giác NIDC nội tiếp.

Giải:

a. Ta có: AB⊥ MN (gt)

⇒ I là trung điểm của MN

Mà IA = IC (gt)

Suy ra tứ giác AMcông nhân là hình thoi bởi bao gồm nhì đường chéo cánh AC và MN vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b. Có góc ANB bằng 90º⇒ BN⊥ AN

Mà AN // MC (cạnh đối của hình thoi AMCN)

Suy raBN⊥ MC (1)

*

Ta lại có: góc BDC bằng 90º⇒ BD⊥ MC (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 3 điểm N, B, D thẳng sản phẩm.

Xem thêm: 10 Ngân Hàng Gửi Tiết Kiệm Có Lãi Suất Kép Ngân Hàng Vietcombank Hôm Nay

⇒ góc NDC bằng 90º nhưng mà góc NIC bằng 90º(vày AC⊥ MN)

Suy ra tứ giác NIDC nội tiếp đường tròn đường kính NC.