1). Dãy số: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là là dãy số). Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số,


Bạn đang xem: Chứng minh dãy số bị chặn

*

*

*

*

*

bởi và gọi là số hạng tổng quát của dãy số đó. Người ta cũng thường viết dãy số dưới dạng khai triển:
Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên( m tùy ý thuộc N*) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng ( m số hạng:
gọi là số hạng cuối.

3). Các cách cho một dãy số:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy với

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay quy nạp):

Cho số hạng thứ nhất ( hoặc một vài số hạng đầu).

Với
( hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).

Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

Ví dụ: Cho đường tròn

6). Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu . Tính chất tăng, giảm của một dãy số được gọi chung là tính chất đơn điệu của dãy số đó.

7). Dãy số bị chặn trên: được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
.

9). Dãy số bị chặn: được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát theo n

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu có dạng
thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn .

Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số ( chẳng hạn tính
), từ đó dự đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n.

VÍ DỤ

Bạn đang xem: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

Ví dụ 1: Cho dãy số

Ví dụ 2: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát theo n của các dãy số sau: a). b).

LỜI GIẢI

a).

Ta có:


Vậy đúng với Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Dãy số được xác định bằng cộng thức:

a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.

b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số.

LỜI GIẢI

a). Ta có:
thì là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh
. Vậy: dãy số giảm.

Ví dụ 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi sau:

a). b).

LỜI GIẢI

a).


Suy ra đúng với mọi . Vậy là dãy số giảm.

VẤN ĐỀ 3: Dãy số bị chặn.

PHƯƠNG PHÁP

1). Nếu thì:

Thu gọn , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn .

Ta cũng có thể chặn tổng
bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2). Nếu dãy số ( ) ho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình dựa vào đó chặn ( ).

Ví dụ 1: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số :

a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.

b). Tìm công thức truy hồi.

c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.

LỜI GIẢI

a).Ta có:


LỜI GIẢI

Ta sẽ chứng minh


Xem thêm: Giải Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn, Toán 10 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

với

a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.

b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

LỜI GIẢI

a). Ta có:


Từ (*) và (**) suy ra Dãy số bị chặn.

Câu 6: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát theo n của các dãy số sau: