DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI+ Sử dụng những hệ thức lượng giác cơ phiên bản.+ Sử dụng đặc thù của quý giá lượng giác.+ Sử dụng các hằng đẳng thức lưu niệm.

2. CÁC VÍ DỤlấy một ví dụ 1: Chứng minc những đẳng thức sau (giả sử những biểu thức sau đều phải có nghĩa).a) $sin ^4x + cos ^4x$ $ = 1 – 2sin ^2x.cos ^2x.$b) $frac1 + cot x1 – cot x = fracchảy x + 1 ã x – 1.$c) $fraccos x + sin xcos ^3x$ $ = chảy ^3x + ã ^2x + an x + 1.$

a) $sin ^4x + cos ^4x$ $ = sin ^4x + cos ^4x$ $ + 2sin ^2xcos ^2x$ $ – 2sin ^2xcos ^2x.$$ = left( sin ^2x + cos ^2x ight)^2$ $ – 2sin ^2xcos ^2x.$$ = 1 – 2sin ^2xcos ^2x.$b) $frac1 + cot x1 – cot x$ $ = frac1 + frac1chảy x1 – frac1 ung x$ $ = fracfrac an x + 1 ung xfracchảy x – 1 ung x$ $ = frac ung x + 1 an x – 1.$c) $fraccos x + sin xcos ^3x$ $ = frac1cos ^2x + fracsin xcos ^3x$ $ = chảy ^2x + 1 + chảy xleft( ã ^2x + 1 ight).$$ = chảy ^3x + ung ^2x + chảy x + 1.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:$fracsin ^3fracB2cos left( fracA + C2 ight)$ $ + fraccos ^3fracB2sin left( fracA + C2 ight)$ $ – fraccos (A + C)sin B.chảy B = 2.$

Vì $A + B + C = 180^0$ nên:$VT = fracsin ^3fracB2cos left( frac180^0 – B2 ight)$ $ + fraccos ^3fracB2sin left( frac180^0 – B2 ight)$ $ – fraccos left( 180^0 – B ight)sin B. an B.$$ = fracsin ^3fracB2sin fracB2 + fraccos ^3fracB2cos fracB2$ $ – frac – cos Bsin B. ã B$ $ = sin ^2fracB2 + cos ^2fracB2 + 1$ $ = 2 = VPhường.$Suy ra điều đề nghị minh chứng.

lấy một ví dụ 3: Đơn giản những biểu thức sau (mang sử các biểu thức sau đều sở hữu nghĩa):a) $A = sin left( 90^0 – x ight)$ $ + cos left( 180^0 – x ight)$ $ + sin ^2xleft( 1 + ung ^2x ight)$ $ – chảy ^2x.$b) $B = frac1sin x.sqrt frac11 + cos x + frac11 – cos x – sqrt 2 .$

a) $A = cos x – cos x$ $ + sin ^2x.frac1cos ^2x$ $ – chảy ^2x = 0.$b) $B = frac1sin x cdot sqrt frac1 – cos x + 1 + cos x(1 – cos x)(1 + cos x) – sqrt 2 .$$ = frac1sin x.sqrt frac21 – cos ^2x – sqrt 2 $ $ = frac1sin x.sqrt frac2sin ^2x – sqrt 2 .$$ = sqrt 2 left( frac1sin ^2x – 1 ight)$ $ = sqrt 2 cot ^2x.$

lấy ví dụ như 4: Chứng minch biểu thức sau ko nhờ vào vào $x.$$Phường. = sqrt sin ^4x + 6cos ^2x + 3cos ^4x $ $ + sqrt cos ^4x + 6sin ^2x + 3sin ^4x .$

$P = sqrt left( 1 – cos ^2x ight)^2 + 6cos ^2x + 3cos ^4x $ $ + sqrt left( 1 – sin ^2x ight)^2 + 6sin ^2x + 3sin ^4x .$$ = sqrt 4cos ^4x + 4cos ^2x + 1 $ $ + sqrt 4sin ^4x + 4sin ^2x + 1 .$$ = 2cos ^2x + 1 + 2sin ^2x + 1.$$ = 3.$Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬPBài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử những biểu thức sau đều phải sở hữu nghĩa):a) $ ã ^2x – sin ^2x = an ^2x.sin ^2x.$b) $sin ^6x + cos ^6x = 1 – 3sin ^2x.cos ^2x.$c) $frac ung ^3xsin ^2x – frac1sin xcos x + fraccot ^3xcos ^2x$ $ = an ^3x + cot ^3x.$d) $sin ^2x – chảy ^2x$ $ = an ^6xleft( cos ^2x – cot ^2x ight).$e) $fracchảy ^2a – chảy ^2b ung ^2a. ung ^2b$ $ = fracsin ^2a – sin ^2bsin ^2a.sin ^2b.$

a) $VT = fracsin ^2xcos ^2x – sin ^2x$ $ = sin ^2xleft( 1 + chảy ^2x ight) – sin ^2x$ $ = VP..$b) $sin ^6x + cos ^6x$ $ = left( sin ^2x + cos ^2x ight)^3$ $ – 3sin ^2x.cos ^2xleft( sin ^2x + cos ^2x ight)$ $ = 1 – 3sin ^2x.cos ^2x.$c) $VT = ung ^3xleft( cot ^2x + 1 ight)$ $ – ã xleft( cot ^2x + 1 ight)$ $ + cot ^3xleft( ung ^2x + 1 ight)$ $ = ã x + an ^3x – cot x$ $ – ã x + cot x + cot ^3x = VP..$d) $VP = an ^6xcos ^2x – ung ^6xcot ^2x$ $ = ung ^4xsin ^2x – ã ^4x$ $ = ung ^4x.cos ^2x$ $ = chảy ^2x.sin ^2x$ $ = an ^2x – sin ^2x = VT$ (do câu a).e) $VT = frac1 ã ^2b – frac1chảy ^2a$ $ = cot ^2b – cot ^2a$ $ = frac1sin ^2b – frac1sin ^2a = VP..$

Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (trả sử các biểu thức sau đều phải có nghĩa):a) $A = frac1cos ^2x$ $ – ung ^2left( 180^0 – x ight)$ $ – cos ^2left( 180^0 – x ight).$b) $B = fraccos ^2x – sin ^2xcot ^2x – ung ^2x – cos ^2x.$c) $C = fracsin ^3a + cos ^3acos ^2a + sin a(sin a – cos a).$d) $D = sqrt frac1 + sin a1 – sin a + sqrt frac1 – sin a1 + sin a .$

a) $A = an ^2x + 1$ $ – chảy ^2x – cos ^2x$ $ = sin ^2x.$b) $B = fraccos ^2x – sin ^2xfrac1sin ^2x – 1 – frac1cos ^2x + 1$ $ – cos ^2x$ $ = cos ^2xsin ^2x – cos ^2x$ $ = – cos ^4x.$c) $C = $ $frac(sin a + cos a)left( sin ^2a – sin acos a + cos ^2a ight)sin ^2a – sin acos a + cos ^2a$ $ = sin a + cos a.$d) $D^2 = $ $frac1 + sin a1 – sin a + frac1 – sin a1 + sin a + 2$ $ = frac(1 + sin a)^2 + (1 – sin a)^21 – sin ^2a + 2$ $ = frac2 + 2sin ^2acos ^2a + 2$ $ = frac4cos ^2a.$Suy ra $D = frac2cos a.$

Bài 3: Chứng minch biểu thức sau không dựa vào vào $altrộn $ (giả sử những biểu thức sau đều có nghĩa):a) $2left( sin ^6altrộn + cos ^6altrộn ight)$ $ – 3left( sin ^4altrộn + cos ^4altrộn ight).$b) $cot ^230^0left( sin ^8alpha – cos ^8alpha ight)$ $ + 4cos 60^0left( cos ^6alpha – sin ^6alpha ight)$ $ – sin ^6left( 90^0 – altrộn ight)left( ung ^2altrộn – 1 ight)^3.$c) $left( sin ^4x + cos ^4x – 1 ight)$$left( ung ^2x + cot ^2x + 2 ight).$d) $fracsin ^4x + 3cos ^4x – 1sin ^6x + cos ^6x + 3cos ^4x – 1.$

a) $2left( sin ^6altrộn + cos ^6altrộn ight)$ $ – 3left( sin ^4altrộn + cos ^4altrộn ight).$$ = 2left( 1 – 3sin ^2x.cos ^2x ight)$ $ – 3left( 1 – 2sin ^2x.cos ^2x ight) = – 1.$b) $cot ^230^0left( sin ^8alpha – cos ^8altrộn ight)$ $ + 4cos 60^0left( cos ^6altrộn – sin ^6alpha ight)$ $ – sin ^6left( 90^0 – alpha ight)left( chảy ^2alpha – 1 ight)^3.$$ = 3left( sin ^2alpha – cos ^2alpha ight)left( sin ^4altrộn + cos ^4alpha ight)$ $ – 2left( sin ^2altrộn – cos ^2altrộn ight)$$left( sin ^4altrộn + sin ^2alpha cos ^2altrộn + cos ^4alpha ight)$ $ – left( sin ^2alpha – cos ^2altrộn ight)^3.$$ = left( sin ^2altrộn – cos ^2alpha ight)^3$ $ – left( sin ^2alpha – cos ^2alpha ight)^3 = 0.$c) $left( sin ^4x + cos ^4x – 1 ight)$$left( chảy ^2x + cot ^2x + 2 ight)$ $ = – 2.$d) $fracsin ^4x + 3cos ^4x – 1sin ^6x + cos ^6x + 3cos ^4x – 1$ $ = frac23.$