Giới hạn của hàm số là phần kỹ năng đặc biệt vào lịch trình Toán 11 với là dạng bài liên tục mở ra trong những đề chất vấn. Trong nội dung bài viết tiếp sau đây, hanvietfoundation.org sẽ giúp đỡ các em tổng thích hợp lý thuyết, các phương pháp tính giới hạn hàm số thuộc những bài tập áp dụng và lời giải cụ thể để từ bỏ đó ôn tập công dụng nhé!



1. Lý thuyết giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng vào toán thù học tập nhằm chỉ giá trị Khi trở nên của một hàm số hoặc một hàng số Khi tiến dần tới một giá trị xác minh.

Bạn đang xem: Cách tính giới hạn hàm số

Giới hạn của hàm số là định nghĩa cơ phiên bản trong nghành nghề giải tích và vi tích phân. Đây là tư tưởng gồm tương quan quan trọng mang đến hàm số Khi tất cả phát triển thành tiến tới một cực hiếm khẳng định như thế nào kia.

Ta nói theo cách khác hàm hàm số gồm giới hạn L trên a lúc f(x) tiến càng sát L khi x tiến càng ngay gần a.

Ký hiệu Toán thù học: $undersetx ightarrow 1limf(x)=L$

Ví dụ: $undersetx ightarrow 2lim x^2=4$ vì chưng $x^2$ nhấn những quý hiếm siêu ngay sát 4 lúc x tiến mang lại 2.

Xem thêm: Bộ Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 11 Có Đáp Án, Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 11

1.2. Giới hạn của hàm số ở 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) cùng khoảng chừng K chứa điểm $x_0$. Hàm f(x) xác minh trên K hoặc K ∖ $x_0$

Ta nói y = f(x) có số lượng giới hạn là L Lúc x tiến dần dần cho tới $x_0$ đối với hàng $(x_n)$ bất kể, $x_n ightarrow x_0$ ta có $f(x_n) ightarrow L$

Ký hiệu Toán thù học:

$undersetx ightarrow x_0limf(x)=L$ tốt f(x) = L khi

$x ightarrow$x0

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f(x) khẳng định bên trên $(a;+infty)$

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L lúc x tiến dần dần cho tới $+infty$ đối với dãy $(x_n)$ bất cứ, $x_n>a$ cùng $x_n ightarrow +infty$ ta có $f(x_n) ightarrow L$

Ký hiệu Tân oán học:

$undersetx ightarrow +inftylim f(x)=L$

hay f(x) = L lúc $x ightarrow +infty$

b, Cho y = f(x) xác định bên trên $(-infty;a)$

Ta nói y = f(x) có số lượng giới hạn là L Lúc x tiến dần dần tới $-infty$ so với hàng $(x_n)$ bất kể, $x_n

Ký hiệu Toán học:

$undersetx ightarrow -inftylim$f(x) = L

tuyệt f(x) = L Lúc $x ightarrow -infty$

Nhận xét: Hàm số f(x) tất cả giới hạn là $+infty$ khi còn chỉ lúc hàm số -f(x) bao gồm số lượng giới hạn là $-infty$

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một trong những thực. Biểu thức $undersetx ightarrow alimf(x)=L$ tức là f(x) vẫn càng sát L nếu như x đầy đủ ngay sát a. Ta nói số lượng giới hạn của f(x) khi xđạt gần mang lại a là L. Chụ ý rằng điều này cũng đúng vào khi $f(a) eq L$ và lúc f(x) ko xác định tại a.

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1:

a, Giả sử $undersetx ightarrow x_0limf(x)=L$ với $undersetx ightarrow x_0limg(x)=M$. lúc đó:

$undersetx ightarrow x_0lim=L+M$

$undersetx ightarrow x_0lim=L-M$

$undersetx ightarrow x_0lim=L.M$

$undersetx ightarrow x_0lim=fracLM(M eq 0)$

b, Nếu $f(x)geq 0$cùng $undersetx ightarrow x_0limf(x)=L$ thì: $Lgeq 0$ cùng $undersetx ightarrow x_0limsqrtf(x)=sqrtL$

Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng đề nghị kiếm tìm giới hạn cùng với $x eq x_0$

Định lý 2:

$undersetx ightarrow x_0limf(x)=L$ lúc còn chỉ lúc $undersetx ightarrow x_0^-limf(x)=undersetx ightarrow x_0^+limf(x)=L$

3. Một số giới hạn đặc biệt

a, $undersetx ightarrow x_0limx=x_0$

b, $undersetx ightarrow x_0limc=c$

c, $undersetx ightarrow pm inftylimc=c$

d, $undersetx ightarrow pm inftylimfraccx=0$ với c là hằng số

e, $undersetx ightarrow+inftylimx^k=+infty$ với k là số nguyên dương

f, $undersetx ightarrow+inftylimx^k=-infty$ nếu như nhỏng k là số lẻ

g, $undersetx ightarrow -inftylimx^k=+infty$nếu như nhỏng k là số chẵn

4. Các dạng toán thù tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm số lượng giới hạn khẳng định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương thơm pháp giải: gửi giới hạn của hàm số về số lượng giới hạn của hàng số nhằm tính

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn của các hàm số dưới đây bởi định nghĩa:

a, $A=undersetx ightarrow 1lim(3x^2+x+1)$

b, $B=undersetx ightarrow 1limfracx^3-1x-1$

c, $undersetx ightarrow 2limfracsqrtx+2-2x-2$

d, $undersetx ightarrow +inftylimfrac3x+2x-1$

Lời giải:

4.2. Tìm số lượng giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng bên trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số gồm dạng $A=undersetx ightarrow x_0limfracf(x)g(x)$cùng với $f(x_0)=g(x_0)=0$

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) bao gồm nghiệm $x=x_0$ , ta sẽ sở hữu được $f(x)=(x-x_0).f_1(x)$Nếu hàm f(x) và g(x) là nhiều thức thì ta đã đối chiếu nlỗi sau:

$f(x)=(x-x_0).f_1(x); g(x)=(x-x_0).g_1(x)$

Khi đó $A=undersetx ightarrow x_0limfracf_1(x)g_1(x)$, ta liên tiếp quy trình nhỏng trên trường hợp số lượng giới hạn này còn có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm những giới hạn dưới đây:

a, $A=undersetx ightarrow 1limfracsqrt2x-1-xx^2-1$

b, $B=undersetx ightarrow 2limfracsqrt<3>3x+2-xsqrt<2>3x-2-2$

Lời giải:

a, $A=undersetx ightarrow 1limfracsqrt2x-1-xx^2-1$

Ta có: $undersetx ightarrow 1limfrac-(x-1)(x-1)(x+1)(sqrt2x-1+x)=0$

$undersetx ightarrow 1limfrac2x-1-x^2(x-1)(x+1)(sqrt2x-1+x)=undersetx ightarrow 1limfrac-(x-1)(x+1)(sqrt2x-1+x)=0$

b, $B=undersetx ightarrow 2limfracsqrt<3>3x+2-xsqrt<2>3x-2-2$

Ta có: $undersetx ightarrow 2limfrac(3x+2-x^3)(sqrt3x-2+2)3(x-2)(sqrt<3>(3x+2)^2+2sqrt<3>(3x+)+4=-1$

4.3. Tìm số lượng giới hạn hàm số dạng cực kì trừ vô cùng

Phương thơm pháp giải: Ta tra cứu các đổi thay hàm số về dạng $infty/infty$

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a, $A=undersetx ightarrow +inftylimx(sqrtx^2+9-x)$

b, $B=undersetx ightarrow +inftylimsqrtx^2-x+1-x$

Lời giải:

a,

$A=undersetx ightarrow +inftylimx(sqrtx^2+9-x)=undersetx ightarrow +inftylimx.fracx^2+9-x^2sqrtx^2+9+x=undersetx ightarrow +inftylimfrac9sqrt1+frac9x^2+1=frac92$

b,

$B=undersetx ightarrow +inftylimsqrtx^2-x+1-x=undersetx ightarrow +inftylimfrac-x+1sqrtx^2-x+1+x=-frac12$

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $infty/infty$tiếp nối sử dụng cách thức giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm giới hạn: $undersetx ightarrow -inftylimfrac1x(sqrt4x^2+1-x)$

Lời giải:

5. Một số bài xích tập về số lượng giới hạn của hàm số trường đoản cú cơ phiên bản mang lại nâng cấp (bao gồm lời giải)

Bài 1: Tìm những giới hạn của hàm số sau đây bởi giới hạn:

$undersetx ightarrow 1limfracx+1x-2$

$undersetx ightarrow 1limfrac3x+22x-1$

$undersetx ightarrow 0limfracsqrtx+4-22x$

$undersetx ightarrow 1^+limfrac4x-3x-1$

Lời giải:

Bài 2: Chứng minc những hàm số sau đây không có giới hạn:

$f(x)=sinfrac1x$ Khi x tiến cho tới 0

f(x) = cosx lúc x tiến cho tới $+infty$

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh $f(x)=cosfrac1x^2$ lúc x tiến tới 0 không tồn tại giới hạn

Lời giải:

Bài 4: Tìm số lượng giới hạn sau: $A=undersetx ightarrow inftylim(sqrt<3>x^3-3x^2+sqrtx^2-2x)$

Lời giải:

Bài 5: Tìm giới hạn sau: $N=undersetx ightarrow +inftylimsqrt4x^2-x+1+2x$

Lời giải:

$N=undersetx ightarrow +inftylimfracx+12x-sqrt4x^2-x+1=frac14$

Bài 6: Tìm giới hạn: $M=undersetx ightarrow -inftylimx-sqrt<3>1-x^3$

Lời giải:

$M=undersetx ightarrow -inftylimx-sqrt<3>1-x^3=-infty$

Bài 7: Tìm giới hạn: $P=undersetx ightarrow -inftylim sqrt4x^2+1-x$

Lời giải: $P=undersetx ightarrow -inftylim sqrt4x^2+1-x=undersetx ightarrow -inftylim frac3x^2+1sqrt4x^2+1+x=-infty$

Bài 8: Tính giới hạn: $undersetx ightarrow 1^+lim(x^3-1)sqrtfracxx^2-1$

Lời giải:

Bài 9: Tính:$undersetx ightarrow -infty lim(x+1)sqrtfrac2x+1x^3+x^2+1$

Lời giải:

Bài 10: Tính $undersetx ightarrow +infty lim(1-2x)sqrtfrac3x-11x^3-1$

Lời giải:

Trên đây là toàn bộ kim chỉ nan giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được tư tưởng, những định lý, số lượng giới hạn quan trọng cũng giống như nắm được các dạng bài xích tập cùng bí quyết tra cứu giới hạn của hàm số. Đừng quên truy vấn hanvietfoundation.org để học thêm nhiều bài học kinh nghiệm có lợi khác nhé!