I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦUBài tân oán 1 : So sánh 2 lũy vượt $32^10$ với $16^15$Bài tân oán 2 : So sánh 2 lũy quá $2^100$ cùng $3^70$Bài toán 3 : So sánh 2 lũy thừa $2^2017 - 5^999$Đối cùng với bài tân oán số 1 thì tôi đã hiểu phương pháp có tác dụng rồi, cơ số 32 với cơ số 16 mọi rất có thể mang về cơ số 2, vậy $32^10 = left( 2^5 ight)^10 = 2^5.10 = 2^50$ cùng $16^15 = left( 2^4 ight)^15 = 2^4.5 = 2^60$ . Vậy $32^10 Đối cùng với bài bác số 2 quan yếu đem lại cùng cơ số 2 tuyệt 3 do vậy tôi cần sử dụng sự hỗ trợ của dòng sản phẩm tính Casio, tôi vẫn tùy chỉnh cấu hình hiệu $2^100 - 3^70$ nếu kết quả ra một giá trị dương thì $2^100 > 3^70$ , thiệt dễ dàng đề nghị không !!


Bạn đang xem: Cách tìm số chữ số của một lũy thừa

*

Các bạn thấy đấy, laptop xung quanh được. Tôi Chịu đựng rồi !!Để so sánh 2 lũy vượt có giá trị quá to mà máy tính xách tay Casio kế bên được thì họ đề xuất thực hiện một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một cách thức đối chiếu nlỗi sau: Nếu số A có n+1 chữ số thì luôn luôn lớn hơn số B gồm n chữ số .lấy ví dụ như nlỗi số 1000 gồm 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 tất cả 3 chữ số.Vậy tôi sẽ coi $2^2107$ và $5^999$ thì lũy quá nào bao gồm số chữ số nhiều hơn thế nữa là kết thúc.Để làm được Việc này tôi sẽ áp dụng máy tính Casio tuy vậy với tài năng cao cấp hơn, các bạn quan tiền cạnh bên nhé:Trước hết là cùng với $2^2017$
*

Vậy $5^999$ bao gồm 699 chữ sốRõ ràng 608> 699 xuất xắc $2^2017 Bình luận qui định ra đời lệnh tính nhanh hao Casio
Ta thấy quy hiện tượng $10^1$ có 2 chữ số, $10^2$ gồm 3 chữ số … $10^k$ sẽ có được k+1 chữ sốVậy ý muốn biết 1 lũy quá A tất cả bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt $A = 10^k$ . Để kiếm tìm k ta đã logarit cơ số 10 cả 2 vế khi ấy k=logA . Vậy số chữ số đang là $k + 1 = left< log A ight> + 1$Lệnh Int dùng để đưa phần nguyên của một số.
II. VÍ DỤ MINH HỌACâu 1
Đầu năm năm nhâm thìn, Curtis Cooper với các cộng sự team nghiên cứu và phân tích Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa ra mắt số ngulặng tố lớn số 1 tại thời điểm đó. Số nghulặng tố này là một số trong những có mức giá trị bằng $M = 2^74207281 - 1$ . Hỏi số M gồm từng nào chữ số.A. 2233862 B. 22338618 C. 22338617 D. 2233863
CASIOTa tất cả $M = 2^742007281 - 1 Leftrightarrow M + 1 = 2^742007281$Đặt $M + 1 = 10^k$ $ Leftrightarrow 2^742007281 = 10^k$ $ Leftrightarrow k = log 2^74207281$ cùng số chữ số là $left< k ight> + 1$
*

CASIOĐặt $2^30 = 10^k Leftrightarrow k = log 2^30$ . Số chữ số của $2^30$ trong hệ thập phân là $left< k ight> + 1$
Vậy số chữ số của $2^30$ vào hệ thập phân là 10Đặt $30^2 = 900 = 2^h Leftrightarrow h = log _2900$ . Số chữ số của $30^2$ trong hệ nhị phân là $left< h ight> + 1$
Vậy số chữ số của $30^2$ vào hệ nhị phân là 10 $ Rightarrow m + n = 10 + 10 = 20$$ Rightarrow $ Đáp số và đúng là BCâu 3:
Cho tổng $M = C_2020^0 + C_2020^1 + C_2020^2 + ... + C_2020^2020$ Khi viết M dưới dạng một số vào hệ thập phân thì số này có từng nào chữ số:A. 608 B. 609 C. 610 D. 611
CASIOTheo knhì triển nhị thức Newtơn thì $left( 1 + 1 ight)^2020 = C_2020^0 + C_2020^1 + C_2020^2 + ... + C_2020^2020$Vậy $M = 2^2020$Đặt $2^2020 = 10^k Leftrightarrow k = log 2^2020$ . Số chữ số của M là $left< k ight> + 1$
Vậy số chữ số của M là 609. Ta chọn giải đáp BBình luận:
Bài toán này là sự phối kết hợp hay thân kiến thức lũy thừa và kiến thức về nhị thức Newtơn. Để có tác dụng được bài toán này bằng Casio thì cần có một số kiến thức cơ bản về tổng Nhị thức NewtơnDạng toán thù tổng nhị thức Newtơn được tác giả nắm tắt như sauCho knhị triển tổng $left( a + b ight)^n = C_n^0a^nb^0 + C_n^1a^n - 1b^1 + C_n^2a^n - 2b^2 + ... + C_n^na^0b^n$ cùng knhì triển tổng $left( a - b ight)^n = C_n^0a^nb^0 - C_n^1a^n - 1b^1 + C_n^2a^n - 2b^2 - C_n^3a^n - 3b^3... + C_n^na^0b^n$Để quan liêu cạnh bên xem tổng nhị thức Newton có dạng là gì ta quan liêu liền kề 3 thông số : Thông số nón n thì quan gần cạnh tổ hợp $C_n^1$ ví như xuất hiện $C_2020^1$ thì rõ ràng n= 2020 . Thông số a sẽ có số nón giảm dần dần, thông số kỹ thuật b sẽ có số nón tăng dầnÁp dụng $C_1999^05^1999 - C_1999^15^19982 + C_1999^25^19972^2 - C_1999^35^19962^3 + .... - C_1999^19992^1999$ thì rõ ràng n=1999 , số nón của a bớt dần dần vậy a=5 , số nón của b tăng mạnh vậy b=2 . Ta thu gọn gàng knhì triển thành $left( 5 - 2 ight)^1999 = 3^1999$Câu 4: So sánh nào sau đó là đúngA. $5^7123 > 7^5864$ B. $5^7123 C. $3^400 D. $4^1700 > 9^1200$
CASIOĐặt $5^7123 = 10^k$ $ Leftrightarrow k = log 5^7123 = 7123log 5 approx 4978.76 > 4978$
Vậy $5^7123 > 10^4978$Tương tự đặt ta đặt $7^5864 = 10^h Leftrightarrow h = log 7^5864 approx 4955.65
Vậy $7^5864 Tóm lại $5^7123 > 10^4978 > 10^4566 > 7^5864$Bình luận
Bài toán này nếu như ta thực hiện 1 phép Casio sinh sống quý phái phải chăng là nhập hiệu $5^7123 - 7^5864$ rồi xét vệt thì máy tính xách tay không làm được bởi thừa qua phạm vi $10^100$
Vậy để đối chiếu ta 2 đại lượng lũy quá bậc cao M và N ta đã đem lại dạng $M > 10^k > 10^h > N$Tuy nhiên vấn đề đối chiếu 2 lũy vượt áp dụng Casio tại mức độ dễ dàng và đơn giản cũng hay mở ra trong đề thi của những ngôi trường, vậy ta cũng cần phải bài viết liên quan một chút ít. Các e xem làm việc ví dụ số 4 sau đây.Câu 5
Kết trái nào sau đây đúng :A. $left( fracpi 6 ight)^17 B. $left( fracpi 3 ight)^17 > left( fracpi 3 ight)^18$ C. $left( frace3 ight)^17 > left( frace3 ight)^18$ D. $left( frace2 ight)^17 > left( frace2 ight)^18$
Cách 1 : CASIOĐể kiểm soát tính Đúng – Sai của giải đáp A ta đã cấu hình thiết lập hiệu $left( fracpi 6 ight)^17 - left( fracpi 6 ight)^18$. Vậy bài so sánh gửi về bài xích bất phương trình $left( fracpi 6 ight)^17 - left( fracpi 6 ight)^18 Rồi nhập hiệu bên trên vào máy tính xách tay Casio
Rồi ta nhấn nút ít = nếu tác dụng ra 1 quý hiếm âm thì đáp án A đúng còn ra quý giá dương thì lời giải A sai
Máy tính Casio báo công dụng ra 1 quý hiếm dương vậy cụ thể giải đáp A sai.Tương từ bỏ vậy đối với giải đáp B
Đây là một trong những đại lượng dương vậy $left( frace3 ight)^17 - left( frace3 ight)^18 > 0$ giỏi $left( frace3 ight)^17 > left( frace3 ight)^18$Tới phía trên ta thấy rõ ràng đáp số C là đáp số đúng mực !!Cách 2 : Tự luận
Ta có cơ số $fracpi 6 approx 0.52 in left( 0;1 ight)$ với số mũ 17 left( fracpi 6 ight)^18$ $ Rightarrow $ Đáp án A saiTa có cơ số $fracpi 3 approx 1.04 > 1$ với số mũ 17Ta có cơ số $frace3 approx 0.906 in left( 0;1 ight)$ với số mũ 17 left( frace3 ight)^18$ $ Rightarrow $ Đáp số C saiBình luậnĐể đối chiếu 2 lũy vượt cùng cơ số $a^u$ và $a^v$ ta áp dụng đặc điểm sau :Nếu cơ số a>1 cùng u>v thì $a^u > a^v$ (Vấn đề này dẫn đến giải đáp B sai)Nếu cơ số a nằm trong khoảng chừng (0;1) với u>v thì $a^u Câu 6 (Bài tân oán phát hành nhằm ngăn chặn lại Casio)Khẳng định như thế nào dưới đây không đúng ?A. $2^sqrt 2 + 1 > 2^3$ B. $left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 > left( sqrt 2 - 1 ight)^2017$C. $left( 1 - fracsqrt 2 2 ight)^2016 D. $left( sqrt 3 - 1 ight)^2017 > left( sqrt 3 - 1 ight)^2016$
Cách 1: CASIOĐể chất vấn tính Đúng – Sai của câu trả lời A ta đang thiết lập cấu hình hiệu $2^sqrt 2 + 1 - 2^3$. Vậy bài bác đối chiếu đưa về bài bác bất phương thơm trình $2^sqrt 2 + 1 - 2^3 > 0$Rồi nhập hiệu trên vào laptop Casio
Rồi ta nhận nút = nếu tác dụng ra 1 giá trị dương thì đáp án A đúng còn ra cực hiếm âm thì câu trả lời A sai
Đáp số máy tính xách tay báo là 0 điều này là vô lý do cơ số không giống 0 và số nón khác biệt buộc $left( sqrt 2 - 1 ight)^2016$ và $left( sqrt 2 - 1 ight)^2017$ cần khác nhau.vì vậy trong trường phù hợp này thì máy tính xách tay chịu !!!Cách 2: Tự luận
Ngoài phương pháp so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số được tác giả trình bày nghỉ ngơi lấy ví dụ 3 thì tại ví dụ như 4 này tác giả xin trình làng 1 cách thức thứ 2 cực kỳ hiệu quả mang tên là Phương thơm pháp đặt nhân tử thông thường.Đáp án B : $left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 > left( sqrt 2 - 1 ight)^2017 Leftrightarrow left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 - left( sqrt 2 - 1 ight)^2017 > 0$$ Leftrightarrow left( sqrt 2 - 1 ight)^2016left< 1 - left( sqrt 2 - 1 ight) ight> > 0 Leftrightarrow left( 2 - sqrt 2 ight)left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 > 0$Dễ thấy $2 - sqrt 2 > 0$ và $left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 > 0$ vậy $left( 2 - sqrt 2 ight)left( sqrt 2 - 1 ight)^2016 > 0$ Đáp số B đúngBình luận :Theo thuật toán thù của Casio thì những đại lượng dương nhưng mà nhỏ rộng $10^ - 100$ hoặc to hơn $ - 10^ - 100$ thì sẽ tiến hành hiển thị là ố 0 .Đây là sơ hở để các ngôi trường ra bài toán thù đối chiếu lũy vượt cản lại CasioCâu 7 Nhà toán thù học tập Pháp Pierre de Fermat là bạn đầu tiên đưa ra quan niệm số Fecmat $F_n = 2^2^n + 1$ là một số nghuim tố với n là số dương không âm. Hãy tra cứu số chữ số của $F_13$ vào hệ nhị phânA.1243 B. 1234 C. 2452 D. 2467
CasioSố $F_13$ gồm dạng $2^2^13 + 1$ . Ta thấy số $2^2^13 + 1$ cấp thiết tận cùng là 9 nên số chữ số của $2^2^13 + 1$ cũng chính là số chữ số của $2^2^13$ vào hệ thập phân.Đặt $2^2^13 = 10^k Leftrightarrow k = 2^13log left( 2 ight)$ . Số chữ số của $2^2^13$ vào hệ thập phân là $left< k ight> + 1$
→Đáp số và đúng là DCâu 8
: Cho tổng $M = C_1642^03^1642 + C_1642^13^16412 + C_1642^33^16402^2 + ... + C_1642^16422^1642$ lúc viết M bên dưới dạng 1 số ít trong hệ thập phân thì số này còn có bao nhiêu chữ số:A. 608 B. 1148 C. 2610 D. 911*Chú ý : 1642 là năm sinh ở trong phòng tân oán học, đồ dùng lý học tập, thiên văn học, thần học tập, giả kyên thuật lớn lao người Anh Isaac Newton.
CasioRút ít gọn knhì triển nhị thức Newton $M = left( 3 + 2 ight)^1642 = 5^1642$Đặt $5^1642 = 10^k Leftrightarrow k = 1642log left( 5 ight)$ . Số chữ số của $5^1642$ vào hệ thập phân là $left< k ight> + 1$
→Đáp số và đúng là BCâu 10
: So sánh nào sau đây là đúngA. $11^2003 > 9^2500$ B. $23^693 C. $29^445 D. $29^445 > 31^523$
Số chữ số của $9^2500$ nhiều hơn nữa số chữ số của $11^2003$ nên $9^2500 > 11^2003$ $ Rightarrow $ A saiSố chữ số của $23^693$ với $25^600$ vào hệ thập phân theo thứ tự là :
Số chữ số của $23^693$ nhiều hơn thế số chữ số của $25^600$ cần $23^693 > 25^600$ $ Rightarrow $ B saiSố chữ số của $29^445$ cùng $31^523$ vào hệ thập phân theo thứ tự là :
Số chữ số của $29^445$nhỏ tuổi hơn số chữ số của $31^523$ buộc phải $29^445 Câu 11
: Cho a,b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 vừa lòng a+b=10 cùng $a^12b^2016$ là một số trong những tự nhiên và thoải mái có 973 chữ số. Cặp a,b vừa lòng bài bác toán thù là :A. (5;5) B. (6;4) C. (8;2) D. (7;3)
CasioTa có $a + b = 10 Rightarrow a = 10 - b$ . lúc đó $a^12b^2016 = left( 10 - b ight)^12b^2016$Đặt $left( 10 - b ight)^12b^2016 = 10^k$ $ Leftrightarrow k = log left< left( 10 - b ight)^12b^2016 ight> = 12log left( 10 - b ight) + 2016log b$Số chữ số của $left( 10 - b ight)^12b^2016$ là $left< k ight> + 1$Với đáp số A : a=b=5 . Số chữ số của $5^125^2016$ là 1418 khác 973 $ Rightarrow $ Đáp số A sai
Với đáp số B : a=6, b=4 . Số chữ số của $6^124^2016$ là 1224 khác 973 $ Rightarrow $ Đáp số B sai


Xem thêm: Tìm Cực Trị Của Hàm Số Lượng Giác, Giải Toán 12 Bài 2, Tìm Cực Trị Của Hàm Số

Tương tự với a=7, b=3 . Số chữ số của $7^127^2016$ là 973 $ Rightarrow $ Đáp số C bao gồm xác
Tác giảChủ đề tương tựDiễn đànBình luậnNgày
*
*
*
*
*