Bài viết lý giải pmùi hương pháp giải những dạng pmùi hương trình lượng giác hay gặp mặt trong chương trình Đại số cùng Giải tích 11 chương thơm 1.

Bạn đang xem: Các dạng phương trình lượng giác và cách giải

1. Pmùi hương trình bậc nhị so với một hàm con số giácDạng 1: $asin ^2x + bsin x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Đặt $t = sin x$, điều kiện $|t| le 1$, gửi pmùi hương trình $asin ^2x + bsin x + c = 0$ về phương trình bậc nhị theo $t$, giải kiếm tìm $t$, chăm chú kết hợp với ĐK của $t$ rồi giải kiếm tìm $x.$• Dạng 2: $acos ^2x + bcos x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Đặt $t = cos x$, điều kiện $|t| le 1$, chuyển phương trình $acos ^2x + bcos x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, giải tìm kiếm $t$, để ý kết hợp với ĐK của $t$ rồi giải tìm kiếm $x.$• Dạng 3: $a ã ^2x + b an x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Điều kiện $cos x e 0$ $ Leftrightarrow x e fracpi 2 + kpi $ $left( k in Z ight).$Đặt $t = an x$ $left( t in R ight)$, gửi pmùi hương trình $achảy ^2x + b an x + c = 0$ về phương thơm trình bậc nhị theo $t$, để ý lúc tìm kiếm được nghiệm $x$ đề nghị cầm cố vào điều kiện xem thỏa mãn hay là không.• Dạng 4: $acot ^2x + bcot x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Điều kiện $sin x e 0$ $ Leftrightarrow x e kpi $ $left( k in Z ight).$Đặt $t = cot x$ $(t in R)$, chuyển pmùi hương trình $acot ^2x + bcot x + c = 0$ về phương trình bậc nhị theo ẩn $t$, giải tìm $t$ rồi search $x$, chăm chú Khi tìm kiếm được nghiệm buộc phải cố vào điều kiện xem thoả mãn hay không.

lấy ví dụ như 1: Giải phương thơm trình $2cos ^2x – 3cos x + 1 = 0.$

$2cos ^2x – 3cos x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 1\cos x = frac12endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = k2pi \x = pm fracpi 3 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương thơm trình tất cả 3 họ nghiệm $left< eginarraylx = k2pi \x = pm fracpi 3 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Ví dụ 2: Giải phương thơm trình $cot x – an x + 4sin 2x = frac2sin 2x.$

Điều kiện: $sin 2x e 0$ $ Leftrightarrow x e frackpi 2$ $ left( k in Z ight).$Ta có: $cot x – an x + 4sin 2x = frac2sin 2x$ $ Leftrightarrow fraccos xsin x – fracsin xcos x + 4sin 2x = frac2sin 2x$$ Leftrightarrow fraccos ^2x – sin ^2xsin x.cos x + 4sin 2x = frac2sin 2x$ $ Leftrightarrow frac2cos 2xsin 2x + 4sin 2x = frac2sin 2x$$ Leftrightarrow cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarraylcos 2x = 1\cos 2x = – frac12endarray ight.$Ta thấy $cos 2x = 1$ không tán thành điều kiện. Do đó:PT $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow 2x = ± frac2pi 3 + k2pi $ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $left( k in Z ight).$Vậy phương thơm trình tất cả 2 họ nghiệm $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $left( k in Z ight).$

2. Phương thơm trình hàng đầu đối với $sin x$ và $cos x$Pmùi hương trình lượng giác dạng $asin x + bcos x = c$, trong đó $a, b, c in R$ và $a^2 + b^2 e 0$ được Điện thoại tư vấn là pmùi hương trình bậc nhất đối với $sin x$ và $cos x$.

Cách giải: Ta có thể lựa lựa chọn 1 trong 2 giải pháp sau:Cách 1: Thực hiện theo các bước:• Bước 1: Kiểm tra:+ Nếu $a^2 + b^2 + Nếu $a^2 + b^2 ge c^2$ khi đó nhằm search nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2.• Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình $asin x + bcos x = c$ cho $sqrt a^2 + b^2 $, ta được:$fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x$ $ = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Vì $left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1$ đề xuất trường thọ góc $alpha $ sao cho $fracasqrt a^2 + b^2 = cos altrộn $ và $fracbsqrt a^2 + b^2 = sin altrộn .$lúc đó phương thơm trình $asin x + bcos x = c$ có dạng $sin x.cos alpha + sin alpha .cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Đây là pmùi hương trình lượng giác cơ bạn dạng của $sin$ cơ mà ta đã hiểu phương pháp giải.

Cách 2: Thực hiện tại theo những bước:• Cách 1: Với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pi + k2pi $ $(k in Z).$ thử vào phương trình $asin x + bcos x = c$ xem tất cả là nghiệm hay không?• Bước 2: Với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow x e pi + k2pi $ $(k in Z).$Đặt $t = chảy fracx2$ suy ra $sin x = frac2t1 + t^2$, $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$lúc đó pmùi hương trình $asin x + bcos x = c$ tất cả dạng: $afrac2t1 + t^2 + bfrac1 – t^21 + t^2 = c$ $ Leftrightarrow (c + b)t^2 – 2at + c – b = 0.$• Cách 3: Giải pmùi hương trình bậc nhì ẩn $t$ sau đó giải kiếm tìm $x.$

Dạng sệt biệt:• $sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – fracpi 4 + kpi $ $(k in Z).$• $sin x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k in Z).$

ví dụ như 3: Giải pmùi hương trình $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2.$

Cách 1: Thực hiện phnghiền biến hóa đổi:PT $ Leftrightarrow (frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 )sin x + (frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 )cos x = frac1sqrt 2 .$Đặt $frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 = cos altrộn $, $frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 = sin altrộn .$Pmùi hương trình đang cho sẽ được viết thành $sin x.cos altrộn + sin altrộn .cos x = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + altrộn ) = sin fracpi 4$$ Leftrightarrow left< eginarraylx + alpha = fracpi 4 + k2pi \x + altrộn = pi – fracpi 4 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 – altrộn + k2pi \x = frac3pi 4 – altrộn + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy pmùi hương trình bao gồm nhì bọn họ nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 – altrộn + k2pi \x = frac3pi 4 – alpha + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Cách 2: Biến đổi pmùi hương trình về dạng:$(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + fracpi 4) – sqrt 6 cos (x + fracpi 4) = 2$$ Leftrightarrow frac12sin (x + fracpi 4) – fracsqrt 3 2cos (x + fracpi 4) = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + fracpi 4)cos fracpi 3 – cos (x + fracpi 4)sin fracpi 3 = frac1sqrt 2 $$ Leftrightarrow sin (x + fracpi 4 – fracpi 3) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx – fracpi 12 = fracpi 4 + k2pi \x – fracpi 12 = pi – fracpi 4 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 3 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 3 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng $asin P(x) + bcos Q(x)$ $ = csin Q(x) + dcos P(x)$ trong số ấy $a, b, c, d ∈ R$ thoả mãn $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 > 0$ cùng $P(x)$, $Q(x)$ không đồng thời là những hàm hằng số. Bằng phép phân chia cho $sqrt a^2 + b^2 $ ta có: PT $ Leftrightarrow sin left< P(x) + altrộn ight> = sin left< Q(x) + eta ight>$ (hoặc $cos left< P(x) + altrộn ight> = cos left< Q(x) + eta ight>$).

lấy ví dụ như 4: Giải pmùi hương trình: $cos 7x – sin 5x = sqrt 3 (cos 5x – sin 7x).$

PT ⇔ $cos 7x + sqrt 3 sin 7x = sqrt 3 cos 5x + sin 5x $$ Leftrightarrow frac12cos 7x + fracsqrt 3 2sin 7x$ $ = fracsqrt 3 2cos 5x + frac12sin 5x$$ Leftrightarrow cos fracpi 3cos 7x + sin fracpi 3sin 7x$ $ = cos fracpi 6cos 5x + sin fracpi 6sin 5x$$ Leftrightarrow cos (7x – fracpi 3) = cos (5x – fracpi 6)$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 12 + kpi \x = fracpi 24 + frackpi 6endarray ight.$ $(k ∈ Z).$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm $ left< eginarraylx = fracpi 12 + kpi \x = fracpi 24 + frackpi 6endarray ight.$ $(k ∈ Z).$3. Phương trình thuần tốt nhất bậc nhị đối với $sin x$ và $cos x$Phương thơm trình thuần độc nhất bậc nhì đối với $sin x$ và $cos x$ là phương thơm trình gồm dạng $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$, trong các số ấy $a, b, c, d ∈ R.$

Cách giải:Cách 1: Chia từng vế của phương thơm trình đến một trong các tía hạng tử $sin ^2x$, $cos ^2x$ hoặc $sin x.cos x$. Chẳng hạn trường hợp phân tách cho $cos ^2x$ ta tuân theo công việc sau:• Bước 1: Kiểm tra: $cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi $ $left( k in Z ight)$ xem nó liệu có phải là nghiệm của phương thơm trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ xuất xắc không?• Bước 2: Với $cos x e 0$, phân chia cả nhị vế cho $cos ^2x$ cơ hội kia phương trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ trsống thành: $a ung ^2x + bchảy x + c = d(1 + an ^2x)$ $ Leftrightarrow (a – d) ung ^2x + bchảy x + c – d = 0.$Đây là pmùi hương trình bậc nhì theo $tan$ đang trình diễn cách giải tại vị trí 1.

Cách 2: Dùng phương pháp hạ bậc $sin ^2x = frac1 – cos 2x2$, $cos ^2x = frac1 + cos 2x2$, $sin x.cos x = fracsin 2x2$ đưa phương thơm trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ về phương thơm trình $bsin 2x + (c – a)cos 2x = d – c – a.$Đây là pmùi hương trình hàng đầu đối với $sin$ với $cos$ vẫn trình bày cách giải ở phần 2.

Mnghỉ ngơi rộng: Đối cùng với phương thơm trình quý phái bậc $n (n ≥ 3) $ với dạng tổng quát: $A(sin ^nx, cos ^nx, sin ^kxcos ^hx) = 0$ vào đó $k + h = n$, $k, h, n in N$, khi đó ta cũng tuân theo 2 bước:• Bước 1: Kiểm tra coi $cos x = 0$ liệu có phải là nghiệm của phương trình tuyệt không?• Bước 2: Nếu $cos x e 0$, phân chia cả nhị vế của phương trình trên mang lại $cos ^nx$ ta sẽ được phương thơm trình bậc $n$ theo $ ung $. Giải phương thơm trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Xem thêm: Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp: Công Thức Tổ Hợp Chỉnh Hợp, Tổ Hợp

lấy một ví dụ 5: Giải phương trình $2sqrt 3 cos ^2x + 6sin x.cos x = 3 + sqrt 3 .$

Cách 1:+ Thử với $cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi $ $left( k in Z ight)$ vào phương thơm trình đã mang lại, ta có: $0 = 3 + sqrt 3 $ (vô lý). Vậy $x = fracpi 2 + k2pi $ $left( k in Z ight)$ không là nghiệm của phương trình.+ Với $cos x e 0$, phân chia cả hai vế của phương trình cho $cos ^2x$, ta được: $2sqrt 3 + 6chảy x = (3 + sqrt 3 )(1 + an ^2x)$ $ Leftrightarrow (3 + sqrt 3 ) ã ^2x – 6 ã x + 3 – sqrt 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarrayl an x = 1\chảy x = frac3 – sqrt 3 3 + sqrt 3 = ã alphaendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = alpha + kpiendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương thơm trình gồm nhì chúng ta nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = alpha + kpiendarray ight.left( k in Z ight).$

Cách 2:PT $ Leftrightarrow sqrt 3 (1 + cos 2x) + 3sin 2x = 3 + sqrt 3 $ $ Leftrightarrow cos 2x + sqrt 3 sin 2x = sqrt 3 $$ Leftrightarrow frac12cos 2x + fracsqrt 3 2sin 2x = fracsqrt 3 2$ $ Leftrightarrow cos (2x – fracpi 3) = fracsqrt 3 2$$ Leftrightarrow left< eginarrayl2x – fracpi 3 = fracpi 6 + k2pi \2x – fracpi 3 = – fracpi 6 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = fracpi 12 + kpiendarray ight. left( k in Z ight).$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = fracpi 12 + kpiendarray ight.left( k in Z ight).$

lấy một ví dụ 6: Giải phương trình $frac1 – ã x1 + ung x = 1 + sin 2x .$

Điều kiện $left{ eginarraylcos x e 0\ ã x = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx e fracpi 2 + kpi \x e – fracpi 4 + kpiendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Biến đổi pmùi hương trình $frac1 – an x1 + ã x = 1 + sin 2x$ về dạng:$fraccos x – sin xcos x + sin x = left( cos x + sin x ight)^2$$ Leftrightarrow cos x – sin x = left( cos x + sin x ight)^3$Chia cả nhị vế của phương trình $cos x – sin x = left( _cos x + sin x ight)^3$ cho $cos ^3x e 0$, ta được: $1 + ã ^2x – left( 1 + an ^2x ight) ã x$ $ = left( 1 + chảy x ight)^3$$ Leftrightarrow an ^3x + chảy ^2x + 2 ung x = 0$ $ Leftrightarrow left( ã ^2x + chảy x + 2 ight) ã x = 0$ $ Leftrightarrow ã x = 0$ $ Leftrightarrow x = kpi $ $left( k in Z ight)$ (pmùi hương trình $ ung ^2x + ung x + 2 = 0$ vô nghiệm).Vậy phương thơm trình có một họ nghiệm $x = kpi $ $left( k in Z ight).$

4. Pmùi hương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$Pmùi hương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$ là pmùi hương trình dạng $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$, vào đó $a, b, c in R.$

Cách giải:Cách 1: Do $(sin x + cosx)^2 = 1 + 2sin xcos x$ nên ta đặt: $t = sin x + cos x$ $ = sqrt 2 sin (x + fracpi 4)$ $ = sqrt 2 cos (fracpi 4 – x)$, điều kiện $|t| le sqrt 2 .$Suy ra $sin xcos x = fract^2 – 12$ cùng phương thơm trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được viết lại: $bt^2 + 2at – (b + 2c) = 0.$

Cách 2: Đặt $t = fracpi 4 – x$, ta có:$sin x + cos x = sqrt 2 cos (fracpi 4 – x)$ $ = sqrt 2 cos t.$$sin xcos x = frac12sin 2x$ $ = frac12cos (fracpi 2 – 2x)$ $ = frac12cos 2t = cos ^2t – frac12.$Phương thơm trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ đổi mới $bcos ^2x + sqrt 2 cos x – fracb2 + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đang trình diễn phương pháp giải ở phần 1.

Crúc ý: Phương thơm trình lượng giác dạng $a(sin x – cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = sin x – cos x.$

lấy một ví dụ 7: Giải phương thơm trình $sin x + cos x – 2sin xcos x + 1 = 0.$

Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = fract^2 – 12.$Phương thơm trình sẽ đến trlàm việc thành: $t – 2(fract^2 – 12) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylt = – 1\t = 2endarray ight.$ (các loại $t = 2$ vì chưng ko thỏa mãn điều kiện).Với $t = – 1$ $⇔ sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + fracpi 4) = – 1$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = – fracpi 2 + k2pi \x = pi + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương thơm trình có 2 họ nghiệm $ left< eginarraylx = – fracpi 2 + k2pi \x = pi + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

5. Phương trình lượng giác tất cả hổn hợp chứa những biểu thức đối xứng $ an x$ và $cotx$Phương thơm trình lượng giác hỗn hợp cất các biểu thức đối xứng $ an x$ và $cotx$ là pmùi hương trình tất cả dạng $p_ksumlimits_k = 1^n (chảy ^kx + alpha ^kcot ^kx) $ $ + q( ã x pm altrộn cot x) + r = 0$ $(alpha > 0; k ge 2).$

Cách giải:• Bước 1: Đặt ẩn phụ $left< eginarraylt = chảy x + alpha cot x left( le 2sqrt 2 ight)\t = ã x – alpha cot x left( t in R ight)endarray ight.$ gửi phương trình sẽ mang đến về dạng đại số $F(t) = 0.$• Cách 2: Giải phương trình $F(t) = 0$ với nhiều loại đều nghiệm ko hợp ý ĐK của bài bác toán thù.• Cách 3: Với nghiệm $t$ kiếm được ở bước 2 cầm vào bước 1 để kiếm tìm $x.$

lấy một ví dụ 8: Giải phương trình: $ ung ^3x – cot ^3x – 3( ung ^2x + cot ^2x)$ $ – 3(chảy x – cot x) + 10 = 0.$

Phương trình $ Leftrightarrow ã ^3x – cot ^3x – 3 ung x.cot x(tanx – cotx)$ $ – 3( ung ^2x + cot ^2x – 2) + 4 = 0$$ Leftrightarrow ( ung x – cot x)^3$ $ – 3( ã x – cot x) + 4 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarrayl an x – cot x = – 1\ ã x – cot x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylcot 2x = frac12 = cot 2altrộn \cot 2x = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = altrộn + kfracpi 2\x = – fracpi 8 + kfracpi 2endarray ight. left( k in Z ight).$Vậy pmùi hương trình gồm nhì bọn họ nghiệm $left< eginarraylx = altrộn + kfracpi 2\x = – fracpi 8 + kfracpi 2endarray ight. left( k in Z ight)$ với $cot 2alpha = frac12.$