Bạn đã biết có bao nhiêu dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong đề thi toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia không? Bạn đã thành thạo các dạng đó chưa? Nếu chưa hay cùng theo dõi bài viết sau


1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số

*

b) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K

*

c) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

*

Chú ý:

*

2. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu

Dạng 1: Đọc bảng biến thiên

*

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau

*

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 1; + ∞)B. ( 0; 2)C. ( – 1; 0)D. ( – 2; – 1)

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; – 1) và ( 0; 1)Do ( 2; – 1) ⊂ ( – ∞; – 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( – 2; – 1)

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau

*

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. ( 1; + ∞)B. ( – ∞; + ∞)C. ( 3; 4)D. ( 2; +∞)

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; 3) và ( 3; + ∞)

Mà ( 3; 4) ⊂ ( 3; +∞) nên trên khoảng ( 3; 4) hàm số đồng biến

Chọn C.

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số (không chứa tham số)

*

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’=\frac{2}{{{(1-x)}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$và $(1;+\infty )$

Câu 2. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(5;+\infty )$

B. $\left( 2;3 \right)$

C. $\left( -\infty ;1 \right)$

D. $\left( 1;5 \right)$

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$.

$y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trên khoảng$\left( 1;5 \right),\text{ }y"Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

*

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{x-m+2}{x+1}$ giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

A. $m1$.

B. $m\le 1$.

C. $mDạng 4. Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

*

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{mx – 4}}{{x – m}}$( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; +∞)A. 5B. 4C. 3D. 2

Lời giải

*

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx – 9}}{{x – m}}$ ( m là tham số thực). Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số đãcho đồng biến trên khoảng ( 1; +∞)

A. – 3

B. – 2

C. – 5

D. 4

Lời giải

*

3. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Câu 1. Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 2. Cho hàm số$y=\frac{3x-1}{-4+2x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$và $\left( 2;+\infty \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,-2 \right)$ và$\left( -2;+\infty \right)$.

Câu 3. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A. $h(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4$.

B. $g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+1$.

C. $f(x)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x$.

D. $k(x)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x$.

Câu 4. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. $(-\infty ;-4)$và $(2;+\infty )$.

B. $\left( -4;2 \right)$.

C. $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty \right)$.

Xem thêm: Cách Lập Bảng Biến Thiên Của Hàm Số Bậc Hai Hay, Chi Tiết, Cách Lập Bảng Biến Thiên Hàm Số

D. $\left( -4;-1 \right)$ và $\left( -1;2 \right)$.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ giảm trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$?