Số phức và các dạng tân oán về số phức là một trong những Một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng và tương đối khó phát âm, một trong những phần nguim nhân là bọn họ đang quá quen cùng với số thực Một trong những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập số phức


Vì vậy, sống bài viết này hanvietfoundation.org đã hệ thống lại các dạng toán về số phức mặt khác chỉ dẫn giải pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước lúc hợp tác vào giải những dạng bài xích tập số phức, chúng ta cũng cần được nhớ những văn bản về kim chỉ nan số phức.

I. Lý tngày tiết về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập thích hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Biểu diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , (được trình diễn bởi điểm M(a,b) xuất xắc bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phnghiền cộng, trừ số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 màn trình diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- Cho 2 số phức: , khi đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phnghiền phân chia số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- Cho số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Cnạp năng lượng bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn uống bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn uống bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương thơm trình bậc 2 của số phức

- Cho phương trình bậc 2 số phức gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức mang lại trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương thơm trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Crúc ý: Nếu 

*
 là 1 trong nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong những acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức bên dưới dạng lượng giác

- Cho z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Msinh hoạt rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả n cnạp năng lượng bậc n là:

 

*
*

II. Các dạng toán về Số phức cùng giải pháp giải

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương thơm pháp giải: Vận dụng các cách làm Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa với tính chất phnghiền toán của số phức.

- Chụ ý: khi tính toán các số thức rất có thể áp dụng hằng đẳng thức nhỏng số thực nlỗi bình pmùi hương của tổng, lập pmùi hương của tổng tuyệt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: Cho số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp cho số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° ví dụ như 3: mang lại 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- Từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các đặc thù của số phức, các phxay biến hóa nhằm xử lý bài xích tân oán.

° ví dụ như 1: Tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 gắng x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề nghị kiếm tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° lấy ví dụ như 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, kiếm tìm đối số, nghịch hòn đảo module, phối hợp của số phức và màn biểu diễn hình học của số phức

* Pmùi hương pháp giải: Dạng này chia thành các loại bài xích toán thù liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã đến gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đang đến bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° lấy ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đang cho gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức sẽ mang đến có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học tập của số phức

- Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° ví dụ như 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (mẫu vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi vì điểm làm sao trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học của số phức z=3-4i

° lấy một ví dụ 2: Số phức làm sao tất cả trình diễn hình học là toạ độ điểm M nlỗi hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

- Cách giải: Biến thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- Có

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° lấy ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° lấy ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° ví dụ như 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương thơm trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- Lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

*

° lấy ví dụ như : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm những số thực Khi 2 số phức cân nhau.

- Cách giải: Sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm những số ngulặng x và y làm thế nào cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương thơm trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập vừa lòng những điểm) vừa ý điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z toại nguyện về độ lâu năm (module) khi đó ta áp dụng công thức 

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° lấy một ví dụ : Tìm tập phù hợp điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 gồm phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập phù hợp điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 buôn bán kính 
*

b) hotline N là điểm màn trình diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 tuy vậy song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường trực tiếp qua N với tuy vậy song cùng với Ox, đó là con đường trực tiếp y = -3.

c) hotline I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường tròn trung khu I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minc các biểu thức về số phức

* Phương thơm pháp giải: Vận dụng các phxay toán về số phức (cộng, trừ, nhân, phân tách, số phức liên hợp, mô-đun).

° lấy ví dụ như 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° ví dụ như 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VPhường (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- Mặt khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- Từ (1) cùng (2) bao gồm VT=VP. (đpcm)

 Dạng 6: Căn uống bậc 2 của số phức với pmùi hương trình bậc 2

* Phương thơm pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được Call là cnạp năng lượng bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

- Lưu ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta gồm 2 ngôi trường vừa lòng dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương thơm trình bậc 2 cùng với hệ số phức

- Là phương trình gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong những số ấy a, b, c là những số phức a≠0

- Cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 pmùi hương trình có nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° lấy ví dụ như 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt bên trên có 2 nghiệm 

*
.

° ví dụ như 2: Trên tập số phức, tìm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- Call m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài xích toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta tất cả hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° ví dụ như 3: Giải phương thơm trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 đề nghị phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình vẫn cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương thơm trình quy về phương thơm trình bậc 2

* Pmùi hương pháp giải: Đặt ẩn prúc và mang về pmùi hương trình bậc 2 tính Δ.

° lấy ví dụ 1: Giải phương thơm trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- Nhận thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương thơm trình nên chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trsinh hoạt thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- Với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- Với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy pmùi hương trình (*) bao gồm 4 nghiệm: 

*

° lấy một ví dụ 2: Giải các pmùi hương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trsinh hoạt thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) Nhận thấy z=0 không hẳn là nghiệm của phương trình nên phân tách 2 vế pt mang lại z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trngơi nghỉ thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Pmùi hương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn nguyên cho một loạt cách làm quan trọng đặc biệt khác ví như phép luỹ thừa, knhì căn uống số phức, công thức Euler.

- Công thức 1: 

*

- Công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 cùng góc φ được Call là argument của z ký hiệu là arg(z). trái lại với phnghiền luỹ quá ta bao gồm phnghiền knhị căn.

° ví dụ như 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ bỏ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° ví dụ như 2: hotline z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương thơm trình vẫn đến có 2 nghiệm: 

*

- Mặt khác 

*

*

*

*

° lấy ví dụ như 3: Giải phương thơm trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang lại trlàm việc thành: 

*

 

*
 (*)

- Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình bắt buộc nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 bởi vì z≠-1 nên không nhận cực hiếm k=3.

- Vậy phương thơm trình vẫn đến gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức và kỹ năng tìm kiếm cực trị

° lấy một ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z bao gồm modul nhỏ dại tuyệt nhất.

Xem thêm: Xét Tính Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số Trên Khoảng, Xét Tính Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vì vậy các điểm M màn trình diễn số phức z vừa lòng bài xích toán ở trên tuyến đường tròn vai trung phong I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt quý hiếm nhỏ dại nhất lúc còn chỉ lúc điểm M∈(C) cùng sát O nhất. lúc đó M là giao điểm của (C) cùng mặt đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O hơn và 

*