Đây là những đẳng thức cùng bất đẳng thức rất gần gũi khôn xiết quan trọng mang đến vấn đề chứngminh những bất đẳng thức lượng giác vào tam giác cũng giống như trong những áp dụng củabọn chúng. Ta cũng hoàn toàn có thể coi đây như thể 1 phần kỹ năng cửa hàng bắt buộc cho quátrình học tập toán của họ.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức trong tam giác

I. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ STại TRONG TAM GIÁC• $fracasin A = fracbsin B =fraccsin C = 2R$• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$ $eginarray b^2 = c^2 + a^2 - 2cacos B \ c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C \ endarray $• $a = bcos C + ccos B$ $eginarray b = ccos A + acos C \ c = acos B + bcos A \ endarray $• $S = frac12ah_a = frac12bh_b =frac12ch_c$$eginarray = frac12bcsin A = frac12casin B = frac12absinC \ = fracabc4R = 2R^2sin Asin Bsin C = truyền thông quảng cáo \ = left( p - a ight)r_a = left( p - b ight)r_b =left( p - c ight)r_c \ = sqrt pleft( p - a ight)left( p - b ight)left( p -c ight) \ endarray $• $m_a^2 = frac2b^2 + 2c^2 -a^24$ $eginarray m_b^2 = frac2c^2 + 2a^2 - b^24 \ m_c^2 = frac2a^2 + 2b^2 - c^24 \ endarray $• $l_a^2 = frac2bccos fracA2b + c$ $eginarray l_b^2 = frac2cacos fracB2c + a \ l_c^2 = frac2abcos fracC2a + b \ endarray $• $r = left( p - a ight)chảy fracA2 = left( p -b ight) an fracB2 = left( p - c ight)chảy fracC2 = 4RsinfracA2sin fracB2sin fracC2$• $fraca - ba + b = frac an left( fracA -B2 ight) an left( fracA + B2 ight)$$fracb - cb + c = frac ã left( fracB - C2 ight) ung left( fracB + C2 ight)$$fracc - ac + a = fracchảy left( fracC - A2 ight) ung left( fracC + A2 ight)$• $cot A = fracb^2 + c^2 - a^24S$ $eginarray cot B = fracc^2 + a^2 - b^24S \ cot C = fraca^2 + b^2 - c^24S \ endarray $$cot A + cot B + cot C = fraca^2 + b^2 + c^24S$• $sin fracA2 = sqrt fracleft( p - b ight)left( p - c ight)bc $$eginarray sin fracB2 = sqrt fracleft( p - c ight)left( p - a ight)ca \ sin fracC2 = sqrt fracleft( p - a ight)left( p - b ight)ab \ endarray $• $cos fracA2 = sqrt fracpleft( p - a ight)bc $$eginarray cos fracB2 = sqrt fracpleft( p - b ight)ca \ cos fracC2 = sqrt fracpleft( p - c ight)ab \ endarray $• $ an fracA2 = sqrt fracleft( p - b ight)left( p - c ight)pleft( p - a ight) $ $eginarray chảy fracB2 = sqrt fracleft( p - c ight)left( p - a ight)pleft( p - b ight) \ ung fracC2 = sqrt fracleft( p - a ight)left( p - b ight)pleft( p - c ight) \ endarray $• $sin A + sin B + sin C = 4cos fracA2cosfracB2cos fracC2 = fracpR$ $eginarray sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin Asin Bsin C \ sin ^2A + sin ^2B + sin ^2C = 2left( 1 + cos Acos Bcos C ight) \ cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin fracA2sin fracB2sinfracC2 = 1 + fracrR \ cos ^2A + cos ^2B + cos ^2C = 1 - 2cos Acos Bcos C \ an A + ã B + ung C = ã A ã B ã C \ cot fracA2 + cot fracB2 + cot fracC2 = cotfracA2cot fracB2cot fracC2 \ ung fracA2 ung fracB2 + ung fracB2 ã fracC2 + ung fracC2chảy fracA2 = 1 \ cot Acot B + cot Bcot C + cot Ccot A = 1 \ endarray $II. CÁC BĐT CƠ STại TRONG TAM GIÁC• $eginarrayleft| a - b ight|

left| b - c ight| left| c - a ight| endarray $• $a leqslant b Leftrightarrow A leqslant B$ $eginarray b leqslant c Leftrightarrow B leqslant C \ c leqslant a Leftrightarrow C leqslant A \ endarray $• $cos A + cos B + cos C leqslant frac32$ $eginarray sin A + sin B + sin C leqslant frac3sqrt 3 2 \ an A + an B + an C geqslant 3sqrt 3 \ cot A + cot B + cot C geqslant sqrt 3 \ endarray $• $cos fracA2 + cos fracB2 + cos fracC2leqslant frac3sqrt 3 2$ $eginarray sin fracA2 + sin fracB2 + sin fracC2 leqslantfrac32 \ chảy fracA2 + an fracB2 + ung fracC2 geqslant sqrt3 \ cot fracA2 + cot fracB2 + cot fracC2 geqslant 3sqrt3 \ endarray $• $cos ^2A + cos ^2B + cos ^2C geqslantfrac34$ $sin ^2A + sin ^2B + sin ^2C leqslant frac94$ $ ã ^2A + ã ^2B + an^2C geqslant 9$$cot ^2A + cot ^2B + cot ^2C geqslant 1$• $cos ^2fracA2 + cos ^2fracB2 + cos^2fracC2 leqslant frac94$ $eginarray sin ^2fracA2 + sin ^2fracB2 + sin ^2fracC2geqslant frac34 \ ung ^2fracA2 + ã ^2fracB2 + ã ^2fracC2geqslant 1 \ cot ^2fracA2 + cot ^2fracB2 + cot ^2fracC2geqslant 9 \ endarray $• $cos Acos Bcos C leqslant frac18$ $eginarray sin Asin Bsin C leqslant frac3sqrt 3 8 \ ung Achảy Bchảy C geqslant 3sqrt 3 \ cot Acot Bcot C leqslant frac13sqrt 3 \ endarray $• $cos fracA2cos fracB2cos fracC2 leqslantfrac3sqrt 3 8$ $eginarray sin fracA2sin fracB2sin fracC2 leqslantfrac18 \ ã fracA2 ung fracB2 ung fracC2 leqslantfrac13sqrt 3 \ cot fracA2cot fracB2cot fracC2 geqslant 3sqrt3 \ endarray $• $cos 2A + cos 2B + cos 2C geqslant - frac32$ $sin 2A + sin 2B + sin 2C leqslant frac3sqrt 3 2$• $frac1cos fracA2 + frac1cosfracB2 + frac1cos fracC2 geqslant 2sqrt 3 $$frac1sin fracA2 + frac1sin fracB2 + frac1sinfracC2 geqslant 2sqrt 3 $III. BÀI TẬPhường RÈN LUYỆNBài 1.Cho $Delta ABC.$ Đường phân giác của các góc A,B,C giảm mặt đường tròn nước ngoài tiếp lầnlượt tại $A_1,B_1,C_1$. CMR: $S_ABC leqslantS_A_1B_1C_1$Lời giải:Gọi R là bán kính mặt đường tròn nước ngoài tiếp thì nó cũng là bán kính con đường tròn ngoạitiếp $Delta A_1B_1C_1$.Bất đẳng thức bắt buộc minh chứng tương đương với: $2R^2sin Asin Bsin C leqslant 2R^2sin A_1sin B_1sinC_1$ (1)Do $A_1 = fracB + C2,B_2 = fracC + A2,C_1 =fracA + B2$ nên:$eginarray (1) Leftrightarrow sin Asin Bsin C leqslant sin fracB +C2sin fracC + A2sin fracA + B2 \ Leftrightarrow 8sin fracA2sin fracB2sinfracC2c extosfracA2c extosfracB2c extosfracC2leqslant c extosfracA2c extosfracB2c extosfracC2(2)\ endarray $Vì $c extosfracA2c extosfracB2c extosfracC2 >0$ nên(2) $ Leftrightarrow sin fracA2sin fracB2sin fracC2leqslant frac18 Rightarrow $đpcentimet.Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow Delta ABC$ hầu như.Bài 2.CMR trong số đông tam giác ta phần đông có:$sin extAsin B + sin Bsin C + sin Csin A leqslant frac74 +4sin fracA2sin fracB2sin fracC2$Lời giải:Ta tất cả : $cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin fracA2sin fracB2sinfracC2$Bất đẳng thức sẽ đến tương tự với:$sin Asin B + sin Bsin C + sin Csin A leqslant frac34 + cos A +c extosB + cos C(1)$Mà:$eginarray cos A = sin Bsin C - cos Bcos C \ cos B = sin Csin A - cos Ccos A \ cos C = sin Bsin A - cos Acos B \ endarray $Nên (1) $ Leftrightarrow cos Acos B + cos Bcos C + cos CcosA leqslant frac34$ (2)Thật vậy rõ ràng ta có:$cos Acos b + cos Bcos C + cos Ccos A leqslant frac13(cos A +cos B + cos C)^2$ (3)Mặt không giống ta có: $cos A + cos B + cos C leqslant frac32$$ Rightarrow (3)$ đúng $ Rightarrow (2)$$ Rightarrow $ đpcm.Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow Delta ABC$ các.Bài 3.CMR với đa số $Delta ABC$ bất cứ ta có: $a^2 + b^2 + c^2geqslant 4sqrt 3 S + (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$Lời giải:Bất đẳng thức đề nghị chứng tỏ tương đương với:$2(ab + bc + ac) geqslant 4sqrt 3 S + a^2 + b^2 + c^2$ (1)Ta có:$eginarray cot A = fracb^2 + c^2 - a^24S \ cot B = fracc^2 + a^2 - b^24S \ cot C = fraca^2 + b^2 - c^24S \ endarray $Khi đó: $eginarray (1) Leftrightarrow 4Sleft( frac1sin A + frac1sin B +frac1sin C ight) geqslant 4sqrt 3 S + 4S(cot A + cot B + cotC) \ Leftrightarrow left( frac1sin A - cot A ight) +left( frac1sin B - cot B ight) + left( frac1sin C -cot C ight) geqslant sqrt 3 \ Leftrightarrow chảy fracA2 + chảy fracB2 + anfracC2 geqslant sqrt 3 \ endarray $$ Rightarrow $ đpcentimet.Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ còn lúc tam giác ABC đầy đủ. Bài 4.Cho $Delta ABC$ bất kể. CMR: $R + r geqslant sqrt<4>3sqrt S $Lời giải:Ta có: $eginarray R = fracabc4S = frac2R^3sin Asin Bsin C8 = sqrtfracS2sin Asin Bsin C \ r = fracSp = fracSR(sin A + sin B + sin C) = fracsqrt8 sqrt 2sin Asin Bsin C sin A + sin B + sin C \ endarray $Vậy:$R + r = frac12sqrt fracS2sin AsinBsin C +frac12sqrt fracS2sin Asin Bsin C + fracsqrt 8 sqrt2sin Asin Bsin C sin A + sin B + sin C$Theo BĐT Cô-si ta có:$fracR + r3 geqslant sqrt<3>fracSsqrt S sqrt sin Asin BsinC 8sin Asin Bsin C(sin A + sin B + sin C)$Mà:$eginarray sin A + sin B + sin C leqslant frac3sqrt 3 2 \ sin Asin Bsin C leqslant frac3sqrt 3 8 \ Rightarrow R + r geqslant sqrt<3>frac4Ssqrt S4sqrt<4>27.3sqrt 3 = sqrt<4>3sqrt S \ endarray $$ Rightarrow $ đpcm.

Xem thêm: Kiểm Tra Đại Số 10 Chương 2 Violet, Kiểm Tra Đại Số 10 Chương 2 Violet

Bài 5.Cho $ Rightarrow $ bất kỳ. CMR:$fraca^8c exto exts^2fracA2 +fracb^8c exto exts^2fracB2 +fracc^8c exto exts^2fracC2 geqslant left(fracabcsqrt 6 3R ight)^4$Lời giải:Áp dụng BCS ta có:$fraca^8c exto exts^2fracA2 +fracb^8c exto exts^2fracB2 +fracc^8c exto exts^2fracC2 geqslantfrac(a^4 + b^4 + c^4)^2c exto exts^2fracA2 +c exto exts^2fracB2 + c exto exts^2fracC2$Mà:$eginarray c exto exts^2fracA2 + c exto exts^2fracB2+ c exto exts^2fracC2 leqslant frac94 \ left( fracabc4 ight)^4 = (16S^2)^2 \ endarray $Vì cầm ta chỉ việc triệu chứng minh: $a^4 + b^4 + c^4 geqslant 16S^2$Trước hết ta có: $a^4 + b^4 + c^4 geqslant abc(a + b + c)(1)$Thật vậy:$eginarray (1) Leftrightarrow a^2(a^2 - bc) + b^2(b^2 - ca) + c^2(c^2- ab) geqslant 0 \ Leftrightarrow left< a^2 + (b + c)^2 ight>(b - c)^2+ left< b^2 + (c + a)^2 ight>(c - a)^2 + left< c^2 + (a +b)^2 ight>(a - b)^2 geqslant 0 \ endarray $(đúng)Mặt không giống ta cũng có:$16S^2 = 16p(p - a)(p - b)(p - c) = (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a -b)(2)$Từ (1),(2) thì suy ra ta đề xuất triệu chứng minh: $abc geqslant (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)(3)$Đặt :$eginarray x = a + b - c \ y = b + c - a \ z = c + a - b \ endarray $Vì a,b,c là bố cạnh của một tam giác cần x , y , z > 0Lúc đó theo BĐT Cô-si thì:$abc = frac(x + y)(y + z)(z + x)8 geqslant frac(2sqrt xy )(2sqrtyz )(2sqrt xz )8 \ = xyz = (a +b - c)(b + c - a)(c + a - b)$$ Rightarrow $ (3) đúng (đpcm)