Một số bất đẳng thức đã được chứng minc thường sử dụng để để giải những bài bác tập BĐT cơ bản với nâng cấp trong chương trình Toán thù THCS.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 8 nâng cao

Bất đẳng thức trong chương trình Toán thù THCS lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán thù tuyệt cùng khó khăn. Các bài tập chứng minc BĐT thường là bài bác cuối cùng trong các đề thi để phân loại học sinch, bài tân oán chứng minc bất đẳng thức THCS thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Bất đẳng thức THCS cơ bản với nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường dùng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với những bộ số

*
ko âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta bao gồm 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Xem thêm: Cách Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Logarit, Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Mũ

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra Lúc

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM mang đến 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: Cho là 2n số thực tùy ý lúc đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là các số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát mắng Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp nhưng mà phải chứng minch lại bằng giải pháp xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev cho hàng số sắp thứ tự, bởi vì đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử gồm quan hệ thứ tự giữa những số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này có thể chứng minch bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là những số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra lúc x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra Khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức mức độ vừa phải cộng – mức độ vừa phải điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số không âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hân oán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá chỉ trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra Khi x,y thuộc dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra Lúc cùng chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">