Bất đẳng thức Bunhiacopxki: phương pháp, cách chứng minh cùng bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm phương pháp gì, hệ trái gì với giải pháp chứng tỏ từng hệ trái thế nào thuộc các dạng bài xích toán thường găp là hầu hết phần kiến thức đặc biệt, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ lời giải qua bài viết sau đây. Quý Khách tò mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Bất đẳng thức bunhiacopxki và bài tập ứng dụng cực hay

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

quý khách vẫn xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: bí quyết, phương pháp chứng tỏ cùng bài xích tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên call chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đó là một bất đẳng thức do tía nhà toán học tự do phạt hiện cùng lời khuyên, nó có không ít vận dụng trong số lĩnh vực toán thù học tập. Ở VN, khiến cho phù hợp với công tác sách giáo khoa, trong tư liệu này họ cũng biến thành call nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, Gọi theo thương hiệu bên Tân oán học tập người Nga Bunhiacopxki.


2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xẩy ra lúc và chỉ còn khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang đến 2 cỗ số:

Với nhị cỗ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi 

*

Với quy ước ví như một số trong những làm sao kia (i = 1, 2, 3, …, n) bởi 0 thì khớp ứng bởi 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ quả 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đã đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Sư Phạm Hà Nội, Trường Thpt Chuyên Sư Phạm

  

*


Dấu “=” sảy ra lúc và chỉ khi:

  

*

3. Các dạng tuyên bố của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm những dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều yêu cầu chứng minh)

Dấu “=” xảy ra lúc còn chỉ Khi a = b = c

Bài 2: Tìm quý hiếm lớn nhất của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 lúc và chỉ còn Lúc x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài tía cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều buộc phải bệnh minh)

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ còn khi 

*
 tuyệt tam giác là tam giác đều

b. Bài rèn luyện thêm

Bài 1: Tìm cực hiếm lớn số 1 của những biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là những số thực dương tùy ý. Chứng minc rằng:

*

(gợi ý: chuyển đổi vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 với y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*