Bài viết hướng dẫn cách thức giải một vài bài bác toán chứng tỏ đẳng thức vectơ, đó là dạng toán thù hay gặp mặt trong lịch trình Hình học 10 chương thơm 1.

Bạn đang xem: Bài tập về chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10

Phương thơm pháp điệu toán:Để minh chứng một đẳng thức vectơ ta crúc ý:1) Sử dụng:+ Quy tắc $3$ điểm: $overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC $, $overrightarrow AC – overrightarrow AB = overrightarrow BC $ với tất cả $A$, $B$, $C.$+ Quy tắc hình bình hành: $overrightarrow AB + overrightarrow AD = overrightarrow AC $ với $ABCD$ là hình bình hành.+ Quy tắc trung điểm: $overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MI $ cùng với $I$ là trung điểm của $AB.$+ Quy tắc trọng tâm: $overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC = vec 0$ cùng với $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$+ Các đặc thù của những phép toán thù.2) Thực hiện tại các phnghiền thay đổi theo một trong những hướng sau:+ Biến đổi vế này thành vế tê của đẳng thức (thường thì là bắt đầu từ vế phức hợp chuyển đổi rút gọn để lấy về vế dễ dàng hơn).+ Biến thay đổi đẳng thức nên chứng minh về tương tự với cùng một đẳng thức luôn luôn đúng.+ Xuất phát từ 1 đẳng thức luôn đúng nhằm thay đổi về đẳng thức đề xuất chứng tỏ.

Bài tân oán 1: Cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Chứng minh rằng:a) $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) $overrightarrow AB – overrightarrow CD = overrightarrow AC – overrightarrow BD .$

a)Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:$VT = overrightarrow AB + overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow DB ) + (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + overrightarrow DB + overrightarrow BD $ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + vec 0$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB = VPhường.$Nhận xét: Sử dụng phương pháp giải này, ta đề nghị chú ý Lúc biến hóa những số hạng của một vế phải quyên tâm so sánh làm xuất hiện thêm những số hạng gồm sống vế bên kia. Chẳng hạn số hạng sinh hoạt vế trái là $overrightarrow AB $ nhưng vế đề nghị tất cả cất $overrightarrow AD $ cần ta viết $overrightarrow AB = overrightarrow AD + overrightarrow DB .$Cách 2: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB $ $(1)$ $ Leftrightarrow overrightarrow AB – overrightarrow AD = overrightarrow CB – overrightarrow CD $ $ Leftrightarrow overrightarrow DB = overrightarrow DB $ $(2).$Ta gồm $(2)$ luôn luôn đúng vậy $(1)$ được chứng minh.

Xem thêm: Diện Tích Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp Tứ Giác Đều Có Tất Cả Các Cạnh Bằng A

Cách 3: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow BC + overrightarrow CD + overrightarrow DA = vec 0.$Suy ra: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = – overrightarrow DA – overrightarrow BC .$Do đó: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) Ta có: $VT = overrightarrow AB – overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AC + overrightarrow CB ) – (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD + overrightarrow CB – overrightarrow CB $ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD = VP..$Tương từ bỏ ta cũng có các giải pháp chứng tỏ không giống mang lại câu b.

Bài tân oán 2: Cho tam giác $ABC$ cùng $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$a) Chứng minch rằng: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 3overrightarrow MG .$b) Tìm tập hòa hợp điểm $M$ làm thế nào để cho $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 0.$

a) Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = (overrightarrow MG + overrightarrow GA ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GB ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + vec 0$ $ = 3overrightarrow MG .$b) Vì $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec 0.$$3overrightarrow MG = vec 0$ xuất xắc $overrightarrow MG = vec 0$ cho nên $M equiv G.$Suy ra tập hợp $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec O$ là $ G .$

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ gồm $D$, $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của những cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minch rằng:a) $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF = vec 0.$b) Với các điểm $M$ ta tất cả $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$

*

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ yêu cầu $overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AD .$Suy ra $overrightarrow AD = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Tương từ $overrightarrow BE = frac12(overrightarrow BA + overrightarrow BC )$, $overrightarrow CF = frac12(overrightarrow CA + overrightarrow CB ).$Do đó: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow BA + overrightarrow BC + overrightarrow CA + overrightarrow CB )$ $ = frac12left< (overrightarrow AB + overrightarrow BA ) + (overrightarrow AC + overrightarrow CA ) + (overrightarrow BC + overrightarrow CB ) ight>$ $ = frac12(vec 0 + vec 0 + vec 0) = vec 0.$Cách khác: hotline $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó ta có:$overrightarrow AD = – frac32overrightarrow GA $, $overrightarrow BE = – frac32overrightarrow GB $, $overrightarrow CF = – frac32overrightarrow GC .$Suy ra: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = – frac32(overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = – frac32.vec 0 = vec 0.b.$b) Với đầy đủ điểm $M$ ta có:$overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MF .$$overrightarrow MB + overrightarrow MC = 2overrightarrow MD .$$overrightarrow MC + overrightarrow MA = 2overrightarrow ME .$Suy ra $2(overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC )$ $ = 2(overrightarrow MF + overrightarrow MD + overrightarrow ME ).$Vậy $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$

Bài toán thù 4: Cho tam giác $ABC$ và $G$, $H$, $O$ thứu tự là giữa trung tâm, trực trọng tâm, trung tâm con đường tròn nước ngoài tiếp của tam giác. điện thoại tư vấn $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Chứng minc rằng:a) $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = 3overrightarrow OG .$

*

a) Ta có: $widehat ABD = widehat ACD = 1v$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn).Suy ra $BD ot AB.$Mặc khác $CH ot AB$ (vị $H$ là trực tâm).Do vậy $BD//CH.$Tương tự ta tất cả $CD//BH.$Từ đó suy ra $HBDC$ là hình bình hành.Do đó $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA + (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA + overrightarrow HD = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA – (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA – overrightarrow HD $ $ = overrightarrow DA = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = (overrightarrow OH + overrightarrow HA ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + (overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + 2overrightarrow HO $ $ = 3overrightarrow OH – 2overrightarrow OH = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 3overrightarrow OG .$Bài toán thù 5: Cho tứ đọng giác $ABCD.$ Call $E$, $F$ theo lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $O$ là trung điểm của $EF.$ Chứng minch rằng:a) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = overrightarrow 0 .$b) $overrightarrow MA + overrightarrow MB + mathop overrightarrow MC limits^. + overrightarrow MD = 4overrightarrow MO .$

a) Ta tất cả $VT = (overrightarrow OA + overrightarrow OB ) + (overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 2overrightarrow OE + 2overrightarrow OF $ $ = 2(overrightarrow OE + overrightarrow OF )$ $ = overrightarrow 0 = VP.$b) Ta có: $VT = (overrightarrow MO + overrightarrow OA ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OB )$ $ + (overrightarrow MO + overrightarrow OC ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + overrightarrow 0 $ $ = 4overrightarrow MO = VP.$

Bài toán 6: Cho tam giác $ABC$ và tam giác $A_1B_1C_1.$ call $G$, $G_1$ theo lần lượt là giữa trung tâm tam giác $ABC$ với tam giác $A_1B_1C_1.$ Chứng minh rằng: $overrightarrow AA_1 + overrightarrow BB_1 + overrightarrow CC_1 = 3widehat GG_1.$

Ta gồm $VT = left( overrightarrow AG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1A_1 ight)$ $ + left( overrightarrow BG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1B_1 ight)$ $ + left( overrightarrow CG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + (Aoverrightarrow G + overrightarrow BG + overrightarrow CG )$ $ + left( overrightarrow G_1A_1 + overrightarrow G_1B_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 $ $ = 3overrightarrow GG_1 = VP.$

Bài toán 7: Cho tam giác $ABC.$ Hotline $M$ là trung điểm của $AB$ với $N$ là điểm bên trên cạnh $AC$ làm thế nào để cho $NC = 2NA.$ Điện thoại tư vấn $K$ là trung điểm của $MN.$a) Chứng minh rằng: $overrightarrow AK = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) điện thoại tư vấn $D$ là trung điểm của $BC.$ Chứng minh rằng: $overrightarrow KD = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$

*

a) Ta có: $overrightarrow AK = frac12(overrightarrow AM + overrightarrow AN )$ (vì chưng $K$ là trung điểm của $MN$) $ = frac12left( frac12overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC ight)$ $ = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) Ta có: $overrightarrow KD = frac12(overrightarrow KB + overrightarrow KC )$ $ = frac12(overrightarrow KA + overrightarrow AB + overrightarrow KA + overrightarrow AC )$ $ = overrightarrow KA + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – overrightarrow AK + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – frac14overrightarrow AB – frac16overrightarrow AC + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$

Bài toán thù 8: Cho hai điểm $A$ cùng $B$, $M$ là vấn đề trên tuyến đường thẳng $AB$ sao cho $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB $. Chứng minh rằng cùng với điểm $O$ bất cứ, ta có: $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Ta có $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB .$Suy ra $n(overrightarrow OM – overrightarrow OA ) = m(overrightarrow OB – overrightarrow OM ).$Do kia $(m + n)overrightarrow OM = noverrightarrow OA + moverrightarrow OB .$do vậy $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Bài tân oán 9: Cho tam giác $ABC.$ Trên cạnh $AB$, $AC$ đem những điểm $M$, $N$ sao để cho $fracMAMB = a$, $fracNANC = b.$ Hai mặt đường thẳng $CM$ cùng $BN$ cắt nhau trên $I.$ Chứng minh rằng $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$

*

Dựng $Ax$ tuy nhiên song $BN$ cắt $CM$ trên $E.$Dựng $Ay$ tuy nhiên tuy vậy $CM$ giảm $BN$ tại $F.$Lúc đó ta có $overrightarrow AI = overrightarrow AE + overrightarrow AF .$Mặc khác $Delta MAE$ đồng dạng $Delta MBI.$Nên $fracAEIB = fracMAMB = a.$Suy ra $overrightarrow AE = aoverrightarrow IB .$Tương trường đoản cú $Delta NAF$ đồng dạng $Delta NCI$ buộc phải $overrightarrow AF = boverrightarrow CI .$Từ đó suy ra $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$