Bài viết này đã khối hệ thống lại các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng những ví dụ rõ ràng nhằm những em có thể nắm rõ kỹ năng về những hằng đẳng thức, tập luyện được kỹ năng đổi mới đổi 7 hằng đẳng thức một cách linc hoạt trong các dạng toán thù.

Bạn đang xem: Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Kiến thức đề xuất lưu giữ về 7 hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

* ví dụ như Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết bên dưới dạng bình phương thơm của một tổng hoặc 1 hiệu

a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2

2. Bình pmùi hương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

* lấy ví dụ như Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình pmùi hương của một tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2

d)

3. Hiệu nhị bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9

* Lời giải:

- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)

4. Lập pmùi hương của một tổng

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

* lấy một ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán thù 8 tập 1: Tính

a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

* ví dụ như Bài 26 trang 14 sgk tân oán 8 tập 1: Tính

b) 

6. Tổng nhị lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích 8x3 - y3

8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

II. Các dạng tân oán vận dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính quý giá của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

- Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minc biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minc biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số ko phụ thuộc vào vào biến x.

• Dạng 3 : Tìm quý hiếm bé dại độc nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính quý hiếm bé dại duy nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

- Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tuyệt A ≥ 4

- Vậy giá trị nhỏ duy nhất của A = 4, Dấu "=" xẩy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính quý hiếm lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

- Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

- Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với tất cả x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xẩy ra khi : x – 2 = 0 tốt x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minc đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minch đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

- Đối cùng với dạng toán thù này họ biến hóa VT = VP hoặc VT = A với VPhường. = A

- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

• Dạng 6 : Chứng minch bất đẳng thức

- Biến thay đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó sử dụng các phxay thay đổi đưa A về 1 trong các 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minc biểu thức A thừa nhận quý giá dương với tất cả quý giá của biến, biết: A = x2 - x + 1

* Lời giải:

- Ta có: 

- Vì  nên 

Ví dụ 2: Chứng minc biểu thức B thừa nhận cực hiếm âm với đa số quý giá của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2

* Lời giải:

- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1

- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

 lấy một ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

- Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

lấy ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

ví dụ như 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

ví dụ như 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm cực hiếm của x

Ví dụ: Tìm cực hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ tóm lại, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

Ví dụ: Tính giá trị của phân thức  trên x = –1

* Lời giải:

- Ta tất cả :

- Khi x = -1 :

⇒ kết luận, vậy: I = 1/2 trên x = -1 .

III. những bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1: Chứng minch rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhđộ ẩm bình pmùi hương của một số trong những tự nhiên gồm tận thuộc bằng văn bản số 5.

Áp dụng nhằm tính: 252; 352; 652; 752

* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1:

- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

- Đặt A = a(a + 1). khi đó ta có:

  

- Do vậy, để tính bình phương thơm của một vài tự nhiên và thoải mái tất cả dạng  , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào phía sau công dụng vừa kiếm được.

* Áp dụng:

252 = 625 (Vì 2.3 = 6)

352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)

652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)

752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)

Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tra cứu biện pháp giúp bạn An khôi phục lại đông đảo hằng đẵng thức bị mực làm cho nhòe đi một số trong những chỗ:

a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2

b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2

Hãy nêu một đề bài bác tựa như.

* Lời giải bài bác 18 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1:

a) Dễ dàng nhận ra đó là hằng đẳng thức (A+B)2 với:

A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

- Vậy ta có hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 giỏi x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A-B)2 với:

B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

- Vậy ta tất cả hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài xích tương tự:

9x2 + 12xy + ... = (... + 4y2)

... – 4xy + y2 = ( ... – ...)2

Bài 28 trang 14 SGK tân oán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 trên x = 6

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

* Lời giải bài bác 28 trang 14 SGK tân oán 8 tập 1:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

- Tại x = 6, cực hiếm biểu thức là: (6 + 4)3 = 103 = 1000.

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

- Tại x = 22, giá trị biểu thức là: (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Bài 30 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1: Rút ít gọn những biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

* Lời giải bài bác 30 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

= (x3 + 33) – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3

= –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)<(2x)2 – 2x.y + y2> – (2x – y)<(2x)2 + 2x.y + y2>

= <(2x)3 + y3> – <(2x)3 – y3>

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Chứng minc rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 với a + b = -5

* Lời giải bài xích 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

a) Biến thay đổi vế nên ta được:

VPhường = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3 = VT

- Tóm lại, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) Biến thay đổi vế yêu cầu ta được:

VPhường. = (a – b)3 + 3ab(a – b)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

= a3 – b3 = VT

- tóm lại, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 34 trang 17 SGK tân oán 8 tập 1: Rút gọn gàng những biểu thức sau:

a) (a + b)2 – (a – b)2

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

* Lời giải bài xích 34 trang 17 SGK tân oán 8 tập 1:

a) (a + b)2 – (a – b)2

♦ Cách 1: <Áp dụng HĐT A2 - B2 với A = a + b; B = a – b>

= <(a + b) – (a – b)>.<(a + b) + (a – b)>

= 2b.2a = 4ab

♦ Cách 2: <Áp dụng (A+B)2 và (A-B)2

= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

= 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3

= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)

= 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

= <(x + y + z) – (x + y)>2 = z2.

Xem thêm: Tagged: Đề Thi Hsg Văn 9 Cấp Tỉnh Mới Nhất, Đề Thi Học Sinh Giỏi Văn 9 Sở Gdđt Hà Tĩnh 2021

IV. Một số bài bác tập áp dụng 7 sản phẩm đẳng thức luyện tập

Những bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương thơm của 1 tổng hay như là một hiệu:

a) 

b) 16x2 - 8x + 1

c) 4x2 +12xy +9y2

d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Đ/S: a) (x+5/2)2 ; b) (4x-1)2 ; c) (2x+3y)2 ; d) (x2+9x+19)2

các bài tập luyện 2: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng lập pmùi hương của một tổng hay như là 1 hiệu:

a) x3 + 3x2 + 3x +1

b) 27x3 - 9x2 + x - 1/27

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

d) (x+y)3(x-y)3

Đ/S: a) (x+1)3 ; b)  ; c) (2x2 + y)3 ; d) (x2-y2)3

bài tập 3: Rút gọn gàng biểu thức

a) A = (2x+3)2 -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)2

b) B = (x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)

c) C = (x+y-z)2 + (x-y+z)2 - 2(y-z)2

d) D = (x+y+z)2 + (x-y-z)2 - 2(y-z)2

Đ/S: a) A=4 ; b) B=x6-1 ; c) C=2x2 ; d) D=2(x2+4yz)

bài tập 4: Điền đối kháng thức thích hợp vào vết *

a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3

c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3

Đ/S: a) (2x+3y)3 ; b) (2x+y)3 ; c) (x-2y)3

những bài tập 5: chứng minh rằng với đa số quý hiếm của x ta có:

a) -x2 + 6x - 10 0

Những bài tập 6: Cho a - b = m; a.b = n. Tính theo m, n quý giá biểu thức sau:

1) A= (a + b)2

2) B= a2 + b2

3) C= a3 - b3

Đ/S: a) A = m2+ 4n ; b) B = mét vuông - 2n ; c) C = m(mét vuông + 3n)

những bài tập 7: Tính cực hiếm của biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức

a) A = x3 + 3x2 + 3x + 6 cùng với x = 29

b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 cùng với x = 21

Đ/S: A = 27005 ; B = 8000

các bài tập luyện 8: Chứng minc các biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x

a) (2x+3)(4x2-6x+9)-2(4x3-1)

b) (4x-1)3 - (4x-3)(16x2+3)

 - Giải bài bác tập Toán thù lớp 8 được soạn theo sách mới nhất và Được lý giải biên soạn vì chưng những thầy gia sư dạy Giỏi hỗ trợ tư vấn, nếu như thấy tuyệt hãy chia sẻ với comment nhằm nhiều bạn không giống học tập cùng.