Hóa học 12 Sinh học 12 Lịch sử 12 Địa lí 12 GDCD 12 Công nghệ 12 Tin học 12
Lớp 11
Hóa học 11 Sinh học 11 Lịch sử 11 Địa lí 11 GDCD 11 Công nghệ 11 Tin học 11
Lớp 10
Hóa học 10 Sinh học 10 Lịch sử 10 Địa lí 10 GDCD 10 Công nghệ 10 Tin học 10
Lớp 9
Hóa học 9 Sinh học 9 Lịch sử 9 Địa lí 9 GDCD 9 Công nghệ 9 Tin học 9 Âm nhạc và mỹ thuật 9
Lớp 8
Hóa học 8 Sinh học 8 Lịch sử 8 Địa lí 8 GDCD 8 Công nghệ 8 Tin học 8 Âm nhạc và mỹ thuật 8
Lớp 7
Sinh học 7 Lịch sử 7 Địa lí 7 Khoa học tự nhiên 7 Lịch sử và Địa lí 7 GDCD 7 Công nghệ 7 Tin học 7 Âm nhạc và mỹ thuật 7
Lịch sử và Địa lí 6 GDCD 6 Công nghệ 6 Tin học 6 HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 6 Âm nhạc 6 Mỹ thuật 6
PHẦN ĐẠI SỐ Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác PHẦN HÌNH HỌC Chương 1: Vecto Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Câu hỏi 1 : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : \(x + 2y – 5 = 0\), đỉnh \(A(2 ; -1)\). Viết phương trình cạnh AB biết AB có hệ số góc dương.

Bạn đang xem: Bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng lớp 10 có đáp án

A \(x + y – 5 = 0\) B \(x + y = 0\) C \(x – 3y + 5 = 0 \) D \(x – 3y – 5 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

+) AB hợp với BD một góc 450 nên \(\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}} \right|\left| {.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}\)


Lời giải chi tiết:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

Ta có AB hợp với BD một góc 450 nên

\(\begin{array}{l}\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {k.1 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\Leftrightarrow 2{\left( {k - 2} \right)^2} = 5\left( {{k^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3{k^2} + 8k - 3 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}k = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\k = - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow pt\left( {AB} \right):y = \frac{1}{3}\left( {x - 2} \right) - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \Rightarrow x - 3y - 5 = 0\end{array}\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 : Khoảng cách từ \(I(1; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 26 = 0\) bằng.

A 3. B 12. C 5. D \(\dfrac{3}{5}\).

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0\) là : \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 4\left( { - 2} \right) - 26} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{15}}{5} = 3\).

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d\) cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại 2 điểm \(A\left( {a;0} \right)\) và \(B\left( {0;b} \right)\) \(\left( {a \ne 0,\,\,b \ne 0} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\).

A \(d:\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0\)B \(d:\,\,\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1\)C \(d:\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)D \(d:\,\,\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng dưới dạng phương trình đoạn chắn.


Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và song song với BC. Biết \(B\left( {2;4} \right);\,\,C\left( {5;0} \right)\).

A \(4x + 3y - 7 = 0\)B \(4x + 3y + 7 = 0\)C \(4x + 3y - 5 = 0\)D \(4x + 3y - 2 = 0\)

Đáp án: A


Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {BC} = \left( {3; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 : Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;1} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {4;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM.

A \(2x + y - 3 = 0\)B \(x + 2y - 3 = 0\)C \(x + y - 2 = 0\)D x - y = 0

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và M với M là trung điểm của BC.

+) Tìm tọa độ điểm M: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

 


Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng AM đi qua A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) là 1 VTPT. Khi đó phương trình đường thẳng AB là \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 : Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = - 1 - 2t\end{array} \right.\)B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 - 2t\end{array} \right.\)C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right.\)D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 2 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)


Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) làm VTCP là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 - 2t\end{array} \right.\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 : Đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {1; - 3} \right),\,\,B\left( {3; - 2} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là:

A \(\overrightarrow n = \left( { - 2;1} \right)\).B \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).C \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\).D \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\).

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) làm VTCP\( \Rightarrow \) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - b;a} \right) = \left( {b; - a} \right)\) làm VTPT.


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, B nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTCP.

\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;\;2} \right)\) làm VTPT.

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 : Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0.\)B \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0.\)C \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0.\)D \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0.\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}.\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trở thành phương trình đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0.\)


Lời giải chi tiết:

Xét các đáp án ta thấy:

+) Loại đáp án A vì có hệ số của \({x^2},\;{y^2}\) không bằng nhau.

+) Đáp án B có: \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 12 = 25 > 0 \Rightarrow \) chọn đáp án B. 

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 : Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng không song song với đường thẳng \(d:y = 3x - 2\) ?

A \( - 3x + y = 0\) B \(3x - y - 6 = 0\) C \(3x - y + 6 = 0\) D \(3x + y - 6 = 0\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a"x + b"y + c" = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a"}} \ne \frac{b}{{b"}}\) 


Lời giải chi tiết:

\(d:\,\,y = 3x - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Ta có \(\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên 2 đường thẳng \(y = 3x - 2\) và \(3x + y - 6 = 0\) cắt nhau nên chúng không song song

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 : Cho đường thẳng \(d:3x + 5y - 15 = 0\). Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuộc đường thẳng \(d?\)

A \({M_1}\left( {5;0} \right)\). B \({M_4}\left( { - 5;6} \right)\). C \({M_2}\left( {0;3} \right)\). D \({M_3}\left( {5;3} \right)\).

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng d để kiểm chứng.


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3.5 + 5.3 - 15 = 15 \ne 0\)

Vậy \({M_3}\) không thuộc \(d\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 7 = 0\) cắt đường thẳng nào sau đây?

A \({d_1}:3x + 2y = 0\). B \({d_3}: - 3x + 2y - 7 = 0\).C \({d_4}:6x - 4y - 14 = 0\).D \({d_2}:3x - 2y = 0\).

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a"x + b"y + c" = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a"}} \ne \frac{b}{{b"}}\) 


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 2}}{2}\) nên \(\Delta \) và \({d_1}\) cắt nhau.

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 : Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

A \(\overrightarrow u = \left( {3;\,1} \right)\).B \(\overrightarrow u = \left( { - 5;\,\,2} \right)\).C \(\overrightarrow u = \left( {1;\,3} \right).\)D \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 5} \right).\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) làm VTCP


Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 : Đường thẳng \(x - 5y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:

A \(\overrightarrow n = \left( { - 5;1} \right)\)B \(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)\)C \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5} \right)\)D \(\overrightarrow n = \left( {1;5} \right)\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right).\)


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(x - 5y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5} \right)\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 : Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\,2} \right)\) có phương trình tham số là:

A \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\) B \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\) C \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\end{array} \right.\)D \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = t\end{array} \right.\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;\,b} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right..\)


Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\,2} \right)//\left( {1; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(d\) nhận vecto \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\,2} \right)\) làm VTCP thì cũng nhận vecto \(\left( {1; - 2} \right)\) làm VTCP.

Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có VTCP \(\overrightarrow {u"} = \left( {1; - \,2} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + t = t\\y = 0 - 2t = - 2t\end{array} \right..\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 : Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\)

A \(\overrightarrow u = \left( {5;2} \right)\)B \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\)C \(\overrightarrow u = \left( { - 3;1} \right)\)D \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP


Lời giải chi tiết:

 \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 : Vetco nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right..\)

A \(\overrightarrow u = \left( {6;\,0} \right)\) B \(\overrightarrow u = \left( { - 6;\,0} \right)\) C \(\overrightarrow u = \left( {2;\,6} \right)\)D \(\overrightarrow u = \left( {0;\,1} \right)\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có CTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.


Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\) đi qua \(M\left( {2; - 1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {0;\,6} \right) = 6\left( {0;\,1} \right).\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 : Vecto nào dưới đây là một VTCP của đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{3}?\) 

A \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)\) B \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;3} \right)\) C \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;\, - 1} \right)\) D \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 2;\,\,1} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\) có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right).\) 


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{3}\) có VTCP là: \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,3} \right).\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 : Cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4}.\) Vecto nào sau đây không phải là VTCP của \(\Delta ?\)

A \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,\,2} \right)\)B \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,4} \right)\) C \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\)D \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {2;\,\, - 4} \right)\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4}\) nhận vecto \(\overrightarrow u = \left( {2;\,4} \right)\) làm VTCP.

Ta thấy: \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 4} \right) \ne \left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _4} = \left( {2; - 4} \right)\) không là VTPT của \(\Delta .\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 : Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {3;\,1} \right)\) có phương trình tham số là:

A \(d:\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1}\)B \(d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{3}\) C \(d:\,\,\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 2}}\) D \(d:\,\,\frac{x}{3} = \frac{{y + 2}}{1}\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}.\)


Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {0; - 2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {3;\,1} \right)\) là: \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 2}}{1}.\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?

A \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).B \(\vec u = \left( { - 2; - 1} \right)\).C \(\vec u = \left( {1; - 2} \right)\).D \(\vec u = \left( {4; - 2} \right)\).

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP

\(\overrightarrow n = k\overrightarrow {n"} \) thì \(\overrightarrow n //\overrightarrow {n"} \)


Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \)

Mà \(\overrightarrow u = \left( {4; - 2} \right)//\overrightarrow {{u_1}} \) do \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow {{u_1}} \)

Vậy \(\overrightarrow u = \left( {4; - 2} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:x - 5y + 4 = 0\). Vectơ có tọa độ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d?\)

A \(\left( {5; - 1} \right)\)B \(\left( {1; - 5} \right)\)C \(\left( {1;5} \right)\)D \(\left( {5;1} \right)\)  

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {a,b} \right)\) là 1 VTPT.


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d: \(x - 5y + 4 = 0\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5} \right)\) là 1 VTPT.

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 : Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của đường thẳng song song với trục \(Ox?\) 

A \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,1} \right)\)B \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,0} \right)\) C \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 1;\,0} \right)\) D \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;\,1} \right)\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Vecto chỉ phương phương của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i = \left( {1;\,0} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)\) là VTPT của đường thẳng song song với \(Ox \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow i \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow i = 0.\)


Lời giải chi tiết:

Vecto chỉ phương phương của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i = \left( {1;\,0} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)\) là VTPT của đường thẳng song song với \(Ox \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow i \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow i = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.1 + b.0 = 0 \Leftrightarrow a = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0;\,\,b} \right) = b\left( {0;\,\,1} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,1} \right)\) là 1 VTPT của đường thẳng song song với \(Ox.\) 

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(3; - 1) và B(1;5)

A \(3x - y + 6 = 0\)B \(3x + y - 8 = 0\)C \( - x + 3y + 6 = 0\)D \(3x - y + 10 = 0\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là:\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

 


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right) = \left( { - 2;6} \right) = - 2\left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;1} \right)\) là 1 VTPT. Khi đó phương trình đường thẳng AB là: \(3\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 8 = 0\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 : Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình tổng quát: \(3x - 2y + 2019 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A \(\left( d \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) B \(\left( d \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\)C \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 1}}{3}\)D \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(k = - 2\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng \(y = kx + b\)


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình tổng quát: \(3x - 2y + 2019 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{{2019}}{2}\) có hệ số góc \(k = \frac{3}{2}.\) 

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: \({d_1}:\,\,x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}:\,\,\, - 3x + 6y - 10 = 0.\)

A Trùng nhau B Song song C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

Ta xét nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\)

+) Hệ có một nghiệm \(\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) duy nhất \( \Leftrightarrow {\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\)

+) Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}\)

+) Hệ có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\)


Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\x - 2y = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1\) và \({d_2}:\,\,3x + 4y - 10 = 0\)

A Trùng nhau B Song song C Vuông góc với nhauD Cắt nhau nhưng không vuông góc

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

Xét các TH:

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \Rightarrow \,{d_1},\,\,\,{d_2}\) cắt nhau.

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.\)


Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y = 12.\)

\( \Rightarrow {d_1}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;\,\, - 3} \right),\,\,{d_2}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,\,4} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.3 - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} .\\ \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}.\end{array}\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 : Cho bốn điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {4;\,\,0} \right),\,\,C\left( {1; - 3} \right)\) và \(D\left( {7; - 7} \right).\) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD.\)

A Trùng nhau B Song song C Vuông góc với nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Lập phương trình các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) sau đó xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {6; - 4} \right) = 2\left( {3 - 2} \right)\)

Lại có \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là các vecto chỉ phương của các đường thẳng \(AB,\,\,CD.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \Rightarrow AB//CD.\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)\). Phương trình đường thẳng AB là:

A \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} = 1\) B \(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\) C \(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\)D \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 1\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình đoạn chắn để viết phương trình đường thẳng \(AB.\)


Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 : Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0?\)

A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\)B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Hai đường thẳng không có điểm chung \( \Leftrightarrow \) hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\overrightarrow n \) và đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u \) song song với nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow u = 0.\)


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d:\,\,x - 3y + 4 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm không có điểm chung với đường thẳng \(d \Rightarrow \Delta //d.\)

\( \Rightarrow \) VTCP \(\overrightarrow u \) của \(\Delta \) vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) của \(d.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {3;\,\,1} \right) = \left( { - 3; - 1} \right).\)

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn.

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 : Điểm đối xứng của \(A\left( {8;\,\,2} \right)\) qua đường thẳng \(d:\,\,\,2x - 3y + 3 = 0\) có tọa độ là:

A \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) B \(\left( {4;\,\,8} \right)\)C \(\left( { - 4; - 8} \right)\)D \(\left( {2; - 4} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Gọi \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d \Rightarrow d\) là đường trung trực của \(AB.\)

Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) \(\Delta \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B.\)


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2; - 3} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\)

\( \Rightarrow \Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \Delta :\,\,3\left( {x - 8} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 28 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) \(\Delta \Rightarrow \)tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {6;\,\,5} \right).\)

\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(d \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow B\left( {4;\,\,8} \right).\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 : Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {4;\,\,1} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + 4 = 0\) là:

A \(\left( {\frac{{14}}{5};\,\,\frac{{17}}{5}} \right)\)B \(\left( {\frac{{14}}{5};\, - \frac{{17}}{5}} \right)\)C \(\left( {2;\,\,3} \right)\) D \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta .\)

Khi đó điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) chính là giao điểm của \(d\) và \(\Delta .\) 


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1; - 2} \right).\)

Đường thẳng \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;\,\,1} \right).\)

 Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta :\,\,\,2\left( {x - 4} \right) + y - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 9 = 0.\)

Khi đó điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) chính là giao điểm của \(d\) và \(\Delta .\) 

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 = 0\\2x + y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{14}}{5}\\y = \frac{{17}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{14}}{5};\,\,\frac{{17}}{5}} \right).\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 : Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,3x - 4y + 6 = 0\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,4x - 3y - 9 = 0.\) Điểm \(M\) thuộc trục tung có tung độ nguyên và cách đều hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là:

A \(\left( {0;\,\,15} \right)\) B \(\left( {0; - \frac{3}{7}} \right)\) C \(\left( {0; - 15} \right)\) D \(\left( {15;\,\,0} \right)\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,b} \right).\)

 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)


Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in Oy;\,\,{y_M} > 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,b} \right),\,\,b > 0\,.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;\,\,{d_1}} \right) = d\left( {M;\,\,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.0 - 4.b + 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4.0 - 3.b - 9} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {6 - 4b} \right| = \left| {3b + 9} \right| \Leftrightarrow {\left( {4b - 6} \right)^2} = {\left( {3b + 9} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{b^2} - 48b + 36 = 9{b^2} + 54b + 81\\ \Leftrightarrow 7{b^2} - 102b - 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}b = 15\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = - \frac{3}{7}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;\,\,15} \right).\end{array}\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 : Cho hai điểm \(A\left( {1;\,\,6} \right),\,\,B\left( {6;\,\,3} \right).\) Tọa độ điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \) là:

A \(C\left( {6;\,\,5} \right)\) B \(C\left( {11;\,\,0} \right)\) C \(C\left( {2;\,\,4} \right)\)D \(C\left( {0;\,\,11} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)


Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có: \(\overrightarrow {CA} = \left( {1 - a;\,\,6 - b} \right);\,\,\,\overrightarrow {CB} = \left( {6 - a;\,\,3 - b} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \left( {1 - a;\,\,6 - b} \right) = 2\left( {6 - a;\,\,3 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 2\left( {6 - a} \right)\\6 - b = 2\left( {3 - b} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 12 - 2a\\6 - b = 6 - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11;\,\,0} \right).\end{array}\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 : Cho hai điểm \(A\left( { - 2;\,\,2} \right)\) và \(B\left( {1;\,\,1} \right).\) Tìm trên trục hoành điểm \(C\) để ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng.

A \(C\left( { - 2;\,\,0} \right)\) B \(C\left( {2;\,\,0} \right)\)C \(C\left( { - 4;\,\,\,0} \right)\) D \(C\left( {4;\,\,0} \right)\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Điểm \(C \in Ox \Rightarrow C\left( {c;\,\,0} \right).\)

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} .\)

Cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)


Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Ox \Rightarrow C\left( {c;\,\,0} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {c + 2; - 2} \right);\,\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 1} \right).\)

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left( {c + 2; - 2} \right) = k\left( {3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c + 2 = 3k\\ - 2 = - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;\,\,0} \right).\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 : Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?

A \(0\)B \(1\)C \(2\)D Vô số

Đáp án: D


Phương pháp giải:

\(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT \( \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \left( d \right).\) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTCP của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một VTCP của \(\Delta .\)


Lời giải chi tiết:

Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng thì \(k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Vì thế có vô số vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 : Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 4x - 2\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)

A \(\overrightarrow n = \left( {1;4} \right)\) B \(\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)\) C \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2} \right)\) D \(\overrightarrow n = \left( { - 1;4} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng \(ax + by + c = 0.\) Khi đó VTPT của đường thẳng đã cho là \(\left( {a;\,\,b} \right).\)


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 4x - 2 \Leftrightarrow 4x - y - 2 = 0.\)

\( \Rightarrow \Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 : Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cho \(\Delta ABC\) có đỉnh \(A\left( {1;1} \right)\) và hai đường cao kẻ từ \(B\) và \(C\) có phương trình lần lượt là \({d_1}: - x + y = 0\) và \({d_2}:2x - 5y + 4 = 0\). Tọa độ đỉnh \(B\) là

A \(B\left( {0;0} \right)\) B \(B\left( { - 1; - 1} \right)\)C \(B\left( {1;1} \right)\) D \(B\left( {1;2} \right)\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng \(AB\) và tìm \(B = AB \cap {d_1}\)


Lời giải chi tiết:

*

Ta có \(AB \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} \bot \overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {2; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {5;2} \right)\)

\(AB:\left\{ \begin{array}{l}qua\,A(1;1)\\\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {5;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 7 = 0\)

\(B = AB \cap {d_1} \Rightarrow B\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y - 7 = 0\\ - x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;1} \right)\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 : Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cho \(\Delta ABC\) có phương trình cạnh \(BC: - 2x + y = 0\), phương trình đường trung tuyến \(BB":2x + y - 2 = 0\) và phương trình đường trung tuyến \(CC":x + 3y = 0\). Tọa độ đỉnh \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) thì \({x_A} + {y_A} = ?\)

A \(\frac{9}{{10}}\) B \(\frac{{ - 9}}{{10}}\) C \(\frac{{10}}{9}\) D \(\frac{{ - 10}}{9}\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác


Lời giải chi tiết:

*

\(\begin{array}{l}B = BC \cap BB" \Rightarrow B:\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 0\\2x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{1}{2};1} \right)\\C = BC \cap CC" \Rightarrow C:\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 0\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0;0} \right)\end{array}\)

Gọi \(G = BB" \cap CC" \Rightarrow G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow G:\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 2 = 0\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{6}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\\A = 3G - B - C \Rightarrow A:\left\{ \begin{array}{l}x = 3.\frac{6}{5} - \frac{1}{2} - 0 = \frac{{31}}{{10}}\\y = 3.\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right) - 1 - 0 = \frac{{ - 11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{{10}};\frac{{ - 11}}{5}} \right)\\ \Rightarrow {x_A} + {y_A} = \frac{9}{{10}}\end{array}\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 : Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 1 = 0;{d_2}:x - 3y = 0\)

A \({30^0}\) B \({60^0}\) C \({45^0}\) D \({90^0}\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)


Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {2; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 : Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}: - x + 2y + 4 = 0\)

A \({30^0}\) B \({60^0}\) C \({45^0}\) D \({90^0}\)

Đáp án: D


Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)


Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {2;1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow \varphi = {90^0}\)

Chọn D.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 : Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\sqrt 3 x + y - 1 = 0;{d_2}:y = - 1\)

A \({30^0}\) B \({60^0}\) C \({45^0}\) D \({90^0}\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)


Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {\sqrt 3 ;1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 3 .0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {60^0}\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 : Góc giữa hai đường thẳng không thể là:

A \({0^0}\) B \({180^0}\) C \({90^0}\)D \({81^0}\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng: \({0^0} \le \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) \le {90^0}\)


Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai đường thẳng: \({0^0} \le \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) \le {90^0}\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 : Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\) có số đo là

A \({0^0}\) B \({180^0}\)C \({90^0}\)D \({360^0}\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng \({0^0}\)


Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng \({0^0}\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có hai VTPT lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right).\)

Khi đó góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) được tính bởi công thức:

\(\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)


Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,x + 2y - \sqrt 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\,2} \right).\)

\({d_2}:\,\,\,x - y = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 : Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\) là:

A \(\vec u = \left( { - 2;\,3} \right)\) B \(\vec u = \left( {3;\, - 2} \right)\) C \(\vec u = \left( {3;\,2} \right)\)D \(\vec u = \left( {2;\,3} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) làm VTPT thì có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {B; - A} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - B;\,\,A} \right).\)


Lời giải chi tiết:

Xét phương trình đường thẳng: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng có VTPT là \(\vec n = \left( {2;\,3} \right)\). Suy ra VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {3;\, - 2} \right)\).

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 : Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 5} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(d\) có một vectơ chỉ phương là:

A \(\left( { - 2; - 5} \right)\) B \(\left( { - 5;\,\, - 2} \right)\)C \(\left( {5;\,\, - 2} \right)\)D \(\left( {5;\,\,2} \right)\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(d\) nhận VTPT của \(d\) làm VTPT.

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) làm VTPT thì có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {B; - A} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - B;\,\,A} \right).\)


Lời giải chi tiết:

Vì \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\) nên \({\vec n_\Delta } = {\vec n_d} = \left( { - 2;\,\, - 5} \right) \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {5;\,\, - 2} \right)\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 : Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua \(M\left( {1;\, - 3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

A \(\Delta :2x - y - 5 = 0\) B \(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2}\) C \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\)D \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2}\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) qua điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right)\) là:

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\) với \(a \ne 0,\,\,b \ne 0.\)


Lời giải chi tiết:

Đường thẳng D đi qua \(M\left( {1;\, - 3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2}.\)

Chọn B


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 : Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;\, - 5} \right)\) và có hệ số góc \(k = - 2\).

A \(y = - 2x - 1\) B \(y = - 2x - 9\) C \(y = 2x - 1\) D \(y = 2x - 9\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right),\) hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(\left( \Delta \right):y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)


Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm \(M\left( {2;\, - 5} \right)\) và có hệ số góc \(k = - 2\) là:

\(y = - 2\left( {x - 2} \right) - 5 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)

Chọn A.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 : Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(O\) và song song với đường thẳng \(\Delta :6x + 2y + 1 = 0\) là:

A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right..\) B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right..\) C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right..\) D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right..\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song có cùng VTPT.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)


Lời giải chi tiết:

+) Xét phương trình \(\Delta :\,\,6x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {6;\,\,2} \right)\)

+) Vì \(d\,\,{\rm{//}}\,\,\Delta \) nên \({\vec n_d} = {\vec n_\Delta } = \left( {6;\,\,2} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left( {2;\,\, - 6} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) nhận \({\vec u_\Delta } = \left( {2;\,\, - 6} \right)\) làm VTCP là:

\(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right..\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 : Trong mặt phẳng \(Oxy\), vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 3 - t\end{array} \right.\)

A \(\overrightarrow u \left( {2; - 3} \right)\)B \(\overrightarrow u \left( {3; - 1} \right)\) C \(\overrightarrow u \left( {3;1} \right)\) D \(\overrightarrow u \left( {3; - 3} \right)\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u \left( {a,b} \right)\) là một vectơ chỉ phương.


Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow u \left( {3; - 1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 3 - t\end{array} \right.\)

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 51 : Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,2} \right)\) là:

A \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)B \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) C \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\) D \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)


Lời giải chi tiết:

Phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,2} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 52 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,4} \right),\,\,C\left( {4;\,\, - 1} \right)\). Phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) là:

A \(x - y - 2 = 0\)B \(x + y - 2 = 0\) C \(x - y + 2 = 0\)D \(x + y + 2 = 0\)

Đáp án: A


Phương pháp giải:

+) Viết phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\).

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right).\)


Lời giải chi tiết:

+) Phương trình cạnh \(\left( {AB} \right):\,\,\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 4 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {AC} \right)\):

\(\frac{{x - {x_C}}}{{{x_C} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_C}}}{{{y_C} - {y_A}}} \Rightarrow \frac{{x - 4}}{{4 - 2}} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right) - 0}}\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow - x + 4 = 2y + 2\)\( \Leftrightarrow - x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {2x + y - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {x + 2y - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \left| {2x + y - 4} \right| = \left| {x + 2y - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}2x + y - 4 = x + 2y - 2\\2x + y - 4 = - x - 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left< \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):{f_1}\,\left( {x;y} \right) = \,x - y - 2 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\,\left( {x;y} \right) = x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right) = - 6;{f_1}\left( C \right) = 3 \Rightarrow {f_1}\left( B \right)\,\,.\,\,{f_1}\left( C \right) = - 18
Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\,\,3x + 4y - 5 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\,m} \right)\). Các giá trị của tham số \(m\) để \(A\) và \(B\) nằm cùng phía so đối với \(d\):

A \(m B \(m > - \frac{1}{4}\) C \(m > - 1\) D \(m = - \frac{1}{4}\)

Đáp án: B


Phương pháp giải:

Để hai điểm \(A\) và \(B\) cùng phía so với đường thẳng \(d\) thì \({f_1}\left( A \right).{f_1}\left( B \right) > 0\).


Lời giải chi tiết:

\(A\left( {1;\,\,3} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,m} \right)\) nằm cùng phía đối với \(\left( d \right):\,\,3x + 4y - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_A} + 4{y_A} - 5} \right).\left( {3{x_B} + 4{y_B} - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3.1 + 4.3 - 5} \right)\left( {3.2 + 4m - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 10.\left( {1 + 4m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{4}\end{array}\)

Chọn B.

Xem thêm: Giải Bài Tập Toán 12 Ôn Tập Chương 1, Giải Toán 12 Ôn Tập Chương 1


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 54 : Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,x + 2y - 3 = 0\) và \({\Delta _2}:\,\,2x - y + 3 = 0\)?

A \(3x + y = 0\) và \(x - 3y = 0\)B \(3x + y = 0\) và \(x + 3y - 6 = 0\) C \(3x + y = 0\) và \( - x + 3y - 6 = 0\)D \(3x + y + 6 = 0\) và \(x - 3y - 6 = 0\)

Đáp án: C


Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;{\Delta _2}} \right)\)


Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2y - 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {2x - y + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 2x - y + 3\\x + 2y - 3 = - 2x + y - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} - x + 3y - 6 = 0\\3x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x - 3y + 6 = 0\\3x + y = 0\end{array} \right.\)

Chọn C.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 55 : Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng \(\Delta :\,\,x + y = 0\) và trục hoành:

A \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = 0;\,\,x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\)B \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = 0;\,\,x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\) C \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - y = 0;\,\,x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\)D \(x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 0;\,\,x + \left(