Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x - x3 ;


b) y = x3 + 4x2 + 4x

c) y = x3 + x2 + 9x ;

d) y = -2x3 + 5

Lời giải:

a) Hàm số y = -x3 + 3x + 2.

Bạn đang xem: Bài tập khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -3x2 + 3.

y" = 0 ⇔ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = 0.

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

Ta có : 2 + 3x – x3 = 0 ⇔

*

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y(0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số :

*

b) Hàm số y = x3 + 4x2 + 4x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = 3x2 + 8x + 4.

*

Trên các khoảng (-∞; -2) và (

*
; +∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên (-2 ;

*
), y’ CĐ = 0 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x =

*
; yCT =
*

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

+ Ta có : x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 2)2 = 0 ⇔

*

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0; 0) và (-2; 0).

+ y(0) = 0 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

+ y(-3) = -3 ⇒ (-3; -3) thuộc đồ thị hàm số

y(-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số :

*

c) Hàm số y = x3 + x2 + 9x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = 3x2 + 2x + 9 > 0

*

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)

*

d) Hàm số y = -2x3 + 5.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -6x2 ≤ 0 ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên R.

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 5).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 3) và (-1; 7).

*

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

*

Lời giải:

a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)

y" = 0 ⇔ -4x(x2 - 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2

Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’

*

3) Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 - 1 = -x4 + 8x2 - 1 = y(x)

⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).

*

b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y" = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

+ Đồ thị hàm số:

*

c) Hàm số 

*

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ y" = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)

y" = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục tung tại điểm 

*

*

d) Hàm số y = -2x2 – x4 + 3.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2)

y" = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

3) Đồ thị:

+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).

*

Kiến thức áp dụng

Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

*

Lời giải:

a) Hàm số 

*

1) Tập xác định: D = R \ {1}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

*

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.

Lại có:

*

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng.

*

b) Hàm số 

*

1) Tập xác định: D = R \ {2}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

*

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

*

⇒ y = -1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

+ Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng.

*

c) Hàm số 

*

1) Tập xác định: D = R \ {-1/2}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

*

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

⇒ 

*
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

*

⇒ 

*
 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

*

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 2)

+ Giao với Ox: (2; 0)

+ Đồ thị hàm số nhận 

*
 là tâm đối xứng.

*

Kiến thức áp dụng

Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x3 - 3x2 + 5 = 0 ;

b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ;

c) 2x2 - x4 = -1

Lời giải:

a) Xét y = f(x) = x3 - 3x2 + 5 (1)

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f"(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)

f"(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

- Đồ thị:

*

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

⇒ phương trình x3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -6x2 + 6x = -6x(x - 1)

y" = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

- Đồ thị:

*

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

c) Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - x4

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2)

y" = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

- Đồ thị:

*

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm

⇒ Phương trình f(x) = -2 có hai nghiệm phân biệt.

Kiến thức áp dụng

+ Số nghiệm của phương trình f(x) = m phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

Bài 5 (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

x3 - 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1)

y" = 0 ⇔ -3(x2 - 1) = 0 ⇔ x = ±1.

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = -1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = 3.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).

*

b) Ta có: x3 - 3x + m = 0 (*)

⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.

Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có :

+ Nếu m + 1 3 ⇔ m > 2

⇒ (C ) cắt (d) tại 1 điểm

⇒ phương trình (*) có một nghiệm.

Kết luận : + Với m 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

+ Với -2 - Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

- Số nghiệm của phương trình f(x) = m phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

Bài 6 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số 
*

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Lời giải:

a) Với mọi tham số m ta có :

*
Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

*
⇒ 
*
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua A(-1 ; √2)

⇔ 

*

⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)

c) Với m = 2 ta được hàm số: 

*

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*
⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có

*
⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

*

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại (1/2 ; 0).

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; -1/2).

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.

*
Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định thì :

f(x) đồng biến nếu f’(x) > 0 với ∀ x ∈ K.

+ Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có 

*
 hoặc 
*

Bài 7 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

*

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng 7/4.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)

*

b) Với m = 1, hàm số trở thành 

*

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y" = x3 + x = x(x2 + 1)

y" = 0 ⇔ x(x2 + 1) ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0)

Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

- Đồ thị:

+ Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1,75); (1; 1,75); (-2; 7); (2; 7).

*

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

*

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 

*
 :

y’(1) = 2

⇒ Phương trình tiếp tuyến: 

*
 hay 
*

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 

*
 :

y’(-1) = -2.

⇒ Phương trình tiếp tuyến: 

*
 hay y = 
*

Kiến thức áp dụng

- Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(y0; f(y0)): y = f’(y0)(x – y0) + f(y0)

Bài 8 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:

y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số)

có đồ thị (Cm).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m.

+ TXĐ : D = R.

+ y’ = 3x2 + 2(m + 3).x

⇒ y’’ = 6x + 2(m + 3).

+ Hàm số có điểm cực đại là x = -1

*

Vậy với 

*
 thì hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2

⇔ y(-2) = 0

⇔ (-2)3 + (m + 3)(-2)2 + 1 - m = 0

⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0

⇔ 3m + 5 = 0

⇔ m = -5/3

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K, khi đó, với y0 ∈ K ta có:

Nếu f’(y0) = 0 và f’’(y0) 0 là điểm cực đại.

Bài 9 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số 
*
 (m là tham số) có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Lời giải:

a) Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1)

*

b) Với m = 0, hàm số trở thành: 

*

- TXĐ: D = R \ {1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

*

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

*

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

*

- Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

*

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0;-1), khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm P(0; -1) là:

y = y"(0).(x - 0) - 1

hay y = -2x - 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2x – 1.

Kiến thức áp dụng

Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

Xem thêm: Câu 57 Trang 38 Sbt Toán 8 Tập 1: Tìm Giá Trị Nguyên Của Biến X Để Tại Đó Giá Trị Của Mỗi Biểu Thức Sau

hanvietfoundation.org gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 12 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 12 khác nhau.