Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định trên khoảng chừng (left( a;b ight)) cùng (x_0 in left( a;b ight)). Để xét tính liên tục của hàm số (y = fleft( x ight)) tại (x_0) ta làm nhỏng sau:

- Tính (fleft( x_0 ight))

- Tính (mathop llặng limits_x lớn x_0 fleft( x ight))

- Nếu (mathop lim limits_x lớn x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)) thì Kết luận hàm số liên tiếp tại (x_0).

Bạn đang xem: Bài tập hàm số liên tục nâng cao

- Nếu (mathop lyên ổn limits_x khổng lồ x_0 fleft( x ight)) ko vĩnh cửu hoặc (mathop lim limits_x o lớn x_0 fleft( x ight) e fleft( x_0 ight)) thì Tóm lại hàm số không tiếp tục tại (x_0).

Lúc xét tính tiếp tục của hàm số trên một tập, ta thực hiện định lí 1 với định lí 2 trong phần lí tngày tiết.


*

Luyện bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay


*

*

*

*

Bài viết tiếp sau đây sẽ giúp đỡ ta biết cách xét tính tiếp tục của hàm số, vận dụng giải những dạng bài bác tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tiếp của hàm số tại một điểm (x=0), bên trên một đoạn hay như là một khoảng, tìm những điểm cách quãng của hàm số, giỏi minh chứng pmùi hương trình f(x)=0 bao gồm nghiệm.

I. Lý ttiết về hàm số liên tiếp (bắt tắt)

1. Hàm số liên tiếp ở một điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) với x0∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là liên tiếp trên x0 nếu:


- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được call là vấn đề cách trở của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được Điện thoại tư vấn là thường xuyên bên trên một khoảng tầm nếu như nó liên tiếp trên mọi điểm của khoảng tầm đó.

- Hàm số y = f(x) được call là thường xuyên trên đoan giả dụ nó thường xuyên bên trên khoảng chừng (a;b) và:


3. Một số định lý cơ bạn dạng về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số đa thức tiếp tục bên trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 nhiều thức) và các hàm số lượng giác tiếp tục trên từng khoảng tầm của tập xác minh của chúng.

Định lý 2:

- Giả sử f(x) và g(x) là nhị hàm số tiếp tục trên điểm x0. lúc đó:

a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) cùng f(x).g(x) liên tục tại x0.

b) hàm số
liên tục trên x0 trường hợp g(x0)≠ 0.

Định lý 3:

- Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục trên đoạn với f(a)f(b) II. Các dạng bài bác tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm x0.

* Phương thơm pháp:

- Cách 1:Tính f(x0)

- Bước 2:Tính
hoặc

- Cách 3: So sánh:
hoặc
với
rồi rút ra kết luận

- Nếu
hoặc
thì Kết luận hàm số thường xuyên tại

- Nếu
ko trường thọ hoặc
thì Tóm lại hàm số không tiếp tục tại x0.

- Bước 4:Kết luận.

* lấy ví dụ như 1(Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):Dùng khái niệm xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+ 2x - 1 trên x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3+ 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32


⇒ f(x) liên tiếp trên x0 = 3.

* Ví dụ2 (Bài2 trang 140 SGK Đại số 11):a) Xét tính thường xuyên của hàm số y = g(x) trên x0= 2, biết:


b) Trong biểu thức g(x) sinh hoạt trên, bắt buộc nắm số 5 vì chưng số nào kia để hàm số thường xuyên tại x0= 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.


⇒ g(x) không tiếp tục trên x0 = 2.

b)Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:


-Vậy chỉ việc cầm cố 5 bằng 12 thì hàm số tiếp tục trên x0 = 2.

* lấy ví dụ 3:Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.


° Lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1


⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (loại gián đoạn) trên điểm x = 1.

* lấy một ví dụ 4:Xét tính thường xuyên của hàm số sau trên điểm x = 0.


° Lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.


⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục trên điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính thường xuyên của hàm số trên một khoảng tầm, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính tiếp tục của hàm số trên từng khoảng tầm khẳng định của chính nó.

- Nếu hàm số khẳng định vày 2 hoặc 3 cách làm, ta thường xét tính liên tiếp tại các điểm đặc trưng của hàm số kia.

* lấy một ví dụ 1: Cho hàm số

Chứng minh rằng hàm số liên tiếp bên trên khoảng (-7;+∞).

° Lời giải:

•khi x > 2 thì f(x) = x2 - x + 4 là hàm liên tiếp bên trên khoảng chừng (2;+∞).

•Khi -7

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tiếp trên khoảng chừng (-7;+∞).

* ví dụ như 2:Tìm a, b để hàm số sau liên tục:

° Lời giải:

•khi x 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng vì thế nó thường xuyên bên trên khoảng tầm (5;+∞).

•khi x = 3 thì f(3) = 3a + b



⇒ Để hàm số liên tục trên điểm x = 3 thì:



(**)

Từ (*) và (**) ta có:

- Vậy lúc a = 1 cùng b = -2 thì hàm số f(x) thường xuyên trên R, Khi đó:


* lấy ví dụ như 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):Cho các hàm số
khẳng định Lúc và chỉ còn khi:

x2 + x - 6≠ 0⇔ x≠ 2 cùng x≠ -3.

⇒ TXĐ: D = R-3;2

- Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng chừng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).

• Hàm sốg(x) = tanx + sinxkhẳng định khi còn chỉ khi:


° Dạng 3:Tìm điểm cách biệt của hàm số f(x)

* Phương thơm pháp:x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) giả dụ trên điểm x0 hàm số không liên tục. Đôi khi x0 thỏa mãn nhu cầu một trong số ngôi trường thích hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

2)

* Ví dụ: Cho a với b là nhì tmê man số, tìm các điểm cách trở của hàm số sau:


⇒ x = 0 là vấn đề cách biệt của hàm số.

• Tại x = 3.

- Ta có: f(3) = b và




- Nếu
và với tất cả a thì điểm cách biệt của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu
cùng với đa số a thì điểm cách trở của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: Chứng minc phương trình f(x) = 0 tất cả nghiệm.

* Pmùi hương pháp:

1) Chứng mình pmùi hương trình f(x) = 0 có tối thiểu một nghiệm


- Tìm nhị số a, b làm sao cho f(a).f(b) * Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):Chứng minch rằng phương trình:

a) 2x3– 6x + 1 = 0 bao gồm tối thiểu hai nghiệm.

b) cosx = x tất cả nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x3– 6x + 1

-TXĐ: D = R

- f(x) là hàm đa thức yêu cầu tiếp tục trên R.

- Vậy ta có:

f(-2) = 2.(-2)3– 6(-2) + 1 = - 3 0

f(1) = 2.13– 6.1 + 1 = -3 0

⇒ g(-π). g(π) * Ví dụ2:Chứng minch rằng pmùi hương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn luôn tất cả nghiệm với đa số m.

Xem thêm: Tính Chất Của Đường Trung Tuyến, Trung Tuyến

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f(x) =(1 - m2)x5- 3x - 1

- Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2+ 1) = -(m2+ 1) * ví dụ như 3:Cho phương thơm trình ax2 + bx + c = 0, (a≠ 0) vừa lòng 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minc phương thơm trình gồm nghiệm trong <0;1/3>.