Bài viết này hanvietfoundation.org ra mắt mang đến độc giả phương pháp Tính đạo hàm với vi phân cao cấp của hàm số

*

1. Một số công thức đạo hàm cấp cao của hàm số hay gặp

$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^altrộn Rightarrow y^(n)(x) = a^naltrộn (altrộn - 1)...(altrộn - n + 1)(ax + b)^altrộn - n endarray$

2. Công thức Lepnit tính đạo hàm cao cấp của hàm số tích

Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm mang đến cấp cho $n$ khi đó $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$

3. Các ví dụ minch hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ cùng với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$

Do kia $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong những số ấy $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$

Câu 4.

Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải

Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$

Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$

Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$

Câu 5. Tính đạo hàm cao cấp $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$

Bước cuối bạn đọc cố gắng dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.

Cách 2:Ta tất cả $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cung cấp n hai vế có:

$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$

Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và

$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$

Hiện tại hanvietfoundation.org xây cất 2 khoá học tập Tân oán cao cấp 1 với Toán thù thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học kân hận ngành Kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học cung ứng tương đối đầy đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích tập những dạng toán đi kèm theo từng bài học. Hệ thống bài xích tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải cụ thể tại trang web sẽ giúp học viên học tập nkhô cứng cùng áp dụng chắc chắn là kiến thức. Mục tiêu của khoá học tập góp học tập viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Tân oán thời thượng 1 với Toán thời thượng 2 trong các trường tài chính.

Xem thêm: Đề Kiểm Tra 1 Tiết Hình Học 12 Chương 1 Trắc Nghiệm Violet, Đề Kiểm Tra 1 Tiết Hình Học 12 Chương 1

Sinch viên những trường ĐH sau đây rất có thể học tập được full bộ này:

- ĐH Kinc Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và những trường ĐH, ngành kinh tế của những trường ĐH không giống bên trên mọi cả nước...