Chương thơm này trình làng thay đổi z cơ mà khôn xiết bổ ích trong so sánh với xây dựng khối hệ thống DSPhường (hoặc DTSP), giống hệt như thay đổi Laplace mang đến hệ thống tương tự như (hoặc tiếp tục thời gian). Phân tích Fourier được phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng lại cũng có ích cho bộc lộ với hệ thống tránh rộc rạc thời gian. Ta đang thấy biến đổi z cùng biến hóa Fourier contact cùng nhau. Ta lựa chọn nhằm trình diễn đổi khác z sau so với Fourieer nhỏng nhiều người sáng tác khác vẫn làm, dẫu vậy theo trơ khấc từ...




Bạn đang xem: Bài tập biến đổi z có lời giải

*

1Chương thơm 4 BIẾN ĐỔI ZChương này trình làng biến đổi z nhưng mà siêu bổ ích vào so với và xây dựng khối hệ thống DSP.. (hoặcDTSP), giống hệt như biến đổi Laplace mang lại khối hệ thống giống như (hoặc tiếp tục thời gian). Phân tích Fourierđược phát triển mang lại miền liên tiếp thời gian nhưng cũng hữu ích mang đến biểu hiện với khối hệ thống rời rốc thờigian. Ta đã thấy biến hóa z với biến hóa Fourier contact cùng nhau. Ta lựa chọn để trình diễn thay đổi z sauđối chiếu Fourieer như các người sáng tác không giống vẫn có tác dụng, cơ mà theo trơ trẽn từ trở lại cũng thường nhìn thấy. Chủ đề chủ yếu là: khái niệm đổi khác z, bổ ích đôi biến đổi, thuộc tính đổi khác, vẽ rất vàko, vùng hội tụ, sự ổn định của khối hệ thống, đổi khác ngược, đổi khác z một bên, thanh lọc bậc nhị, đáp ứngnối tiếp và khối hệ thống với điều kiện đầu4.1 BIẾN ĐỔI ZPhần bắt đầu bao gồm các tinh vi không giống nhau của đổi khác z. Giống giống như những thay đổi không giống,biến đổi z áp dụng cho tất cả biểu thị cùng hệ thống tách rạc. Ta hiểu được một hệ thống được đặc thù bởipmùi hương trình biểu lộ vào ra, hoặc đáp ứng nhu cầu xung của chính nó, hoặc đáp ứng tần số. Tóm lại ta sẽ thấy đặctính sản phẩm công nghệ tứ của hệ thống.4.1.1 Định nghĩa: Biến thay đổi z X(z) của một biểu thị tách rốc thời hạn x(n) được tư tưởng nhỏng ∞  x (n )z -n X(z) = (4.1) n= 0z là một trong những đổi thay phức của miền biến đổi cùng hoàn toàn có thể xem nlỗi tần số phức (xem hình 4.5). Nhớ rằng chỉ sốn rất có thể là thời gian, không khí hoặc một trong những thiết bị khác, cơ mà thường là thời hạn. Nlỗi định nghĩatrên, X(z) là chuỗi nón nguyên của z 1 khớp ứng với đông đảo thông số x(n). Knhị triển X(z) để xem điềunày:   x ( n) z n = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . . . X(z) = (4.2) n 0 Trong cách làm (4.1) tổng được lấy trường đoản cú n = 0 mang đến  , X(z) ko contact cùng với thời gian thừa khứx(n). Đây là biến hóa z một b ên. Biến thay đổi z một mặt hoàn toàn có thể rất có thể với ĐK đầu của x(n) (phần4.7). Nhìn tầm thường, biểu thị lâu dài trên hồ hết thời gian, cùng biến đổi z phía hai bên được quan niệm như: ∞ ∞ x  n  z -n X(z) = n= - 1 2 2 = …x(-2)z + x(-1)z + x(0) + x(1)z + x(2)z + … (4.3) 1Vì X(z) là 1 trong những chuỗi mũ vô hạn của z , thay đổi chỉ mãi sau phần đông quý giá chỗ chuỗi quy tụ (tiến tớiko Khi n   hoặc -  ). Vì vậy chuyển đổi z liên hệ trực tiếp với vùng hội tụ (ROC) khu vực nó là hữuhạn (phần 4.4). Để riêng biệt, ta chú giải X  ( z ) mang đến biến hóa z một bên.lấy một ví dụ 4.1.1Tìm màn biểu diễn toán thù học tập của dấu hiệu trong hình 4.1, tiếp nối tìm kiếm thay đổi z.Giải (a) Crúc ý biểu đạt là nhân quả với sút phần nhiều , nó có giá trị 0.8 n cùng với n  0. Vì vậy ta viết x(n) = 0.8n u(n)và áp dụng biến hóa (4.1) 2   x ( n) z n X(z) = n 0 = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …Ap dụng công thức chuỗi hình học vô hạn (2.8)  1 x , x 3Một cách để tìm chuyển đổi ngược, ngẫu nhiên khi nào rất có thể, là thực hiện định nghĩa biến hóa z. Phương thơm pháptổng quát của biến hóa z ngược sẽ tiến hành bàn thảo trong phần 4.5 với 4.6lấy ví dụ như 4.1.2Tìm biến hóa z ngược của rất nhiều biểu thức sau z (a) X(z) = z  0.8 1 (b) X(z) = z  1.2Giải (a) Lấy knhì triển X(z) thực hiện chuỗi hình hoc vô hạn: z 1 X(z) = = z - 0.8 1-0.8 z -1 = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + … = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 + …Bằng phương pháp so sánh từ nguyên tố với từng thành phần nằm trong bí quyết (4.2) ta gồm x(n) = <1 , 0.8 , 0.64 , 0.512 ; …>Hoặc x(n) = 0.8 n u(n) (b) Biểu diễn được mang đến ko y như được biến hóa, bởi vậy ta viết. z 1 1 1 = z 1 X(z) = = 1  1.2 z 1 1 z  1.2 1  1.2 zKế mang lại, mang khai triển X(z) : X(z) = z–1 <1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …> = 0 + 1.0z–1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + …Vì vậy x(n) = <0 ,1.0 , -1.2 , 1.44 , -1.728 , …>Mà có thể diễn đạt trong bề ngoài đóng góp nhỏng sau n 1  x(n) = (–1.2) u(n-1)4.1.3 Đôi chuyển đổi zBảng 4.1 đưa ra nhiều song đổi khác z hữu dụng, nơi vòng tròng đơn vị là vòng tròn tất cả nửa đường kính 1trọng điểm tạinơi bắt đầu. Tất cả biểu hiện là nhân trái (mặt phải), ngoại trừ nhì biểu hiện phi nhân trái (bên trái). Chụ ý rằng 1một biến hóa hoàn toàn có thể biểu đạt tương tự như một hàm z hoặc z , ví dụBảng 4.1 : Đôi biến đổi z thông thường Giảng vật dụng cực -khôngTín hiệu x(n) Biến thay đổi X(z) ROC j Unit circle 0 -1 1 -j 4Mẫu đơn vị (n) Tất cả z 1Bậc đơn vị 1 z (  z > 1 ) 1 z 1 1 zu(n)  z z -1 doubleDốc đơn vị   (z  1 )2   z > 1  ( 1  z -1 )2r(n) = nu(n)  Mũ thực  z 1  -1   z > aan u(n) 1  az  z  a 0 5 1 z anu(n)  X(z) = or (4.7b) 1  az 1 za 1  z 1 cos Ω 0 z(z  cos Ω 0 ) (cosn0)u(n) X(z) = or (4.7c) 1  2 z 1 cos Ω 0  z 2 z  2 z cos Ω 0  1 2Hình thức có không ít sự phụ thuộc vào chiếc ta ước ao làm cho với biến hóa (coi phần 4.1.6 , 4.3 và 4.6).4.1.4 Biến thay đổi z đến hệ thốngBiến đổi z vận dụng mang lại biểu thị tương tự như khối hệ thống bởi hệ thống được trình diễn bằng đáp ứng xung củanó. Mà nó là hàm gồm chỉ số n y như biểu thị. Vì trực thuộc tính này mà đổi khác z có ích trong phântích với kiến thiết hệ thống do dấu hiệu với khối hệ thống liên can nhau. điều đặc biệt, biến đổi z của đáp ứng nhu cầu xung h(n) là   h( n) z n (Biến thay đổi 1 bên) H(z) = (4.8) n 0Hoặc   h ( n) z n (Biến thay đổi nhị bên) H(z) = (4.9) n  Prúc trực thuộc hệ thống là nhân quả hoặc phi nhân trái. H(z) được Hotline là hàm truyền hoặc hàm hệ thốngví dụ như 4.1.3Một khối hệ thống gồm đáp ứng nhu cầu xung h(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6>Tìm hàm truyền.GiảiHệ thống là một FIR phi nhân quả. Hàm truyền của nó được đến vày cách làm (4.9):  3  h ( n) z  h ( n) z n n H(z) = = n  2 n   = z 2  2 z 1  3  4 z 1  5z 2  6 z 3trái lại, giả dụ biết H(z) như bên trên ta hoàn toàn có thể dễ dãi bao gồm h(n) . 4.1.5 Hàm riêng rẽ và trị riêngTa biết giả dụ đáp ứng nhu cầu tần số của một khối hệ thống là H(  ) thì cùng với ngõ vào x(n) = e jn , ngõ ra là y(n) =e jn H(  ) như vào (3.69b). Vì điều này , e jn là hàm riêng biệt, và H(  ) là trị riêng rẽ của hệ thống. Bây giờ đồng hồ, cùng với đầu vào x(n) = zn (4.10)ngõ ra khối hệ thống là      h(k)z  h(k)z nk k y(n) = h(n)  x(n) = = zn     k 0 k 0Trong ngoặc là H(z) , thì y(n) = z n H(z) (4.11) nVì vậy trong miền đổi khác z, z là hàm riêng rẽ, với H(z) là trị riêng rẽ của hệ thống4.1.6 Hàm truyền trong số những yếu tố của hệ số lọcĐầu tiên, cùng với phương thơm trình lọc bao quát (công thức (2.21)) 6 N M  a y (n  k ) +  b x(n  k ) y(n) = (4.12) k k k  M k 1Với a k cùng bk là đều thông số thanh lọc (hằng số). Bây tiếng ta vậy x(n) = z n và y(n) = z n H(z) để có M N b z a nk nk n z H (z) + z H(z) = k k k  N k 1Từ phương pháp này ta đúc kết màn trình diễn của H(z) mang đến thanh lọc đệ qui, hiệu quả là M bz k k k  M (thanh lọc đệ qui) H(z) = (4.13a) N 1   ak z k k 1Với thanh lọc ko đệ qui, mẫu bằng 1, vị vậy M bz k H ( z)  (thanh lọc không đệ qui) (4.13b) k k  MNó thì đa số chú ý rằng hàm truyền trên có hiệu quả trường đoản cú cách làm lọc (4.12) . Một số tác gải viếtcách làm sinh sống dạng khác (ví dụ, toàn bộ yếu tắc y sinh hoạt phía bên trái của công thức), điều này dẫn đến sự biểudiễn khác của H(z) . Ý tưởng sinh sống đấy là lúc công thức lọc được mang đến, ta thu thập rất nhiều hệ số của chính nó để đặt vào sựtrình diễn của H(z) nhưng ko yêu cầu đem chuyển đổi z. trái lại, ví như biết H(z) thì ta biết số đông thông số thanh lọc.lấy ví dụ 4.1.4Cho 2 z 2  3z (a) H(z) = z 2  0.5 z  0.8 -20 z 2  5 z (b) H(z) = 10 z 3  5 z 2 -8 z  1Tìm phương trình tín hiệu.Giải 1 2 (a) Viết H(z) như hàm của z bằng cách nhân tử số và mẫu số cùng với z : 1 1 2  3z 2-3z  H(z) = 1 2 1  (0.5 z 1  0.8 z 2 ) 1  0.5 z  0.8 zNhững thông số là b0 = 2 b 1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8Vì vậy phương pháp lọc là y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1) 3 3 (b) Nhân tử số và mẫu mã số với 0.1 z để gia công 10z ngơi nghỉ chủng loại bởi 1  2 z 1  5 z 2 H(z) = 1  0.5 z 1  0.8 z 2  0.1z 3Thu thập đều hệ số: b1 = -2 b2 = 5 a1 = -0.5 a2 = 0.8 a3 = _0.1Vì vậy phương pháp lọc là 7  y(n) = -0.5y(n-1) + 0.8y(n-2) + 0.1y(n-3) -2x(n-1) + 5x(n-2)4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI ZTrong cmùi hương này những thuộc tính (một trong những có thể coi nhỏng định lý) của chuyển đổi z hai bên được trìnhbày. - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời gian - Liên hệ cùng với biến đổi Fourier tránh rộc rạc thời hạn (DTFT) - KhácKhông đề xuất toàn bộ phần đa trực thuộc tính bên trên được xem xét chi tiết . Về sau đôi biến đổi z được đọc như x(n)  X(z).4.2.1 Tuyến tínhTuyến tính có thể diễn đạt nlỗi a1x1(n) + a2x2(n)  a1X1(z) + a2X2(z) (4.14)Với a1 , a 2 là hằng số. Hình thức tương đương nhau vận dụng cho các dấu hiệu. Vì vậy tuyến đường tính nghĩa kếtnối đường tính của ngõ vào đưa ra liên kết con đường tính ngõ ra. Với chuyển đổi z và các biến hóa không giống tuyến đường tính là thu ộc tính cơ bản cùng đặc biệt. Nó chophép ta tìm kiếm đổi khác cùng biến hóa ngược Khi ngơi nghỉ đây là sự kết nối của đa số thành phần.lấy ví dụ 4.2.1Tìm đổi khác z của bộc lộ cosin nhân quả x(n) = (cosn 0 ) u(n)GiảiBiểu diễn x(n) nghỉ ngơi dạng hầu hết yếu tắc của mũ phức: 1 jnω0 1 e u(n) + e  jnω0 u(n) x(n) = (cosn 0 ) u(n) = 2 2thì 1 1 Z + Z X(z) = 2 2Biến thay đổi từng yếu tắc 1 e jn0 u(n)    1  e jω0 z 1 1 e  jn0 u(n)     jω0 1 1 e zVì vậy 1 1 1 1 X( z )    jω0 1 jω0 1 2 1 e z 2 1 e z 1  z 1 cos ω 0   1  2z 1 cos ω 0  z 24.2.2 Dịch thời gianĐầu tiên coi chuyển đổi z của chủng loại đơn vị chức năng (cũng là xung đối chọi vị) (n) và xung trễ của chính nó (n-n0): 8    δ(n)z n = z n X(z) = =1 z 0 n 0    δ(n  n ) z  n0 n = z n =z X(z) = z  n0 0 n 0 nVì trễ của n 0 mẫu tương xứng cùng với thừa số z 0 của màn trình diễn biến đổi. Bằng sự màn biểu diễn biểu đạt x (n)vào những nguyên tố của mẫu đơn vị chức năng với áp dụng tính con đường tính ta bao gồm hiệu quả tổng quát  n0 x(n – n0)  X(z) z (trễ thời gian) (4.15a)  n0 x(n + n0)  X(z) z (Trước thời gian) (4.15b) 1Vì điều này, ta thực hiện chú thích z mang lại trễ đơn vị cùng z cho tới trước đơn vị trong giảng đồ vật kân hận củahệ thống (phần 1.4.2).lấy ví dụ như 4.2.2:Mẫu đơn vị chức năng là sự trừ nó cùng với mẫu lừ đừ một đơn vị chức năng u(n) – u(n-1) = (n)Tìm biến đổi z (a) Bậc đơn vị chức năng nhân quả x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị phi nhân quả x(n) = -u(-n-1)Nhớ rằng u(n) cũng được hotline là biểu đạt mặt đề xuất, cùng -u(-n-1) hoặc u(-n-1) biểu lộ phía bên trái, trong khiđó một biểu thị vĩnh cửu cả hai bên âm và dương được gọi là biểu thị phía hai bên (1.62).Giải (a) Ta viết x(n) – x(n-1) = u(n) – u(n-1) = (n)Lấy chuyển đổi z 2 bên, sử dụng thuộc tính dịch thời gian X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 z u(n) 1 ... 0 2 n -2 3 -1 ° ° 1 -u(-n -1) ° ... ° n -3 -2 -1 2 1 0 -1 Hình. 4.2: lấy ví dụ 4.2.2 (b) Với bộc lộ phi nhân quả ta viết 9 x(n) – x(n-1) = -u(-n-1) + u<-(n-1) – 1> = u(-n) – u(-n-1) = (-n)Nhớ rằng (-n) là (n) (xem 1.4.1), do vậy biến hóa 2 bên mang đến vị X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 zCrúc ý rằng hai biểu thị (a) cùng (b) bao gồm màn trình diễn khác nhau vào miền thời hạn cũng tương tự trong miềntần số mà lại chúng giống như nhau trong biến hóa z. Tuy nhiên hai chuyển đổi gồm vùng quy tụ khác nhau(coi 4.4).ví dụ như 4.2.3Tìm biến hóa z của xung chữ nhật nhân trái bao gồm N chủng loại p(n) = 1 , 0 n  N-1 0 , không giống p(n) 1 … 1 2 3 -2 n -1 N-1 N 0 N+1 Hình. 4.3:lấy ví dụ như 4.2.3GiảiTa rất có thể áp dụng thẳng định nghĩa (4.1) nhằm tra cứu biến đổi, Mặc khác ta viết xung chữ nhật dướidạng p(n) = u(n) – u(n – N)Lấy đổi khác, áp dụng trực thuộc tính trễ: P(z) = Z – Z = Z – z–NZ = (1 – z–N) Z 1  z N  = 1  z 14.2.3 Nhân chập thời gianNlỗi biến đổi Fourier, ở trong tính bạo dạn cùng quan trọng duy nhất (định lý) của biến hóa z mang lại điều tỉ mỷ ứngdụng là nhân chập thời hạn, được phát biểu như: Nhân chập của nhị hàm thời hạn tương xứng vớinhân hay trong miền chuyển đổi z. x1(n)  x2(n)  X1(z) X2(z) (4.16)Nlỗi thông thường, nhân chập là công dụng ngõ ra Lúc nhân chập tín hiệu vào x(n) với đáp ứng xung củahệ thống h(n). x(n)  h(n)  X(z) H(z) (4.17)Với H(z) là hàm truyền. Sự quy tụ này được minh họa vào hình 4.4. Tín hiệu ngõ ra trong miền thờigian được cho vày 10 Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hệ thống y(n) = x(n)  h(n) h(n) Miền thời gian: x(n)  (Nhân chập) z Z Z Miền z : X(z) H(z) Y(z) = X(z) H(z) Hình. 4.4: Sơ thứ chuyển miền thời hạn quý phái miền z cùng thuộc tính nhân chập thời hạn. y(n) = x(n)  h(n)và miền z bằng Y(z) = X(z) H(z)Từ điều đó Y ( z) H(z) = (4.18) X ( z)Vì vậy hàm truyền (hoặc hàm hệ thống) của một khối hệ thống là tỉ số của đổi khác z của ngõ ra với biếnthay đổi z ngõ vào. Điểm này mang đến ta quyết định hàm khối hệ thống với thay đổi ngược, thỏa mãn nhu cầu xung.Chứng minh:Thuộc tính nhân chập được minh họa như sau: trước hết ta viết   x (k)x (n  k) x(n) = x1(n)  x2(n) = 1 2 k  Lấy biến hóa z      x(z)z n =  k x1(k)x2(n  k) z nX(z) = n       n  Thay đổi độc thân từ của tổng cùng áp dụng trực thuộc tính trễ thời gian:      x (k )   x (n  k ) z  n  X(z) = 1 2   k   n     x (k ) z k = X2(z) = X2(z) X1(z) = X1(z) X2(z) 1 k  lấy ví dụ như 4.2.4Áp một chuỗi đầu vào x(n) = <1 , 2 , -1 , -2 , 1 , 2>đến hệ thống gồm đáp ứng nhu cầu xung là h(n) = <0 , 1 , 2>Tìm biểu thị ngõ ra.GiảiLấy biến hóa z của x(n) cùng h(n) : X(z) = 1 + 2z–1 - z–2 - 2z–3 + z–4 + 2z–5 H(z) = 0 + z–1 + 2z–2Biến thay đổi ngõ ra là Y(z) = H(z) X(z) 11 = z–1 + 4z–2 + 3z–3 - 4z–4 - 3z–5 + 4z–6 + 4z–7Những khối hệ thống X(z) cấu thành dấu hiệu y(n) y(n) = <0 , 1 , 4 , 3 , - 4 , -3 , 4 , 4> Nếu ta nhân chập x(n) cùng với h(n), e.g. bằng cách thức hình học (phần 2.2.2), ta bao gồm thuộc hiệu quả.lấy ví dụ 4.2.5Để định nghĩa một khối hệ thống DSP. không biết (gồm Hartware cùng phần mềm), ta áp một biểu hiện x(n) vàlấy ngõ ra y(n) nlỗi sau: x(n)  <1, 2,  1,  2,1, 2> y(n)  <0,1, 4, 3,  4,  3, 4, 4>Tìm đáp ứng xung. Đây là sự việc về có mang hệ thốngGiảilấy ví dụ này hệt như ví dụ 2.3.5 nhưng mà ta tính nó vào miền thời hạn.Tại trên đây áp dụng biến hóa z, ta tất cả X ( z )  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5 Y ( z )  z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7Vì vậy hàm truyền là z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7 H ( z)  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5Mà hoàn toàn có thể dễ dàng và đơn giản H ( z )  z 1  2 z 2Hệ thống ổn định (coi phần 4.4). Đáp ứng xung là biến hóa ngược h(n)  <0,1, 2> 4.2.4 Một số thuộc tính khácTại đây có không ít thuộc tính của đổi khác z, sau đó là một trong những thuộc tính. (a) Đảo thời hạn x(-n)  X(z–1) (4.19)Chứng minh:    x (  n) z  x(k )( z n 1 k ) = X(z–1) Z = = n   k  lấy ví dụ 1 1 u(n)   u(-n)  1  z 1 1 z (b) Tỉ lệ với nón tránh rộc rạc X(a–1z) anx(n)  (4.20)Chứng minh:    a n x ( n) z  n =  x ( n) ( a 1 z ) n = X(a–1z) Z = n   n  ví dụ như biết biến hóa của (cos  0n)u(n) rất có thể thuận tiện kiếm tìm biến đổi an(cos  0n) u(n) (bảng 4.1). (c) Nhân thời hạn 12Ta có nằm trong tính này cùng với biến đổi Fourier mà lại miêu tả trong miền z là tích phân so với nhân chập: 1 z 1 C X 1 (ν ) X 2 ( ν )ν dν x1(n) x2(n)  (4.21) 2π jVới C là tích phân vòng quanh gốc với nằm bên phía trong vùng hội tụ của X1 với X2 . (d) Vi phân trong miền z dX(z) nx(n)   z (4.22) dzChứng minh:Lấy vi phân cả phía hai bên của quan niệm (4.3), ta tất cả   dX ( z )   x(n) (-n)z  n1 = -z 1  z n dz n   n   =  z 1 Z Là vẻ ngoài không giống của nằm trong tính được nói ở trên. lấy ví dụ tìm biến hóa z của biểu đạt X(n) = mãng cầu n u(n)Ta Gọi x 1 (n) = a n u(n)Biến đổi z của x 1 (n) (bảng 4.1) là một trong những X 1 (z) = 1  az 1Vì vậy az 1 dX 1 ( z ) X(z) =  z = (1  az 1 ) 2 dz (e) Liên hiệp phức x * (n) ↔ ( X ( z * ))* (4.23) (f) Giá trị đầu x(0) = lim X(z) (4.24) z Ý nghĩa của nằm trong tính này là nếu như ta biết X(z) và ý muốn tìm x(0) thì ta ko buộc phải đem chuyển đổi z ngược. (g) Giá trị cuối lyên x(n) = lim(( z  1) X ( z )) (4.25a) n z 1Ý nghĩa của trực thuộc tính này thì giống hệt như bên trên nhưng mà ngôi trường hòa hợp này ta biết quý giá cuối của x(n).Một vận dụng của ở trong tính này là tìm kiếm thỏa mãn nhu cầu tâm trạng bất biến (phần ….) của khối hệ thống cùng với đầuvào là 1 trong những bậc đơn vị chức năng. Biến đổi z của bậc đơn vị chức năng (bảng 4.1) được cho bởiVì vậy đáp ứng nhu cầu trạng thái định hình của khối hệ thống H(z) ứng với 1 bậc đơn vị ngơi nghỉ ngõ vào được đến vày (4.25b) 13Lúc cố gắng z bằng vào H(z) ta sẽ có thỏa mãn nhu cầu tần số H(ω). Vì vậy z = 1 ứng với ω = 0, với đápứng H(ω) là đáp ứng nhu cầu tần số trên ko (DC). Trong ví dụ…, phương trình hệ thống là y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)với đáp ứng bậc tìm kiếm được bao gồm dạngVới 5.0 là quý hiếm định hình sau cùng. Không đi trường đoản cú pmùi hương trình biểu thị cho trên, hàm truyền của nóhoàn toàn có thể được search thấyVì vậy cực hiếm cuối của đáp ứng bậc từ bỏ (4.25b) làNlỗi mong muốn Chú ý số lượng giới hạn (4.25b) chỉ tôn tại trường hợp ROC của (z - 1)H(z) bao gồm con đường tròn đối chọi vịcircle.4.2.5 Liên hệ với đổi khác Fourier rời rốc thời gian (DTFT)Tương ứng cùng với tín hiệu và hệ thống tránh rộc thời gian, biến đổi z liên hệ cùng với biến hóa Fourier thuộc cáchnhỏng biến hóa Laplace contact với biến hóa Fourier cùng với hệ thống với biểu lộ liên tụ c. Để làm vấn đề đó tathế z = ej  (4.26)vào có mang (4.3) của đổi khác z và bao gồm   x(n)e  jn X(  ) = (tín hiệu) n     h(n)e  jn H(  ) = (hệ thống) n -  Im(z) j  = phương diện phẳng z 2 z = ej  1 =0   = -1 1  = - Re(z) 0 Đường tròn   =- -j đơn vị chức năng 2 Hình.4.5: Dọc theo đường tròn đơn vị, chuyển đổi z là biến đổi FourierVới đổi khác Fourier ta biết (3.39) và (3.60)). Nhớ rằng cả X(  ) cùng H(  ) là tuần trả với chu kỳ2 . Ta Tóm lại H(  ) = H  z  jω  z = e (4.27)Sự liên hệ giữa X(  ) và X(z) là như thể nhau Biên độ và pha của z tương ứng cùng với  là 14 z = ej   = 1 z = ej   = Vì vậy thay đổi Fourier là chuyển đổi z Lúc z ở trên tuyến đường tròn đơn vị chức năng (hình 4.5). Khi z di chuyển dọctheo đường tròn này tần số  biến hóa theo. Như vậyX(  ) với H(  ) gồm chu kỳ 2, ta xem bọn chúng chỉtuần hòan trong chu kỳ 2  , hay trong khoảng <-  ,  > or <0 , 2  >.4.3 GIẢNG ĐỒ CỰC KHÔNGBiến thay đổi z của biểu thị cùng khối hệ thống thực LTI (LSI) là hàm tỉ sổ hai đa thức c ủa z, ta viết N ( z) X(z) or H(z) = D( z )Với N(z) là đa thức tử và D(z) nhiều thức chủng loại. Sau trên đây ta viết X(z) hoặc H(z) hoán đổi nhau, ngoại trừlúc ttê mê chiếu mang lại tín hiệu cùng khối hệ thống đặc biệt .4.3.1 Giản vật cực-ko cùng đặc điểm tín hiệuLấy z1, z2, z3 … là nghiệm của N(z), và p1, p2, p3 … là nghiệm của D(z), sau đó chuyển đổi z hoàn toàn có thể đặttrong vẻ ngoài L z  z k   N(z) G ( z  z1 )( z  z 2 )( z  z 3 )... z-z L   G k 1 H(z) = = (4.28) D(z) ( z  p1 )( z  p 2 )( z  p3 )... z-pM  M  z-p  k k 1Với G là quá số độ lợi; z1, z2, z3 … là rất nhiều zero nhưng khiến cho H(z) tiến tới zero; cùng p1, p2, p3 … là cựcmà lại tạo nên H(z) tiến tời vô rất, L là bậc của tử số, M lầ bậc của mẫu số. H(z) là 1 trong đa thức thíchhòa hợp lúc L  M (bậc j tử số nhỏ hơn bậc của chủng loại số). của Im ( z ) -1 z-plane Unit circle 0 1 1Double pole R e ( z) -j (b) r(n) (a) u(n) a 1 1 Hình .4.6: Giản vật cực-ko của một số trong những hệ thống đơn(d) giản (n) (c) –an u(-n-1) Trên là hầu hết cực-ko hữu hạn. Bên canh đó, khi biến chuyển z trong chủng loại số tiến cho tới vô hạn,X(z) tiến cho tới không, đấy là một không vô hạn. Giống những điều đó, Khi z trong tử số tiến cho tới vô hạn, X(z)tiến tới vô hạn, đây là một rất vô hạn. Lúc bậc M của tử số nhỏ dại rộng bậc N củ a chủng loại số, tại chỗ này đã làmột không vô hạn của bậc M-N, cùng lúc M > N ở đây vẫn là một trong cực vô hạn của bậc M – N. Với hầukhông còn trường thích hợp ta bsinh hoạt qua rất cùng ko vô hạn. Phân pân hận của cực với không của X(z) vào mặt phẳng z là giản thứ cực-không. Fig.4.6 showsthe pole – zero plot for sereval simple signals. Notice the unit sample (n) is very special in that it isthe only function which doesn’t have sầu any pole and zero . 15 Giản thiết bị cực-ko thì hết sức bổ ích vào so sánh cùng xây đắp khối hệ thống thanh lọc số. Hình 4.7 chỉmọt tương tác giản đồ dùng cực-không cùng công dụng của hệ thống (hoặc tín hiệu). Thật sự chỉ vị trí rất ảnhhưởng mang đến điểm lưu ý của biểu hiện. ... ... n n 1 0 1 0 Convergent Convergent (stable) (stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Oscillatory oscillatory (Marginally Stable) (Marginally Stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Divergent Divergent (Unstable) (Unstable) Hình. 4.7: Liên hệ thân vị trí cực với đặc tính của b(n) = anu(n) với phần lớn cực hiếm khác biệt của a. lúc biểu lộ x(n) hoặc thỏa mãn nhu cầu xung h(n) có mức giá trị thực, gần như cực cùng ko là thựchoặc xuất hiện trong song phối hợp phức.lấy ví dụ như 4.3.1Tìm giản trang bị cực-không của hệ thống tương xứng với hàm truyền. z 2  z 3 H(z) = 1  3.6z 1  4.59z 2  2.38z 3  0.39z 4Giải 4Nhân cả tử và chủng loại bởi vì z , ta có z2  z N ( z)  H(z) = z  3.6 z  4.59 z  2.38 z  0.39 D( z ) 4 3 2Thừa số tử và mẫu: N(z) = z(z+1) D( z )  ( z  1) 2 ( z 2  1.6 z  0.39)Vì vậy phần lớn ko của hệ thống là  z(z+1) = 0 z = 0, z = -1cùng rất nhiều rất là (z–1)2(z2 – 1.6z + 0.39) = 0  z = 1(kép), z = 0.8 + j0.5 , z = 0.8 – j0.5Hình. 4.8 là giản vật rất –ko của khối hệ thống. 16 Im(z) Unit circle 0.5 1 (double) -1 0 0,8 Re(z) –0.5 Hình. 4.8: lấy ví dụ 4.3.3(giản trang bị cực-không) Crúc ý rằng với mục đích search rất cùng ko ta biến chuyển hàm H(z) của z 1 thành hàm của z. 4.3.2 Vẽ biên độ của X(z) , H(z)Đây là hầu như hàm vào Matlab cơ mà cho phép ta vẽ biên độ |X(z)| or | H(z)| trong không khí ba chiềukhớp ứng với trục thực và ảo z. Hình 4.9 là 1 trong những |H(z)| Im(z) Unit circle Re(z) Hình 4.9: Vẽ biên độ của H ( z )  ( z  1) /( z  1)lấy một ví dụ về vẽ hầu hết chiều z của hàm truyền tất cả một cực và một ko.4.3.3 Cực với ko trên gốcCực với không tại gốc của một hệ thống ko tác động mang lại đáp ứng nhu cầu mặt độ với pha nhưng ảnhtận hưởng mang đến thời hạn thỏa mãn nhu cầu của nó, tức là, đáp ứng mang đến sớm xuất xắc muộn so với thời gian Lúc áp tínhiệu vào. điều đặc biệt, một ko vẫn lờ lững một đơn vị thời gian, ngược lại một rất tại gốc đã tăng đápứng một đơn vị thời hạn. Ta thoải mái thêm vào đó rất cùng chưa tới khối hệ thống, bằng phương pháp cộng đông đảo thừasố thích hợp vào tử với chủng loại đề thỏa mãn nhu cầu hệ thống ngay mau lẹ hoặc khối hệ thống trở thành nhân trái. lấy một ví dụ, xét hàm truyền 1 H(z) = z(z  1 ) (z  2 )Có tía rất tại z = 0,1 với 2 . Phương trình biểu hiện hoàn toàn có thể được kiếm tìm như là 17 y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3)cơ mà chỉ rằng ngõ ra biểu đạt dựa vào ngõ vào biểu đạt tại 3 thời gian trước đố. Để khối hệ thống đáp ứngtức thì chớp nhoáng, ta cộng thêm 3 đơn vị chức năng thời gian bởi 3 không trên nơi bắt đầu. Hàm truyền biến. z3 H(z) = z(z  1 ) ( 2 z  1 )Tương ứng cùng với pmùi hương trình dấu hiệu y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n)Vì vậy, với cùng 1 hệ thống đáp ứng tức thì nhanh chóng với ngõ vào, hàm truyền bắt buộc có số cực cùng khôngcân nhau, hoặc bậc của tử và chủng loại vào nhiều thức đề nghị đều bằng nhau.4.3.4 Hủy cực-khôngTrong đa thức của thay đổi z nếu một ko diệt một cực, song cực-ko này là diệt lẫn nhau. Vì vậygiảm bậc của nhiều thức, và sự dễ dàng và đơn giản theo sau pmùi hương trình dấu hiệu. Kỹ thuật bỏ cực –ko thỉnh phảng phất được áp dụng trong giải pháp xử lý biểu đạt số và xây cất hệthống điều khiển. Ngõ ra là một sự xúc tiến giữa ngõ vào cùng hệ thống, vày vậy ta rất có thể chọn hệ thốngnhằm hủy rất cùng ko của bộc lộ vào. Hủy cực -không rất có thể mở ra với hệ thống. Vấn đề là khibỏ rất không nếu như không trọn vẹn sẽ sở hữu cảm giác chiều dài từ bỏ hữu hạn, và gần như nguyên nhân khác, hệthống có thiết kế trở cần bất ổn định.ví dụ như 4.3.2Cho hệ thống y(n) = 2.5y(n – 1) – y(n – 2) + x(n) – 5x(n – 1) + 6x(n – 2)áp dụng ĐK bỏ cực –không. Tìm đáp ứng nhu cầu xung của khối hệ thống được rút gọn gàng.GiảiSử dụng công dụng trì hoãn của biến hóa z vào phương trình khối hệ thống vào ra trênSắp xếp lại:Để tất cả hàm truyền:Vì vậy cực trên p = 2 và không tại z = 2 hoàn toàn có thể diệt quăng quật cho nhau, tác dụng hình thành một thanh lọc bậc thấprộng tất cả pmùi hương trình dạng Để tìm thỏa mãn nhu cầu xung ta knhị triển H(z)Biến đổi z ngược ta bao gồm đáp ứng nhu cầu xung:Ta rất có thể search thỏa mãn nhu cầu xung trường đoản cú pmùi hương trình dấu hiệu nhưng ta cần sử dụng bí quyết khác diễn đạt thỏa mãn nhu cầu xung ngay gần quả thật vẻ ngoài làm việc trên.lấy ví dụ như 3.4.3Tìm thỏa mãn nhu cầu của hệ thốngVới ngõ vào 18GiảiSử dụng biến hóa z như ví dụ bên trên ta có hàm biến chuyển đổiCrúc ý khối hệ thống thì định hình. Biến đổi z của biểu lộ vào làChú ý X(z) bao gồm một không tại trùng khớp với rất của H(z), vì vậy lộ diện sự hủycực-ko vào biểu thức ngõ ra:Biến thay đổi z đảo choVới hàm truyền khác, sự bỏ rất không sẽ không còn xẩy ra cùng tín hiệu ngõ ra sẽ sở hữu được thuộc thành phầncùng.4.3.5 Tìm đáp ứng tần số bằng phƣơng pháp hình họcTa hiểu được thay đổi z Lúc z số lượng giới hạn trong khoảng tròn đơn vị chức năng là DTFT. Vì vậy đáp ứng tần số, tất cả thểtính dao động bằng phương pháp hình học. Xem ví dụ đơn giản, tất cả hàm truyền. z  0.8 H(z) = z  0.8Có một không trên z = 0.8 với một rất trên p = -0.8 . Với đáp ứng tần số ta chũm z = ej  : e jω  0.8 H(  ) = e jω  0.8Tử số trình diễn vector Z từ bỏ z bằng không tới điểm z = ej  trên vòng tròn đơn vị chức năng, cùng mẫu mã số bằngvector P trường đoản cú rất P mang đến cùng điểm z (hình 4.10). Ta ghi chú  mang đến cội pha. Vì vậy Z Z Z Z H (ω) =   ( Z  P) (4.29) P.. P. Phường P H(  ) Im(z) . z = ej  10 (  ) 8 Phường 1 Z 6 Z ω P p 0 z Re(z) 4 -(0.8) (0.8) 2 1 1/9   - -/2 0 /2 (b) 19 (a) Hình. 4.10: Đáp ứng tần số bằng cách thức hình họcChụ ý rằng đáp ứng pha là nơi bắt đầu nhìn từ bỏ điểm z bên trên vòng tròn đơn vị chức năng đến rất p cùng z bằng 0.Đáp ứng biên độ cùng trộn khớp ứng. Z H(  ) = Phường. (  ) =  (Z – P)Xem một vài trường phù hợp quan trọng với sự tính toán thù là dễ dàng và đơn giản 1  0,8 1  Tại  = 0: H(0) = H(0) = 0 – 0 = 0 rad = , 1  0,8 9 1  0,8  Tại  = : H() = H() =  –  = 0 rad =9 , 1  0,8 π π π π  Tại  = : H( ) = 1  H( )  rad , 2 2 2 2Ta dịch chuyển điểm z dọc theo vòng tròn đơn vị, tại địa điểm được chọn, ta tính với đo chiều dài tương ứngvới nơi bắt đầu pha. Kết quả đáp ứng biên độ chỉ trong hình 4.10b. Để bao gồm thỏa mãn nhu cầu đúng chuẩn hơn, ta bắt buộc không nhiều nhấtmột quý giá không giống tại   3 4 . khi hàm truyền có tương đối nhiều cực cùng không, thỏa mãn nhu cầu là Z1 Z 2 Z 3  H(  ) = (4.30a) P1 P2 P3  (  ) =  <(Z 1  Z 2  Z 3  )  (Phường  P2  P3  )> (4.30b) 1 Dù cách thức hình học tập chỉ dao động, nó cho phép ta ước tính lập cập tác dụng thiết kếtcùng kế tiếp tiến hành thêm/quăng quật rất với không để sở hữu được khối hệ thống như mong muốn.4.4 VÙNG HỘI TỤ (ROC), SỰ ỔN ĐỊNHChuỗi khái niệm biến đổi z (4.3) hoàn toàn có thể phân kỳ và tư tưởng thay đổi vô nghĩa. Vùng hội tụ (ROC)là vùng vị trí biến hóa z X(z) hoặc H(z) quy tụ. ROC mang lại ta quyết định trực thuộc tính đổi khác z ngƣợc . trước hết xét một vài ví dụ Mẫu đơn vị (n) gồm chuyển đổi z là một trong, vị vậy ROC là tổng thể khía cạnh phẳng z  Tín hiệu (n+k) cùng với k>0 bao gồm chuyển đổi z là zk , vì vậy ROC là toàn bộ phương diện phẳng z, ngoại từ bỏ trên z =  . Tín hiệu x(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5> bao gồm biến đổi z  X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 ROC là toàn cục mặt phẳng z ko kể trên điểm z=0 (gốc). Tín hiệu h(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5> gồm thay đổi z  H(z) = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2 ROC là toàn bộ khía cạnh phẳng z ko kể tại z = 0 cùng z =  204.4.1 ROC của hệ thống nhân trái cùng ko nhân quảBây giờ đồng hồ ta coi ROC của nhì biểu đạt cơ bản: nhân trái và ko nhân quả.Tín hiệu nhân quảXét ví dụ, x(n) = 0.8nu(n) = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , …    (0.8z  1 n 0.8n u (n) z  n = ) X(z) = n 0 n  1 0.8 z 1  1 = , 1  0.8 z 1Trên, thực hiện cách làm chuỗi hình học tập (2.8). Điều khiếu nại 0.8z-1 0.8 . Vì vậyROC là tất cả vùng ngoài vòng tròn nửa đường kính 0.8. (Hình 4.11a). Crúc ý rằng biến hóa tất cả ko trên gốcvới cực tại z=0.8.

Xem thêm: Tổng Hợp Bài Toán Nâng Cao Thường Gặp Lớp 6, Toán Lớp 6: Các Bài Toán Nâng Cao Thường Gặp

(b) Tín hiệu phi nhân trái.Xét ví dụ x(n) = -0.8nu(-n-1) 1    0.8 z n . =   <0.8 1 z >n =   <0.8 1 z >n  1 X(z) =  n n 0 n   n 1Lấy tổng, ta có một 1 0.8 1 z  1 X(z) =  1  , 1 1  0.8 z 1 1  0.8 zĐiều khiếu nại 0.8-1z a Nhân trái anu(n) , (4.31) 1  az 1 (Bên phải) 1  ROC:  z