Hướng dẫn giải Bài §1. Sự đồng đổi mới, nghịch trở nên của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra khảo sát với vẽ vật dụng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng hòa hợp bí quyết, triết lý, cách thức giải bài tập giải tích gồm trong SGK sẽ giúp những em học viên học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập 1 trang 9 toán 12


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là 1 khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng chừng.

Cho hàm số (y=f(x)) khẳng định trên $K$.

– Hàm số (y=f(x)) đồng trở thành (tăng) bên trên K nếu

(left{ {eginarray*20c x_1,x_2 in K\ {x_1 f(x_2)).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số (y=f(x)) gồm đạo hàm bên trên $K$:

– Nếu (f(x)) đồng vươn lên là trên $K$ thì (f"(x)geq 0) với tất cả (xin K).

– Nếu (f(x)) nghịch biến chuyển trên $K$ thì (f"(x)leq 0) với mọi (xin K).


3. Điều kiện đầy đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số (y=f(x)) tất cả đạo hàm bên trên K:

– Nếu (f"(x)geq 0) với đa số (xin K) cùng (f"(x)=0) chỉ tại một vài hữu hạn điểm trực thuộc K thì (f(x)) đồng thay đổi bên trên K.

– Nếu (f"(x)leq 0) với tất cả (xin K) và (f"(x)=0) chỉ trên một số trong những hữu hạn điểm ở trong K thì (f(x)) nghịch trở nên trên K.

– Nếu (f"(x)=0) với đa số (xin K) thì (f(x)) là hàm hằng trên K.

4. Các bước xét tính 1-1 điệu của hàm số

– Cách 1: Tìm tập khẳng định.

– Bước 2: Tính đạo hàm (f"(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) nhưng tại đó đạo hàm bởi 0 hoặc ko khẳng định.

– Bước 3: Sắp xếp những điểm xi theo máy từ bỏ tăng ngày một nhiều cùng lập bảng trở nên thiên.

– Bước 4: Nêu Tóm lại về các khoảng tầm đồng trở nên, nghịch phát triển thành của hàm số.


Dưới đó là phần Hướng dẫn trả lời những câu hỏi với bài bác tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 4 sgk Giải tích 12


Từ vật thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra rằng những khoảng chừng tăng, bớt của hàm số (y = cos x) bên trên đoạn (displaystyle left< – pi over 2;,3pi over 2 ight>) cùng những hàm số (displaystyle y = left| x ight|) bên trên khoảng tầm (displaystyle left( – infty ; + infty ight)).

*

Trả lời:

♦ Hàm số (y = cos x) bên trên đoạn (displaystyle left< – pi over 2;,3pi over 2 ight>)

Các khoảng chừng tăng: (displaystyle left( – pi over 2;,0 ight);,left( pi ;,3pi over 2 ight))

Các khoảng tầm giảm: (displaystyle left( 0;pi ight)).


♦ Hàm số (displaystyle y = left| x ight|) bên trên khoảng tầm (displaystyle left( – infty ; + infty ight))

Khoảng tăng: (displaystyle left< 0, + infty ight))

Khoảng sút (displaystyle left( – infty ,0 ight>)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 5 sgk Giải tích 12

Xét các hàm số sau cùng trang bị thị của chúng:

*

Trả lời:

a) Hàm số: (y = , – x^2 over 2) (H.4a)


*

b) Hàm số: (y = ,1 over x) (H.4b) (H.4b)

*

Hàm số đồng biến khi dấu của đạo hàm là “+” cùng nghịch biến hóa lúc dấu của đạo hàm là “-“.

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 7 sgk Giải tích 12

Khẳng định ngược lại cùng với định lí bên trên gồm đúng không nhỉ ? Nói giải pháp khác, giả dụ hàm số đồng trở nên (nghịch biến) trên $K$ thì đạo hàm của nó bao gồm nhất thiết buộc phải dương (âm) bên trên đó hay không ?

Trả lời:

Xét hàm số $y = x^3$ bao gồm đạo hàm $y’ = 3x^2 ≥ 0$ với mọi số thực $x$ và hàm số đồng đổi mới bên trên toàn thể $R$. Vậy xác định trở lại với định lý trên không Chắn chắn đúng hay trường hợp hàm số đồng thay đổi (nghịch biến) trên $K$ thì đạo hàm của chính nó ko duy nhất thiết bắt buộc dương (âm) bên trên kia.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12. Các các bạn hãy tham khảo kỹ đầu bài bác trước lúc giải nhé!


Bài tập

hanvietfoundation.org reviews cùng với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài bác tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài xích 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12 của Bài §1. Sự đồng biến chuyển, nghịch đổi thay của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra với vẽ thiết bị thị hàm số mang đến các bạn xem thêm. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 9 sgk Giải tích 12

Xét sự đồng thay đổi, nghịch đổi thay của những hàm số:

a) (y = 4 + 3x – x^2).

b) (y =frac13 x^3 + 3x^2 – 7x – 2).

c) (y = x^4 – 2x^2 + 3).

d) (y = -x^3 + x^2 – 5).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 4 + 3x – x^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(y’ = 3 – 2x Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 3-2x=0Leftrightarrow x = frac32).

Với (x=frac32Rightarrow y=frac254)

– Bảng biến thiên:

*

Từ bảng biến hóa thiên ta thấy: Hàm số đồng đổi mới bên trên khoảng ((-infty); (frac32)) cùng nghịch phát triển thành trên khoảng ((frac32); (+infty)).

b) Xét hàm số (y =frac13 x^3 + 3x^2 – 7x – 2)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(y’ = x^2 + 6x – 7 Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = – 7 endarray ight..)

Với (x=-7 Rightarrow y=frac2393)

Với (x=1 Rightarrow y=-frac173)

– Bảng vươn lên là thiên:

*

Từ bảng đổi thay thiên ta thấy: Hàm số đồng biến bên trên những khoảng ((-infty) ; -7), (1 ; (+infty)) với nghịch biến hóa trên khoảng tầm (-7;1).

c) Xét hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(eginarrayl y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\ y’ = 0 Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 0\ x = 1 endarray ight. endarray)

Với $x=-1$ ta bao gồm $y=2$.

Với $x=0$ ta có $y=3$.

Với $x=1$ ta bao gồm $y=2$.

– Bảng biến thiên:

*

Từ bảng biến hóa thiên ta thấy: Hàm số đồng biến đổi trên những khoảng tầm ((-1 ; 0), (1 ; +infty)); nghịch trở thành bên trên những khoảng chừng ((-infty; -1), (0 ; 1)).

d) Xét hàm số (y = -x^3 + x^2 – 5)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(eginarrayl y’ = – 3x^2 + 2x\ y’ = 0 Leftrightarrow – 3x^2 + 2x Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = frac23 endarray ight. endarray)

Với (x=0Rightarrow y=-5.)

Với (x=frac23Rightarrow -frac13127.)

– Bảng trở thành thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta thấy: Hàm số đồng biến hóa trên khoảng chừng (( 0 ; frac23 )) với nghịch trở thành bên trên những khoảng chừng ((-infty; 0), ( frac23; +infty).)

2. Giải bài 2 trang 10 sgk Giải tích 12

Tìm những khoảng solo điệu của những hàm số:

a) (y=frac3x+11-x) ;

b) (y=fracx^2-2x1-x) ;

c) (y=sqrtx^2-x-20) ;

d) (y=frac2xx^2-9).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y=frac3x+11-x)

Tập xác định:(D = mathbbR setminus left 1 ight \) .

(y’=frac4(1-x)^2> 0, forall x eq 1).

Bảng thay đổi thiên:

*

Vậy hàm số đồng biến hóa trên những khoảng: (( -infty; 1), (1 ; +infty)).

b) Xét hàm số (y=fracx^2-2x1-x)

Tập xác định: (D = mathbbR setminus left 1 ight \).

(y’=frac-x^2+2x-2(1-x)^2

3. Giải bài bác 3 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minc rằng hàm số (y=fracxx^2+1) đồng biến chuyển trên khoảng chừng (-1;1) cùng nghịch biến bên trên những khoảng chừng ((-infty; -1)) và ((1 ; +infty)).

Bài giải:

Xét hàm số (y=fracxx^2+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR.)

(y’ = left( fracxx^2 + 1 ight)’ = fracx"(x^2 + 1) – (x^2 + 1)’x(x^2 + 1)^2)

(= fracx^2 + 1 – 2x^2(x^2 + 1)^2 = frac1 – x^2(x^2 + 1)^2.)

(y’ = 0 Leftrightarrow frac1 – x^2(x^2 + 1)^2 Leftrightarrow 1 – x^2 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với (x=-1Rightarrow y=-frac12).

Với (x=1Rightarrow y=frac12)

– Bảng vươn lên là thiên:

*

Từ bảng biến hóa thiên ta thấy: Hàm số đồng vươn lên là trên khoảng tầm ((-1; 1)); nghịch đổi mới trên những khoảng ((-infty; -1), (1; +infty).)

4. Giải bài 4 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minc rằng hàm số (y=sqrt2x-x^2) đồng biến hóa bên trên khoảng ((0 ; 1)) với nghịch vươn lên là trên những khoảng chừng ((1 ; 2)).

Bài giải:

Xét hàm số (y=sqrt2x-x^2)

– Tập xác định: (D = left < 0 ; 2 ight >;)

(y’ = frac2 – 2x2sqrt 2x – x^2 = frac1 – xsqrt 2x – x^2 )

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 1.)

– Bảng trở thành thiên:

*

Từ bảng biến hóa thiên ta thấy: Hàm số đồng vươn lên là trên khoảng chừng (0;1) cùng nghịch thay đổi bên trên khoảng (1;2).

Xem thêm: Cách Tính Nguyên Hàm Từng Phần Để Tính Tích Phân Bất Định, Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần

Vậy ta bao gồm điều buộc phải minh chứng.

5. Giải bài bác 5 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ( ã x > x (0 x +fracx^33 (0 x left( 00forall xin left( 0;fracpi 2 ight))

Vậy hàm số luôn luôn đồng vươn lên là bên trên (left( 0;fracpi 2 ight).)

(Rightarrow forall xin left( 0;fracpi 2 ight) extta có , fleft( x ight)>fleft( 0 ight) \ Leftrightarrow an x-x> ã 0-0 \ Leftrightarrow ung x-x>0 \ Leftrightarrow an x>x left(đpcm ight).)

b) ( an x>x+fracx^33 left( 00) bắt buộc ta có: ( ã x+x>0) và (chảy x-x>0) (theo câu a) (Rightarrow y’>0,,forall xin left( 0;fracpi 2 ight))

Vậy hàm số (y=gleft( x ight)) đồng đổi thay bên trên (left( 0;fracpi 2 ight)Rightarrow gleft( x ight)>gleft( 0 ight).)

(Leftrightarrow an x-x-fracx^33>chảy 0-0-0 \ Leftrightarrow ung x-x-fracx^33>0 \ Leftrightarrow ã x>x+fracx^33 left(đpcentimet ight).)

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài bác xuất sắc thuộc giải bài xích tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12!