Chứng minch rằng hàm số (y=sqrtleft ) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng mà vẫn đạt rất tiểu trên điểm này.

Bạn đang xem: Bài 3 trang 18 sgk giải tích 12


Phương pháp giải – Xem chi tiết

*


*) Để chứng tỏ hàm số không tồn tại đạo hàm trên điểm (x=0) ta thực hiện cách tính đạo hàm tại một điểm bởi định nghĩa:

(f’left( x_0 ight) = mathop lim limits_x o lớn x_0 fracfleft( x ight) – fleft( x_0 ight)x – x_0) (giả dụ trường thọ giới hạn).

*) Để chứng minh hàm số đạt rất đái trên (x=0) ta sử dụng khái niệm rất trị:

Cho hàm số (y = fleft( x ight)) khẳng định và liên tục bên trên khoảng tầm (left( a;b ight)) (rất có thể a là ( – infty ) cùng b là ( + infty )) và điểm (x_0 in left( a;b ight)).

a) Nếu mãi sau số (h>0) sao cho (fleft( x ight) 0) làm sao để cho (fleft( x ight) > fleft( x_0 ight)) với mọi (x in left( x_0 – h;x_0 + h ight)) cùng (x e x_0) thì ta nói hàm số (fleft( x ight)) đạt cực đái  tại (x_0).


Lời giải chi tiết

*) Chứng minch hàm số không tồn tại đạo hàm trên điểm (x=0):

(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt x ight = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o lớn 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop llặng limits_x o lớn 0^ + fracsqrt x x = mathop lyên ổn limits_x o lớn 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lyên limits_x lớn 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop llặng limits_x lớn 0^ – fracsqrt – x x = mathop llặng limits_x khổng lồ 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lyên limits_x o lớn 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \ Rightarrow mathop lyên limits_x lớn 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop llặng limits_x lớn 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)

(Rightarrow) Không vĩnh cửu đạo hàm của hàm số đã mang đến trên (x = 0).

Xem thêm: Tóm Tắt Kiến Thức Toán Lớp 7, Kiến Thức Lý Thuyết Toán Lớp 7

*) Chứng minh hàm số đạt rất tè trên (x=0) :

Với (h>0) là một vài thực bất kể ta có:

(eginarraylfleft( x ight) = sqrt left ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)

Theo có mang điểm rất trị của hàm số ta tóm lại (x=0) là vấn đề rất tè của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt left ).